ในทฤษฎีกราฟกราฟk -outerplanarคือกราฟระนาบที่มีการฝังตัวในระนาบซึ่งจุดยอดเป็นสมาชิกของไม่เกิน k จุด${\displaystyle k}$ชั้นวงกลมซ้อนกันดัชนีระนาบภายนอกของกราฟระนาบคือค่าต่ำสุดของ${\displaystyle k}$ซึ่งก็คือ${\displaystyle k}$-ระนาบนอก.

กราฟนอกระนาบ (หรือกราฟนอกระนาบ 1) คือกราฟที่มีจุดยอดทั้งหมดอยู่บนระนาบด้านนอกที่ไม่จำกัดของกราฟ กราฟนอกระนาบ 2 คือกราฟระนาบที่มีคุณสมบัติว่า เมื่อลบจุดยอดบนระนาบด้านนอกที่ไม่จำกัดออกไป จุดยอดที่เหลือทั้งหมดจะอยู่บนระนาบด้านนอกที่ไม่จำกัดที่เกิดขึ้นใหม่ และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป

กล่าวอย่างเป็นทางการแล้ว กราฟคือ${\displaystyle k}$-ระนาบนอก หากมีการฝังตัวในระนาบ โดยที่สำหรับทุกจุดยอด จะมีลำดับสลับกันไม่เกิน${\displaystyle k}$ใบหน้าและ${\displaystyle k}$จุดยอดของการฝังตัว เริ่มต้นจากหน้าไร้ขอบเขตและสิ้นสุดที่จุดยอด ซึ่งแต่ละหน้าและจุดยอดที่อยู่ติดกันจะสัมผัสกัน

เดอะ${\displaystyle k}$กราฟระนาบนอกจะมีtreewidthไม่เกิน${\displaystyle 3k-1}$^{[ 1 ]}อย่างไรก็ตามกราฟระนาบที่มีความกว้างของต้นไม้จำกัดบางประเภท เช่นกราฟสามเหลี่ยมซ้อนกันอาจเป็น${\displaystyle k}$-เฉพาะระนาบนอกสำหรับขนาดใหญ่มากเท่านั้น${\displaystyle k}$เป็นแบบเชิงเส้นตามจำนวนจุดยอด

เทคนิคของเบเกอร์ครอบคลุมกราฟระนาบที่มีจำนวนคงที่${\displaystyle k}$-กราฟระนาบนอกและใช้ความกว้างของต้นไม้ที่ต่ำเพื่อประมาณปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพกราฟที่ยากหลายประการอย่างรวดเร็ว^{[ 2 ]}

ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับสมมติฐาน GNRSเกี่ยวกับการฝังเมตริกของตระกูลกราฟปิดไมเนอร์${\displaystyle k}$กราฟระนาบนอกเป็นหนึ่งในกลุ่มกราฟทั่วไปที่สุดที่สมมติฐานได้รับการพิสูจน์แล้ว^{[ 3 ]}

บทกลับที่คาดการณ์ไว้ของทฤษฎีบทของ Courcelleซึ่งกล่าวว่าคุณสมบัติของกราฟทุกประการที่สามารถรับรู้ได้บนกราฟที่มี treewidth จำกัดโดย tree automata สถานะจำกัดนั้น สามารถนิยามได้ในตรรกะลำดับที่สองแบบเอกภาคของกราฟได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับ${\displaystyle k}$-กราฟนอกระนาบ^{[ 4 ]}

ค่าที่น้อยที่สุดของ${\displaystyle k}$ซึ่งกราฟที่กำหนดคือ${\displaystyle k}$-ระนาบด้านนอก (ดัชนีระนาบด้านนอก) สามารถคำนวณได้ในเวลาแบบกำลังสอง^{[ 5 ]}