ในสาขาคณิตศาสตร์ทฤษฎีกราฟกราฟไคลน์ เป็น กราฟปกติสองแบบที่แตกต่างกันแต่มีความสัมพันธ์กันโดยแต่ละกราฟมีขอบ 84 ขอบ แต่ละกราฟสามารถฝังอยู่ในพื้นผิว ที่กำหนดทิศทางได้ ของจีนัส 3 ซึ่งในนั้นพวกมันจะกลายเป็นกราฟ คู่กัน

กราฟไคลน์ปกติ 3 ตัว
ตั้งชื่อตาม	เฟลิกซ์ ไคลน์
จุดยอด	56
ขอบ	84
รัศมี	6
เส้นผ่านศูนย์กลาง	6
เส้นรอบวง	7
ออโตมอร์ฟิซึม	336
หมายเลขสี	3
ดัชนีสี	3
ความหนาของหนังสือ	3
หมายเลขคิว	2
คุณสมบัติ	แฮมิลโทเนียน ลูกบาศก์ สมมาตร
ตารางกราฟและพารามิเตอร์

นี่คือ กราฟ ปกติ 3 มิติ ( กราฟลูกบาศก์ ) ที่มี 56 จุดยอดและ 84 ขอบ ตั้งชื่อตามเฟลิกซ์ ไคลน์

เป็นกราฟแฮมิลโทเนียนมีจำนวนสี 3 ดัชนีสี 3 รัศมี 6 เส้นผ่านศูนย์กลาง 6 และเส้นรอบวง 7 นอกจากนี้ยังเป็น กราฟ ที่เชื่อมต่อจุดยอด 3 จุด และเชื่อมต่อขอบ 3 จุด มีความหนาของหนังสือ 3 และจำนวนคิว 2 ^{[ 1 ]}

สามารถฝังอยู่ในพื้นผิว ที่กำหนดทิศทางได้ ของเจเนัส -3 (ซึ่งสามารถแสดงเป็นKlein quartic ได้) โดยที่มัน สร้าง แผนที่ Klein ที่มีหน้าเจ็ดเหลี่ยม 24 หน้าสัญลักษณ์ Schläfli {7,3}

ตามการสำรวจของฟอสเตอร์กราฟไคลน์ที่อ้างอิงเป็น F056B เป็นกราฟสมมาตรลูกบาศก์เพียงกราฟเดียวที่มี 56 จุดยอดซึ่งไม่ใช่กราฟสองส่วน^{[ 2 ]}

สามารถอนุมานได้จากกราฟ Coxeterที่ มี 28 จุดยอด ^{[ 3 ]}

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของกราฟไคลน์คือกลุ่ม PGL (7) ที่มีอันดับ 336 ซึ่งมี PSL (7)เป็นกลุ่มย่อยปกติ กลุ่มนี้กระทำการทรานซิทีฟบนขอบครึ่งของมัน ดังนั้นกราฟไคลน์จึงเป็นกราฟ สมมาตร

พหุนามลักษณะเฉพาะของกราฟไคลน์ 56 จุดยอดนี้มีค่าเท่ากับ${\displaystyle x^{7}\,(x-3)\,(x+2)^{6}\left(x^{2}-2\right)^{6}\left(x^{2}+x-4\right)^{7}\left(x^{2}-2x-1\right)^{8}}$

กราฟไคลน์ปกติ 7 ตัว
ตั้งชื่อตาม	เฟลิกซ์ ไคลน์
จุดยอด	24
ขอบ	84
รัศมี	3
เส้นผ่านศูนย์กลาง	3
เส้นรอบวง	3
ออโตมอร์ฟิซึม	336
หมายเลขสี	4
ดัชนีสี	7
คุณสมบัติ	แฮมิลโทเนียนสมมาตร
ตารางกราฟและพารามิเตอร์

นี่คือ กราฟ ปกติ 7 ที่มี 24 จุดยอดและ 84 ขอบ ตั้งชื่อตามเฟลิกซ์ ไคลน์

เป็นรูปทรงเรขาคณิตแบบแฮมิลโทเนียนมีเลขสี 4 ดัชนีสี 7 รัศมี 3 เส้นผ่านศูนย์กลาง 3 และเส้นรอบวง 3

สามารถฝังอยู่ในพื้นผิวที่กำหนดทิศทางได้แบบจีนัส 3 ซึ่งก่อตัวเป็นคู่ของแผนที่ไคลน์ โดยมีหน้าสามเหลี่ยม 56 หน้า^{สัญลักษณ์} Schläfli {3,7} ^[ 4 ^]

เป็นกราฟระยะทางปกติ ที่ไม่ซ้ำกัน ที่มีอาร์เรย์จุดตัดอย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ กราฟระยะทาง แบบถ่ายทอด^{[ 5 ]}${\displaystyle \{7,4,1;1,2,7\}}$

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของกราฟไคลน์ 7 วาเลนต์ คือกลุ่มที่มีอันดับ 336 เดียวกันกับแผนที่ไคลน์ลูกบาศก์ ซึ่งกระทำการทรานซิทีฟบนขอบครึ่งหนึ่งของมันเช่นกัน

พหุนามลักษณะเฉพาะ ของ ^กราฟไคลน์ 24 จุดยอดนี้เท่ากับ^[ 6 ^]${\displaystyle (x-7)(x+1)^{7}(x^{2}-7)^{8}}$