ในกลศาสตร์ควอนตัมเชิงสัมพัทธ ภาพ ปรากฏการณ์ไคลน์เป็นผลที่ไม่คาดคิดของทฤษฎีสัมพัทธภาพต่อการทำนายของทฤษฎีการทะลุผ่านควอนตัมสำหรับอนุภาคที่พบกับกำแพงพลังงานศักย์สูง ปรากฏการณ์นี้ปัจจุบันเรียกว่าการทะลุผ่านไคลน์ซึ่งตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์Oskar Kleinผู้ค้นพบในปี 1929 ^{[ 1 ]}เดิมที ไคลน์ได้ผลลัพธ์ที่ขัดแย้งกันโดยการใช้สมการ Diracกับปัญหาที่คุ้นเคยของการกระเจิงของอิเล็กตรอนจากกำแพงศักย์ในกลศาสตร์ควอนตัมที่ไม่ใช่เชิงสัมพัทธภาพการทะลุผ่านของอิเล็กตรอนเข้าไปในกำแพงจะถูกสังเกตได้ โดยมีการลดทอน แบบเอกซ์โพเนนเชียล อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ของไคลน์แสดงให้เห็นว่า หากศักย์มีอย่างน้อยในระดับมวลของอิเล็กตรอน (โดยที่Vคือศักย์ไฟฟ้าeคือประจุพื้นฐานmคือมวลของอิเล็กตรอน และcคือความเร็วแสง ) กำแพงจะเกือบโปร่งใส ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อศักย์เข้าใกล้ค่าอนันต์ การสะท้อนจะลดลงและอิเล็กตรอนจะถูกส่งผ่านเสมอ ${\displaystyle Ve\approx mc^{2}}$

การประยุกต์ใช้ความขัดแย้งโดยตรงคือกับ แบบจำลอง โปรตอน-อิเล็กตรอน ของรัทเทอร์ฟอร์ด สำหรับอนุภาคที่เป็นกลางภายในนิวเคลียส ก่อนการค้นพบนิวตรอนซึ่งทำให้แบบจำลองนั้นล้าสมัย ความขัดแย้งนี้เป็นข้อโต้แย้งทางกลศาสตร์ควอนตัมต่อแนวคิดของอิเล็กตรอนที่ถูกจำกัดอยู่ภายในนิวเคลียส^{[ 2 ]} ความขัดแย้งที่ชัดเจนและแม่นยำนี้ชี้ให้เห็นว่าอิเล็กตรอนไม่สามารถถูกจำกัดอยู่ภายในนิวเคลียสได้ด้วยบ่อศักย์ ใดๆ ความหมายของความขัดแย้งนี้ถูกถกเถียงกันอย่างเข้มข้นโดยนีลส์ โบห์รและคนอื่นๆ ในเวลานั้น^{[ 2 ]}

สำหรับอนุภาคขนาดใหญ่ ความแรง ของสนามไฟฟ้าที่จำเป็นในการสังเกตผลกระทบนั้นมหาศาล การเปลี่ยนแปลงพลังงานศักย์ไฟฟ้าที่คล้ายกับพลังงานพักของอนุภาคที่เข้ามาจะต้องเกิดขึ้นในช่วงความยาวคลื่นคอมป์ตันของอนุภาคซึ่งคำนวณได้เป็นสำหรับอิเล็กตรอน^{[ 3 ]}สำหรับอิเล็กตรอน สนามที่รุนแรงเช่นนี้อาจเกี่ยวข้องเฉพาะในนิวเคลียสหรือการระเหยที่ขอบฟ้าเหตุการณ์ของหลุมดำ เท่านั้น แต่สำหรับ อนุภาคกึ่ง 2 มิติที่จุดเชื่อมต่อ pn ของกราฟีน ซึ่งสนามไฟฟ้าที่ต้องการอยู่ในลำดับของผลกระทบนี้ได้รับการศึกษาทั้งในเชิงทฤษฎีและเชิงทดลอง^{[ 3 ] [ 4 ] : 421 [ 5 ]}${\displaystyle mc^{2}}$${\displaystyle \hbar /mc}$${\displaystyle 10^{16}~{\text{V}}/{\text{cm}}}$${\displaystyle Z>170}$${\displaystyle 10^{5}~{\text{V}}/{\text{cm}}}$

Oskar Kleinได้ตีพิมพ์บทความที่อธิบายสิ่งที่ต่อมาเรียกว่าปรากฏการณ์ Klein paradox ในปี พ.ศ. 2462 ^{[ 1 ]}ในขณะที่นักฟิสิกส์กำลังพยายามแก้ไขปัญหาสองประการ คือ จะรวมทฤษฎีสัมพัทธภาพและกลศาสตร์ควอนตัมเข้าด้วยกันได้อย่างไร และจะเข้าใจการเชื่อมโยงของสสารและแสงที่เรียกว่าอิเล็กโทรไดนามิกส์ได้อย่างไร

ไคลน์พิจารณาปัญหากลศาสตร์ควอนตัมของอนุภาคอิสระที่กระทบกับศักย์ไฟฟ้าสถิตแบบขั้นบันได เมื่อไม่คำนึงถึงสัมพัทธภาพ ปัญหานี้จะมีสองคำตอบ คำตอบหนึ่งใช้ได้เมื่ออนุภาคที่เข้าใกล้สิ่งกีดขวางมีพลังงานจลน์น้อยกว่าขั้นบันได: อนุภาคจะสะท้อนกลับ หากอนุภาคมีพลังงานมากกว่าขั้นบันได บางส่วนจะส่งผ่านขั้นบันไดไปได้ ในขณะที่บางส่วนจะสะท้อนกลับ อัตราส่วนของการสะท้อนต่อการส่งผ่านขึ้นอยู่กับความแตกต่างของพลังงาน สัมพัทธภาพเพิ่มคำตอบที่สาม: ขั้นศักย์ที่ชันมากดูเหมือนจะสร้างอนุภาคและอนุภาคปฏิปักษ์ซึ่งจะเปลี่ยนอัตราส่วนของการส่งผ่านและการสะท้อนที่คำนวณได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การส่งผ่านยังคงมีค่าจำกัดแม้ว่าขั้นศักย์จะมีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ กลศาสตร์ควอนตัมหนึ่งอนุภาคที่อธิบายโดยสมการชโรดิงเกอร์และสมการดิแรกไม่สามารถอธิบายการสร้างอนุภาคได้ ซึ่งหมายความว่ายังไม่สามารถกำหนดคำตอบที่แท้จริงของปัญหาได้^{[ 6 ]}ก่อนที่จะมีการค้นพบอนุภาคปฏิปักษ์และพัฒนาทฤษฎีสนามควอนตัม คำตอบที่สามนี้ยังไม่เป็นที่เข้าใจ ปริศนานี้จึงถูกเรียกว่า ปรากฏการณ์ไคลน์^{[ 7 ]}

ความขัดแย้งดังกล่าวทำให้เกิดคำถามว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพถูกเพิ่มเข้าไปในกลศาสตร์ควอนตัมได้อย่างไรในความพยายามครั้งแรกของดิแรก การพัฒนาทฤษฎีสนามควอนตัม ใหม่ ซึ่งเดิมพัฒนาขึ้นสำหรับอิเล็กโทรไดนามิกส์ จะช่วยหาคำตอบที่สมบูรณ์สำหรับปัญหาที่ไคลน์พิจารณา ดังนั้นเบื้องหลังของความขัดแย้งจึงมีสองประเด็นหลัก ได้แก่ การพัฒนากลศาสตร์ควอนตัมและอิเล็กโทรไดนามิกส์ควอนตัม [ ^{8 ] : 350}

แบบจำลองอะตอมของบอร์ที่ตีพิมพ์ในปี 1913 สันนิษฐานว่าอิเล็กตรอนโคจรรอบนิวเคลียสที่มีประจุบวกและมีขนาดกะทัดรัด ความสำเร็จของแบบจำลองบอร์ในการทำนายสเปกตรัมของอะตอมชี้ให้เห็นว่ากลศาสตร์คลาสสิกอาจไม่ถูกต้อง อย่างไรก็ตาม พลศาสตร์ไฟฟ้าคลาสสิกทำนายว่าอิเล็กตรอนในวงโคจรดังกล่าวจะสูญเสียพลังงานโดยการปล่อยแสง ซึ่งจะส่งผลให้วงโคจรของอิเล็กตรอนหดตัวอย่างรวดเร็วก่อนที่จะชนกับนิวเคลียส

ในปี ค.ศ. 1926 เออร์วิน ชโรดิงเกอร์ได้พัฒนาทฤษฎีใหม่เพื่ออธิบายอิเล็กตรอน นั่นคือสมการคลื่นกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งให้ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกับผลของบอร์ แต่ได้แก้ปัญหาที่กล่าวถึงข้างต้นไปแล้ว อย่างไรก็ตาม ชโรดิงเกอร์และนักฟิสิกส์คนอื่นๆ ทราบดีว่ากลศาสตร์นี้ยังไม่สมบูรณ์ เพราะไม่ได้รวมผลกระทบของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและปฏิสัมพันธ์ระหว่างสสารและรังสีไว้ด้วย

พอล ดิแรกแก้ปัญหาข้อแรกได้ในปี 1928 ด้วยทฤษฎีควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพของอิเล็กตรอน การรวมกันนี้แม่นยำกว่าและยังทำนายสปิน ของอิเล็กตรอนได้ด้วย อย่างไรก็ตาม มันยังรวมสถานะต่างๆ มากกว่าที่คาดไว้ถึงสองเท่า สถานะเหล่านี้มีพลังงานเป็นลบ ซึ่งในขณะนั้นถือว่าไม่สมเหตุสมผลทางกายภาพ

ไคลน์พบว่าสถานะพิเศษเหล่านี้ทำให้เกิดผลลัพธ์ที่ไร้สาระจากแบบจำลองสำหรับอิเล็กตรอนที่พุ่งชนการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วและรุนแรงของศักย์ไฟฟ้าสถิต: กระแสลบปรากฏขึ้นเหนือสิ่งกีดขวาง ที่สำคัญ ทฤษฎีของดิแรกทำนายได้เฉพาะสถานะของอนุภาคเดี่ยวเท่านั้น การสร้างหรือการทำลายอนุภาคไม่สามารถวิเคราะห์ได้อย่างถูกต้องในทฤษฎีอนุภาคเดี่ยว

ผลลัพธ์ของไคลน์ได้รับการกล่าวถึงอย่างกว้างขวางทันทีหลังจากการตีพิมพ์นีลส์ โบห์รคิดว่าผลลัพธ์นี้เกี่ยวข้องกับขั้นบันไดที่กระทันหัน และเป็นผลให้อาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ขอให้ฟริต ซ์ ซอเตอร์ทำการตรวจสอบขั้นบันไดที่ลาดเอียง ซอเตอร์สามารถยืนยันสมมติฐานของโบห์รได้: ผลลัพธ์ที่ขัดแย้งกันนี้ปรากฏขึ้นเฉพาะกับขั้นบันไดที่มี ระยะทางใกล้เคียง กับความยาวคลื่นคอมป์ตันของอิเล็กตรอนประมาณ 2 × 10 ⁻¹²ม. ^{[ 7 ]}${\displaystyle \Delta V>2mc^{2}}$${\displaystyle \lambda =h/mc}$

ตลอดปี 1929 และ 1930 มีบทความหลายฉบับจากนักฟิสิกส์หลายคนพยายามทำความเข้าใจสถานะพิเศษของ Dirac ^{[ 8 ] : 351} Hermann Weylแนะนำว่าสถานะเหล่านี้สอดคล้องกับโปรตอน ที่เพิ่งค้นพบ ซึ่งเป็นอนุภาคพื้นฐานเพียงอนุภาคเดียวที่รู้จักในขณะนั้น นอกเหนือจากอิเล็กตรอน Dirac ชี้ให้เห็นว่าอิเล็กตรอนลบของ Klein ไม่สามารถแปลงตัวเองเป็นโปรตอนบวกได้ และแนะนำว่าสถานะพิเศษทั้งหมดเต็มไปด้วยอิเล็กตรอนอยู่แล้ว ดังนั้นโปรตอนจึงเทียบเท่ากับอิเล็กตรอนที่หายไปในสถานะที่ต่ำกว่าเหล่านี้Robert OppenheimerและIgor Tammแสดงให้เห็นแยกกันว่าสิ่งนี้จะทำให้อะตอมไม่เสถียร ในที่สุดในปี 1931 Dirac สรุปว่าสถานะเหล่านี้ต้องสอดคล้องกับอนุภาค "แอนติอิเล็กตรอน" ใหม่ ในปี 1932 Carl Andersonสังเกตอนุภาคเหล่านี้ในเชิงทดลอง และเปลี่ยนชื่อเป็น โพซิตรอน

การแก้ปัญหาความขัดแย้งจะต้องอาศัยทฤษฎีสนามควอนตัม ซึ่งพัฒนาควบคู่ไปกับกลศาสตร์ควอนตัม แต่ในอัตราที่ช้ากว่าเนื่องจากความซับซ้อนมากมาย แนวคิดนี้ย้อนกลับไปถึงการสาธิตของแม็กซ์ พลังค์ ที่ว่า พลศาสตร์ไฟฟ้าแบบคลาสสิกของแม็กซ์เวลล์ซึ่งประสบความสำเร็จอย่างมากในการใช้งานอื่นๆ ล้มเหลวในการทำนายสเปกตรัมของวัตถุดำพลังค์แสดงให้เห็นว่าออสซิลเลเตอร์ของวัตถุดำจะต้องถูกจำกัดไว้ที่การเปลี่ยนผ่านควอนตัม^{[ 8 ] : 332} ในปี 1927 ดิแรกได้ตีพิมพ์ผลงานชิ้นแรกของเขาเกี่ยวกับพลศาสตร์ไฟฟ้าควอนตัม ซึ่งเขาใช้ทฤษฎีสนามควอนตัม ด้วยพื้นฐานนี้ ไฮเซนเบิร์ก จอร์แดน และพอลี ได้รวมความไม่แปรผันเชิงสัมพัทธภาพในสมการของแม็กซ์เวลล์แบบควอนตัมในปี 1928 และ 1929 ^{[ 8 ] : 341}

อย่างไรก็ตาม ต้องใช้เวลาอีก 10 ปีจึงจะสามารถนำทฤษฎีนี้ไปประยุกต์ใช้กับปัญหาของปรากฏการณ์ไคลน์ได้ ในปี พ.ศ. 2484 ฟรีดริช ฮุนด์ได้แสดงให้เห็นว่า^{[ 9 ]}ภายใต้เงื่อนไขของปรากฏการณ์ดังกล่าว กระแสไฟฟ้าสองกระแสที่มีประจุตรงข้ามกันจะถูกสร้างขึ้นเองที่ขั้นบันได ในศัพท์สมัยใหม่ คู่ของอิเล็กตรอนและโพซิตรอนจะถูกสร้างขึ้นเองที่ศักย์ไฟฟ้าขั้นบันได ผลลัพธ์เหล่านี้ได้รับการยืนยันในปี พ.ศ. 2524 โดยอเล็กซ์ แฮนเซน และฟินน์ ราฟน์ดาลโดยใช้วิธีการทั่วไปมากขึ้น^{[ 10 ] [ 7 ] : 316}

พิจารณาอนุภาคสัมพัทธภาพที่มีมวลและพลังงานกำลังเข้าใกล้ขั้นบันไดศักย์ที่มีความสูงอยู่ที่ตำแหน่งตั้งฉาก ${\displaystyle m}$${\displaystyle E}$${\displaystyle V_{0}>E+mc^{2}}$${\displaystyle x=0}$

เราสามารถพิจารณาปัญหานี้โดยใช้สมการ Dirac ที่ไม่ขึ้นกับเวลาได้ การพิสูจน์นี้ใช้สมการ Dirac เวอร์ชันสองมิติเนื่องจากเรียบง่ายกว่าและยังคงรักษาความขัดแย้งเอาไว้ได้

${\displaystyle {\hat {H}}\Psi =E\Psi }$,

โดยที่ฟังก์ชันคลื่นเป็นสปินเนอร์สององค์ประกอบ

${\displaystyle \Psi ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}}$,

และแฮมิลโทเนียนคือ

${\displaystyle {\hat {H}}=-i\hbar {\hat {\vec {\sigma }}}\nabla +V({\vec {x}}){\hat {I}__{2}+mc^{2}{\hat {\sigma }__{z}}$,

โดยที่'s คือเมทริกซ์ Pauli , คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ และคือความเร็วแสงเมื่อพิจารณาให้อนุภาคเคลื่อนที่ไปในทิศทาง x สมการเหล่านี้จะลดลงเหลือ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$${\displaystyle {\หมวก {I}__{2}}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle i\hbar c{\frac {d\psi _{2}}{dx}}=[E-mc^{2}-V(x)]\psi _{1}}$,

${\displaystyle i\hbar c{\frac {d\psi _{1}}{dx}}=[E+mc^{2}-V(x)]\psi _{2}}$.

สมมติว่าอนุภาคกำลังเคลื่อนที่มาจากทางซ้าย เราจะได้สองคำตอบ — คำตอบหนึ่งก่อนขั้นบันได ในบริเวณ (I) และคำตอบหนึ่งภายใต้ศักย์ ในบริเวณ (II):

${\displaystyle \Psi _{\text{I}}=e^{ikx}\left({\begin{matrix}1\\\alpha \end{matrix}}\right)+re^{-ikx}\left({\begin{matrix}1\\-\alpha \end{matrix}}\right)}$,

${\displaystyle \Psi _{\text{II}}=te^{iqx}\left({\begin{matrix}1\\1/\beta \end{matrix}}\right)}$,

โดยที่สัมประสิทธิ์rและtเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่แสดงถึงการสะท้อนและการส่งผ่านตามลำดับ

${\displaystyle k={\frac {\sqrt {E^{2}-m^{2}c^{4}}}{\hbar c}}}$

เวกเตอร์คลื่นก่อนขั้นศักย์ไฟฟ้า

${\displaystyle q=-{\frac {\sqrt {(V_{0}-E)^{2}-m^{2}c^{4}}}{\hbar c}}}$

คือเวกเตอร์คลื่นหลังจากขั้นตอนศักย์ (มีค่าเป็นลบเนื่องจากความเร็วกลุ่มของอนุภาคที่มีทิศทางตรงกันข้าม จึงต้องใช้เครื่องหมายลบเพื่อให้แน่ใจว่าอนุภาคเคลื่อนที่จากซ้ายไปขวา) ${\displaystyle E+mc^{2}<V_{0}}$

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {E-mc^{2}}{E+mc^{2}}}}}$,

และ

${\displaystyle \beta ={\sqrt {\frac {V_{0}-E-mc^{2}}{V_{0}-E+mc^{2}}}}}$.

จากความต่อเนื่องของฟังก์ชันคลื่น เราสามารถหาได้ว่า

${\displaystyle 1+r=t}$,

${\displaystyle \alpha (1-r)=t/\beta }$.

การแก้ระบบสมการนี้จะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle r={\frac {\alpha \beta -1}{\alpha \beta +1}}}$.

จากนั้น ค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อน (ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นความน่าจะเป็นที่อนุภาคขาเข้าจะถูกสะท้อนโดยขั้นศักย์) จะกำหนดโดย

${\displaystyle R=r^{2}=\left({\frac {\alpha \beta -1}{\alpha \beta +1}}\right)^{2}}$,

และสามารถคำนวณค่าสัมประสิทธิ์การส่งผ่านได้ดังนี้

${\displaystyle T=1-R=1-\left({\frac {\alpha \beta -1}{\alpha \beta +1}}\right)^{2}}$.

ดังนั้นการส่งผ่านจึงยังคงมีค่าจำกัดเมื่อ. นี่เป็นผลลัพธ์ที่ขัดกับสัญชาตญาณเมื่อเทียบกับกลศาสตร์ควอนตัมที่ไม่สัมพัทธภาพ (ซึ่งเราคาดว่าการส่งผ่านจะเข้าใกล้ศูนย์) ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมปรากฏการณ์นี้จึงถูกเรียกว่าปรากฏการณ์ขัดแย้งของไคลน์^{[ 7 ] [ 11 ]}${\displaystyle V_{0}\rightarrow \infty }$

ผลลัพธ์หนึ่งจากสมการนี้คือ สำหรับอนุภาคไร้มวล ความน่าจะเป็นในการส่งผ่านจะมีค่าเท่ากับหนึ่งเสมอ โดยไม่คำนึงถึงความสูงของกำแพงศักย์ ผลลัพธ์นี้มีความเกี่ยวข้องอย่างยิ่ง เนื่องจากอิเล็กตรอนในกราฟีนมีพฤติกรรมเหมือนอนุภาคไร้มวลที่ปฏิบัติตามสมการของ Dirac ^{[ 11 ]}

การแก้ปัญหาแบบเต็มรูปแบบใช้การผลิตคู่ของอนุภาค-ปฏิอนุภาคในบริบทของทฤษฎีสนามควอนตัม^{[ 10 ]}

ผลลัพธ์เหล่านี้ได้รับการขยายไปยังมิติที่สูงขึ้น และไปยังศักยภาพประเภทอื่น ๆ เช่น ขั้นเชิงเส้น กำแพงสี่เหลี่ยม ศักยภาพเรียบ เป็นต้น การทดลองมากมายในการขนส่งอิเล็กตรอนในกราฟีนอาศัยความขัดแย้งของไคลน์สำหรับอนุภาคไร้มวล^{[ 3 ] [ 12 ]}

เนื่องจากอิเล็กตรอนรอบระดับเฟอร์มิในกราฟีนเป็นไปตามสมการดิแรกเวอร์ชันหนึ่ง การอุโมงค์ไคลน์จึงถูกทำนายทางทฤษฎีว่าจะเกิดขึ้นในกราฟีน ในระบบนี้ ขั้นศักย์อาจเป็นจุดเชื่อมต่อ p–nในตัวอย่างของจุดเชื่อมต่อ ap–n–p การอุโมงค์ของอิเล็กตรอนผ่านกำแพงศักย์สามารถตีความได้ว่าอิเล็กตรอนเปลี่ยนเป็นโฮลชั่วครู่ภายในกำแพงศักย์ แล้วเปลี่ยนกลับเป็นอิเล็กตรอนอีกครั้งที่อีกด้านหนึ่ง ในระหว่างกระบวนการนี้ อิเล็กตรอนไม่เคยอยู่ในสถานะที่ถูกห้ามตามหลักคลาสสิก^{[ 11 ]}

การสังเกตการอุโมงค์ของไคลน์ในกราฟีนในเชิงทดลองนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย เนื่องจากความต้านทานของตัวอย่างไม่ได้ถูกกำหนดโดยการอุโมงค์เพียงอย่างเดียว แต่ยังรวมถึงผลกระทบอื่นๆ เช่นความไม่เป็นระเบียบด้วยเมื่อพิจารณาผลกระทบเหล่านี้ การวัดความต้านทานโดยตรงจะให้หลักฐานว่าการอุโมงค์ของไคลน์เกิดขึ้นในจุดเชื่อมต่อ p–nในตัวอย่างกราฟีน^{[ 13 ]}

การทดลอง การรบกวนควอนตัมผ่านจุดเชื่อมต่อ p–n–p เต็มรูปแบบยังแสดงหลักฐานของการอุโมงค์ไคลน์อีกด้วย^{[ 5 ]}

• รายชื่อของความขัดแย้ง
• สมการของ Dirac
• กราฟีน

• Cheng, T.; Su, Q.; Grobe, R. (กรกฎาคม 2553). "บทนำทบทวนทฤษฎีสนามควอนตัมที่มีความละเอียดเชิงพื้นที่และเวลา" . Contemporary Physics . 51 (4): 315– 330. Bibcode : 2010ConPh..51..315C . doi : 10.1080/00107510903450559 . ISSN  0010-7514 .
• Dombey, N; Calogeracos, A. (กรกฎาคม 1999). "เจ็ดสิบปีแห่งความขัดแย้งของไคลน์". Physics Reports . 315 ( 1– 3): 41– 58. Bibcode : 1999PhR...315...41D . doi : 10.1016/S0370-1573(99)00023-X .
• Robinson, TR (2012). "เกี่ยวกับการทะลุผ่านของ Klein ในกราฟีน". American Journal of Physics . 80 (2): 141– 147. Bibcode : 2012AmJPh..80..141R . doi : 10.1119/1.3658629 .