Fr = 0.5

Fr = 1

Fr = 2

การจำลองคลื่นเคลวินสำหรับการบิดเบือนแบบเกาส์เซียน (แสดงอยู่ข้างๆ คลื่น) ที่หมายเลขฟรูดต่างๆ

นกน้ำและเรือที่เคลื่อนที่บนผิวน้ำก่อให้เกิด รูปแบบ คลื่นซึ่งอธิบายทางคณิตศาสตร์เป็นครั้งแรกโดยลอร์ดเคลวินและเป็นที่รู้จักในปัจจุบันในชื่อรูปแบบคลื่นเคลวิน^{[ 1 ]}

รูปแบบนี้ประกอบด้วยเส้นคลื่นสองเส้นที่ก่อตัวเป็นแขนของรูปตัววี โดยมีแหล่งกำเนิดคลื่นอยู่ที่จุดยอดของตัววี สำหรับการเคลื่อนที่ที่ช้าพอสมควร เส้นคลื่นแต่ละเส้นจะเบี่ยงเบนจากเส้นทางของแหล่งกำเนิดคลื่นประมาณ arcsin(1/3) = 19.47° และประกอบด้วยคลื่นย่อยที่มีลักษณะคล้ายขนนกซึ่งทำมุมประมาณ 53° กับเส้นทาง

ภายในรูปตัว V (ซึ่งมีมุมเปิดทั้งหมด 39° ดังที่ระบุไว้ข้างต้น) เต็มไปด้วยคลื่นโค้งตามขวาง โดยแต่ละคลื่นมีลักษณะคล้ายส่วนโค้งของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่อยู่บนเส้นทางซึ่งอยู่ห่างจากแหล่งกำเนิดคลื่นเป็นระยะสองเท่าของส่วนโค้งนั้น รูปแบบส่วนนี้ไม่ขึ้นอยู่กับความเร็วและขนาดของแหล่งกำเนิดคลื่นในช่วงค่าที่สำคัญ

อย่างไรก็ตาม ที่ความเร็วสูงขึ้น (โดยเฉพาะที่เลขฟรูด ขนาดใหญ่ ) ส่วนอื่นๆ ของรูปแบบจะเข้ามามีบทบาท ที่ปลายของส่วน โค้งคลื่นตามขวาง ยอดคลื่นจะหันกลับและต่อเนื่องอยู่ภายในกรวยรูปตัว V และไปยังแหล่งกำเนิด ก่อให้เกิดรูปแบบที่ทับซ้อนกันของคลื่นที่แคบกว่าซึ่งมุ่งออกไปนอกกรวย เมื่อความเร็วของแหล่งกำเนิดเพิ่มขึ้น คลื่นที่สั้นกว่าเหล่านี้จะเริ่มมีอิทธิพลและก่อตัวเป็นรูปตัว V ที่สองภายในรูปแบบ ซึ่งจะแคบลงเมื่อความเร็วที่เพิ่มขึ้นของแหล่งกำเนิดเน้นย้ำคลื่นที่สั้นกว่าซึ่งอยู่ใกล้กับเส้นทางของแหล่งกำเนิดมากขึ้น^{[ 2 ]}

มุมในรูปแบบนี้ไม่ใช่คุณสมบัติเฉพาะของน้ำเท่านั้น ของเหลว ไอเซนโทรปิกและอัดไม่ได้ที่มีความหนืดต่ำใดๆ ก็จะแสดงปรากฏการณ์เดียวกันนี้ นอกจากนี้ ปรากฏการณ์นี้ไม่เกี่ยวข้องกับความปั่นป่วน ทุกสิ่งที่กล่าวถึงในที่นี้อิงตามทฤษฎีเชิงเส้นของของไหลในอุดมคติดูทฤษฎีคลื่นของแอร์รีประกอบ

บางส่วนของรูปแบบอาจถูกบดบังด้วยผลกระทบจากน้ำที่เกิดจากใบพัดและกระแสน้ำวนท้ายเรือ รวมถึงเนื่องจากเรือเป็นวัตถุขนาดใหญ่ไม่ใช่แหล่งกำเนิดจุดน้ำไม่จำเป็นต้องอยู่นิ่ง แต่สามารถเคลื่อนที่ได้เช่นในแม่น้ำขนาดใหญ่ และสิ่งที่สำคัญในกรณีนี้คือความเร็วของน้ำเมื่อเทียบกับเรือหรือวัตถุอื่นที่ก่อให้เกิดคลื่น

รูปแบบนี้เป็นผลมาจากความสัมพันธ์การกระจายตัวของคลื่นน้ำลึกซึ่งมักเขียนในรูปแบบดังนี้

${\displaystyle \omega ={\sqrt {gk}},}$

ที่ไหน

g = ความแรงของสนามโน้มถ่วง

ωคือความถี่เชิงมุมในหน่วยเรเดียนต่อวินาที

k = เลขคลื่นเชิงมุมในหน่วยเรเดียนต่อเมตร

"ลึก" หมายความว่าความลึกมากกว่าครึ่งหนึ่งของความยาวคลื่น สูตรนี้แสดงให้เห็นว่าความเร็วกลุ่มของคลื่นน้ำลึกเป็นครึ่งหนึ่งของความเร็วเฟสซึ่งแปรผันตรงกับรากที่สองของความยาวคลื่น พารามิเตอร์ความเร็วสองตัวที่มีความสำคัญต่อรูปแบบคลื่นที่เกิดขึ้นคือ:

vคือความเร็วสัมพัทธ์ของน้ำและวัตถุบนผิวน้ำที่ก่อให้เกิดกระแสน้ำวน

cคือความเร็วเฟสของคลื่น ซึ่งแปรผันตามความถี่ของคลื่น

ขณะที่วัตถุบนผิวน้ำเคลื่อนที่ มันจะก่อให้เกิดการรบกวนเล็กๆ อย่างต่อเนื่อง ซึ่งเป็นผลรวมของคลื่นไซน์ที่มีความยาวคลื่นหลากหลายช่วง คลื่นที่มีความยาวคลื่นมากที่สุดจะมีอัตราเร็วเฟสสูงกว่าvและจะสลายไปในน้ำโดยรอบ ทำให้สังเกตได้ยาก ส่วนคลื่นอื่นๆ ที่มีอัตราเร็วเฟสเท่ากับหรือต่ำกว่าvจะถูกขยายให้ใหญ่ขึ้นผ่านการแทรกสอดแบบเสริมกันและก่อให้เกิดคลื่นกระแทก ที่มองเห็นได้ ซึ่งอยู่นิ่งเมื่อเทียบกับวัตถุบนผิวน้ำ (เช่น เรือ)

มุมθ ระหว่างหน้า คลื่นกระแทกเฟสและเส้นทางของวัตถุคือθ = arcsin( c/v )ถ้าc/v > 1 หรือ < −1 จะไม่มีคลื่นลูกหลังตามทันคลื่นลูกก่อนหน้า และจะไม่มีคลื่นกระแทกเกิดขึ้น

ในน้ำลึกคลื่นกระแทกจะก่อตัวขึ้นแม้จากแหล่งกำเนิดที่เคลื่อนที่ช้า เนื่องจากคลื่นที่มีความยาวคลื่นสั้นพอจะเคลื่อนที่ช้าลง คลื่นกระแทกเหล่านี้จะมีมุมที่แหลมกว่าที่คาดการณ์ไว้ เนื่องจากความเร็วกลุ่มเป็นตัวกำหนดพื้นที่ของการแทรกสอดแบบเสริมกันและในน้ำลึกความเร็วกลุ่มจะเป็นครึ่งหนึ่งของความเร็วเฟส

คลื่นกระแทกทั้งหมด ซึ่งแต่ละลูกจะมีมุมระหว่าง 33° ถึง 72° จะถูกบีบอัดให้เหลือเพียงแถบคลื่นตามหลังที่แคบ โดยมีมุมระหว่าง 15° ถึง 19° และมีการแทรกสอดแบบเสริมกันที่แรงที่สุดที่ขอบด้านนอก (มุม arcsin(1/3) = 19.47°) ทำให้แขนทั้งสองข้างของรูปตัว V อยู่ในรูปแบบคลื่นตามหลังของเคลวินอันโด่งดัง

การสร้างทางเรขาคณิตที่กระชับ^{[ 3 ]}แสดงให้เห็นว่า มุมช็อกกลุ่มนี้เมื่อเทียบกับเส้นทางของเรือ 19.47° สำหรับ θ ข้างต้นทั้งหมดนั้น แท้จริงแล้วเป็นอิสระจากv , cและg ; มันอาศัยเพียงข้อเท็จจริงที่ว่าความเร็วกลุ่มเป็นครึ่งหนึ่งของความเร็วเฟสc เท่านั้น บนดาวเคราะห์ใดๆ วัตถุที่ว่ายน้ำช้าจะมี " เลขมัคที่มีประสิทธิภาพ" 3

สำหรับนักว่ายน้ำที่ว่ายน้ำช้าและมีเลขฟรูดต่ำ ข้อโต้แย้งทางเรขาคณิตของไลท์ฮิลล์-วิทแธมที่ว่าการเปิดของรูปตัววี (รูปลิ่ม รูปตัว V) ของเคลวินนั้นเป็นสากล มีดังนี้ พิจารณาเรือที่เคลื่อนที่จากขวาไปซ้ายด้วยความเร็วคงที่vปล่อยคลื่นที่มีความยาวคลื่นแปรผัน ดังนั้นจึงมีเลขคลื่นkและความเร็วเฟสc ( k ) ที่แตกต่างกัน ซึ่งน่าสนใจเมื่อ < vสำหรับคลื่นกระแทก (เช่นเสียงโซนิคบูมหรือรังสีเชเรนคอฟ ) หรืออีกนัยหนึ่งและเข้าใจง่ายกว่า ให้ตรึงตำแหน่งของเรือไว้และให้น้ำไหลในทิศทางตรงกันข้าม เหมือนเสาเข็มในแม่น้ำ

ขั้นแรกให้พิจารณาค่า k ที่กำหนด โดยปล่อยหน้าคลื่น (เฟส) ที่มีตำแหน่งคงที่เมื่อเทียบกับเรือ ซึ่งประกอบกันเป็นลิ่มกระแทกมาตรฐานที่สัมผัสกับหน้าคลื่นทั้งหมด ดังแสดงในรูปที่ 12.3

ดังที่ระบุไว้ข้างต้น ช่องเปิดของรูปตัววีเหล่านี้จะแปรผันตามเลขคลื่น โดยมุมθระหว่างหน้าคลื่นกระแทกเฟสและเส้นทางของเรือ (น้ำ) คือ θ = arcsin( c / v ) ≡ π /2 − ψเห็นได้ชัดว่า ψ เพิ่มขึ้นตามkอย่างไรก็ตาม รูปตัววีเฟสเหล่านี้ไม่สามารถมองเห็นได้ สิ่งที่สังเกตเห็นได้คือปรากฏการณ์คลื่นกลุ่มที่สอดคล้องกัน

พิจารณาวงกลมเฟสวงหนึ่งในรูปที่ 12.3 สำหรับค่าk ค่าหนึ่ง ซึ่งสอดคล้องกับเวลาtในอดีต ดังแสดงในรูปที่ 12.2 รัศมีของวงกลมนี้คือQSและด้านลูกศรเฟสคือเส้นสัมผัสPSของวงกลมนั้น เห็นได้ชัดว่าPQ = vtและSQ = ct = vt cos ψเนื่องจากมุมฉากPSQทำให้Sอยู่ บนครึ่งวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางPQ

เนื่องจากความเร็วกลุ่มเป็นครึ่งหนึ่งของความเร็วเฟสสำหรับ kทุกค่า ดังนั้นจุดรบกวนที่มองเห็นได้ (กลุ่ม) ที่สอดคล้องกับSจะเป็นTซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของSQ ในทำนองเดียวกัน จุดนี้จะอยู่บนครึ่งวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่Rโดยที่RQ = PQ /4 ซึ่งเป็นหน้าคลื่นกลุ่มที่มีประสิทธิภาพที่ปล่อยออกมาจากRโดยมีรัศมีvt /4 ในขณะนี้

ที่สำคัญคือ มุมหน้าคลื่นที่เกิดขึ้นกับเส้นทางของเรือ มุมของเส้นสัมผัสจากPไปยังวงกลมเล็กนี้ เห็นได้ชัดว่ามีค่าไซน์เท่ากับTR/PR = 1/3 สำหรับ k , c , ψ , gฯลฯ ใดๆ ก็ตาม: ที่น่าทึ่งคือ พารามิเตอร์เกือบทั้งหมดของปัญหาหายไป ยกเว้นความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วกลุ่มกับความเร็วเฟสในน้ำลึก! โปรดสังเกตว่าตัวปล่อยการรบกวนกลุ่มที่มีประสิทธิภาพ (ซึ่งเป็นเพียงสมมติฐาน) เคลื่อนที่ช้าลงที่ 3v / 4

ดังนั้น เมื่อรวมค่าkและt ที่เกี่ยวข้องทั้งหมด เข้าด้วยกันเพื่อสร้างรูปแบบคลื่นกระแทกที่มีประสิทธิภาพดังแสดงในรูปที่ 12.3 รูปแบบคลื่นเคลวินสากลจึงเกิดขึ้น โดยมุมเชฟรอนที่มองเห็นได้ทั้งหมดจะเป็นสองเท่าของมุมนั้น คือ 2arcsin(1/3) ≈ 39°

หน้าคลื่นของคลื่นย่อยในบริเวณท้ายเรืออยู่ที่มุม 53° ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยโดยประมาณของ 33° และ 72° ส่วนประกอบของคลื่นที่มีมุมคลื่นกระแทกอยู่ระหว่าง 73° ถึง 90° จะมีอิทธิพลเหนือบริเวณภายในรูปตัว V พวกมันจะไปอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดกำเนิดและตำแหน่งปัจจุบันของแหล่งกำเนิดคลื่นท้ายเรือ นี่คือคำอธิบายถึงความโค้งของส่วนโค้งเหล่านั้น

คลื่นที่มีความยาวคลื่นสั้นมาก โดยมีมุมของคลื่นกระแทกต่ำกว่า 33° นั้น ขาดกลไกที่จะเสริมความแรงของคลื่นผ่านการแทรกสอดแบบเสริมกันและมักจะปรากฏให้เห็นเป็นระลอกคลื่นเล็กๆ บนยอดของคลื่นตามขวางภายใน

ลักษณะของยอดคลื่น สองประเภท ได้แก่ ยอด คลื่นตามยาวและยอดคลื่นตามขวาง สามารถแสดงให้เห็นได้ด้วยภาพกราฟิกโดยใช้รูปแบบของหน้าคลื่นของแหล่งกำเนิดจุดที่เคลื่อนที่ในกรอบอ้างอิงที่เหมาะสมรัศมีของหน้าคลื่นเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของเวลา (วัดจากช่วงเวลาที่ปล่อยคลื่น) เนื่องจากการกระจายตัว และซองของหน้าคลื่นแสดงถึงรูปแบบร่องรอยของเคลวิน