เบอร์โรห์สเริ่มต้น อาชีพ นักฮอกกี้เยาวชนด้วยการเล่นระดับ AAA แบนแทมกับทีมแลงลีย์ อีเกิลส์^{[ 1 ]}ในฐานะรองกัปตันทีม^{[ 1 ]}เบอร์โรห์สทำคะแนนได้ 40 แต้มจาก 33 เกมในฤดูกาล 2009–10 จากนั้นเขาก็สร้างชื่อเสียงให้กับตัวเองกับทีมแวลลีย์ เวสต์ ฮอว์กส์ในลีกฮอกกี้เมเจอร์มิดเจ็ตของบริติชโคลัมเบียซึ่งเขาได้รับแต่งตั้งให้เป็นรองกัปตันทีมเช่นกัน^{[ 1 ]}ในฤดูกาล 2010–11 เบอร์โรห์สได้รับการเรียกตัวขึ้นไปเล่นให้กับทีมอัลเดอร์โกรฟ โคเดียกส์ในลีกฮอกกี้จูเนียร์ แปซิฟิก และทีมเรจินา แพทส์ใน ลีกฮอกกี้เวสเทิร์ น^{[ 2 ]}เขาถูกดราฟต์โดยทีมแพทส์เป็นอันดับที่ 47 ในการดราฟต์ WHL ปี 2010 ขณะที่อยู่กับทีมแวลลีย์ เวสต์ ฮอว์กส์ เบอร์โรห์สได้รับเลือกให้เป็นผู้เล่นออลสตาร์ของ BCMML ^{[ 3 ]}ในฤดูกาลถัดมา เบอร์โรห์สได้เข้าร่วมทีมแพทส์เพื่อเล่นฤดูกาลเต็มครั้งแรกในฮอกกี้เยาวชนระดับเมเจอร์ เขาเปิดตัวฤดูกาล WHL ครั้งแรกเมื่อวันที่ 28 กันยายน 2011 ในการแข่งขันกับMedicine Hat Tigersโดยช่วยให้ Pats ชนะเกมที่สามติดต่อกันเพื่อเริ่มต้นฤดูกาล2011–12 ^{[ 4 ]}

ก่อนการดราฟท์ผู้เล่น NHL ปี 2013เบอร์โรห์สได้รับการจัดอันดับที่ 206 ในบรรดานักสเก็ตชาวอเมริกาเหนือ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากฤดูกาลที่โดดเด่น เบอร์โรห์สจึงขยับขึ้นมาอยู่ที่อันดับ 133 ภายในเดือนเมษายน^{[ 3 ]}เมื่อวันที่ 15 มีนาคม 2013 เบอร์โรห์สได้รับรางวัล Charles Johnston Memorial Award ในฐานะกองหลังยอดเยี่ยมของทีม Pats หลังจากที่เขานำกองหลังของทีมในด้านคะแนน^{[ 5 ]}ต่อมาเขาถูกดราฟท์ในรอบที่เจ็ดของการดราฟท์ NHL ปี 2013 โดยนิวยอร์ก ไอส์แลนเดอร์ส^{[ 6 ]}

เมื่อวันที่ 23 กันยายน 2013 เบอร์โรห์สได้รับการแต่งตั้งเป็นกัปตันทีมแพทส์แทนที่โคลตัน จ็อบเค ซึ่งเริ่มต้นอาชีพนักกีฬาอาชีพ^{[ 7 ]}ในช่วงฤดูกาล 2013–14เบอร์โรห์สได้รับบาดเจ็บที่ศีรษะจากการปะทะกับเจย์ซ ฮอว์ริลุกเซ็นเตอร์ ของทีม แบรนดอน วีท คิงส์ซึ่งถูกลงโทษแบน 2 เกม เบอร์โรห์สต้องพักรักษาตัว 7 เกม^{[ 8 ]}ถึงกระนั้น เขาก็ทำสถิติสูงสุดในอาชีพการงานทั้งในด้านจำนวนประตูและแอสซิสต์ และได้รับรางวัลชาร์ลส์ จอห์นสตัน เมโมเรียล อวอร์ดอีกครั้ง^{[ 9 ]}หลังจากฤดูกาลของแพทส์สิ้นสุดลง เบอร์โรห์สได้ลงเล่น 9 เกมกับทีมบริดจ์พอร์ต ซาวด์ ไทเกอร์สซึ่งเป็นทีมในอเมริกันฮอกกี้ลีกของไอ ส์แลนเดอร์ ส เพื่อช่วยปิดฤดูกาลของพวกเขา^{[ 10 ]}

เบอร์โรห์สเข้าร่วมแคมป์พัฒนาผู้เล่นของไอส์แลนเดอร์สก่อนฤดูกาล 2014–15 ^{[ 11 ]}แต่ต่อมาได้กลับไปเล่นให้กับแพทส์ ในวันที่ 5 มกราคม 2015 เบอร์โรห์สและดรายเดน ฮันท์ถูกเทรดไปยังเมดิซีน แฮท ไทเกอร์สเพื่อแลกกับคอนเนอร์ ฮอบส์และสิทธิ์ในการดราฟต์ในอนาคต ในขณะนั้น เบอร์โรห์สทำคะแนนได้ 22 แต้มจาก 36 เกมให้กับแพทส์ในฤดูกาลนั้น^{[ 12 ]}ขณะเล่นให้กับเมดิซีน แฮท ไทเกอร์สในรอบเพลย์ออฟ WHL ปี 2015เบอร์โรห์สเซ็นสัญญาระดับเริ่มต้นสามปีกับไอส์แลนเดอร์สในวันที่ 8 เมษายน 2015 ^{[ 13 ]}เบอร์โรห์สทำคะแนนได้ 3 แต้มจาก 10 เกมในรอบเพลย์ออฟ ขณะที่เมดิซีน แฮท ไทเกอร์สแพ้ให้กับคาลการี ฮิตเมนในรอบรองชนะเลิศของคอนเฟอเรนซ์

ในฤดูกาลถัดมา เบอร์โรห์สถูกส่งตัวไปเล่นให้กับทีมในลีกECHL ของไอส์แลนเดอร์ส คือทีมมิสซูรี แมฟเวอริกส์เพื่อเริ่มต้นฤดูกาล 2015–16ซึ่งเป็นฤดูกาลเต็มฤดูกาลแรกของเขาในระดับอาชีพ เขาลงเล่น 18 เกมให้กับแมฟเวอริกส์ ทำได้ 7 แต้ม ก่อนที่จะถูกเรียกตัวกลับไปเล่นในลีก AHL ^{[ 14 ]}เขาทำแต้มแรกในลีก AHL ได้ในวันที่ 1 มกราคม 2016 ด้วยการแอสซิสต์ให้จาเร็ด โกเมสทำประตูได้ในเกมกับสปริงฟิลด์ ธันเดอร์เบิร์ดส์ [ ^{15 ] ใน}วันที่ 6 มีนาคม 2016 เบอร์โรห์สปะทะกับผู้เล่นจากฮาร์ตฟอร์ด วูล์ฟ แพ็คทำให้เขาต้องพักการเล่นไปหนึ่งเดือน^{[ 16 ]}ในฤดูกาลแรกของเขา เบอร์โรห์สเล่นในหน่วยเพาเวอร์เพลย์ชุดที่สองของซาวด์ ไทเกอร์ส และในหน่วยเพนัลตีคิลล์^{[ 17 ]}ทำให้เขาจบฤดูกาลด้วย 10 แต้มจาก 31 เกมในฤดูกาลปกติ เขาช่วยให้ Sound Tigers ผ่านเข้ารอบเพลย์ออฟ Calder Cup ปี 2016 ซึ่งพวกเขาแพ้ ให้ กับ Toronto Marliesในรอบแรก^{[ 18 ]}

หลังจากเข้าร่วมแคมป์ฝึกซ้อมของ Islanders แล้ว Burroughs ก็ถูกส่งตัวกลับไป เล่นให้กับ Sound Tigers ในฤดูกาล 2016–17 ^{[ 19 ]} เขาจบฤดูกาลด้วยสถิติสูงสุดในอาชีพการงานในด้านจำนวนประตู แอสซิสต์ และนาทีโทษ เมื่อวันที่ 30 มีนาคม 2017 Burroughs ได้รับการเสนอชื่อให้เป็น Sound Tigers AHL Man of the Year เนื่องจากผลงานของเขาในชุมชนและองค์กรการกุศล^{[ 20 ]}

เบอร์โรห์สทำผลงานด้านเกมรุกได้ดีขึ้นในช่วงฤดูกาล 2017–18เขาจบฤดูกาลด้วยค่าบวก 16 ซึ่งเป็นอันดับหนึ่งของทีม และทำสถิติสูงสุดในอาชีพทั้งจำนวนประตูและคะแนน^{[ 21 ]}เมื่อวันที่ 29 มีนาคม 2018 เบอร์โรห์สได้รับเลือกให้เป็นผู้เล่นยอดเยี่ยมแห่งปีของ Sound Tigers AHL เป็นครั้งที่สองเนื่องจากผลงานของเขาในชุมชน^{[ 22 ]}เมื่อวันที่ 16 กรกฎาคม 2018 เบอร์โรห์สเซ็นสัญญาขยายเวลาสองปีแบบสองทางกับ Islanders ^{[ 23 ]}

หลังจากผ่านขั้นตอนการยกเลิกสัญญา Burroughs เริ่มฤดูกาล 2018–19กับ Sound Tigers ^{[ 24 ]}ก่อนฤดูกาล 2018–19 Burroughs ได้รับการแต่งตั้งให้เป็นกัปตันร่วมของ Sound Tigers เคียงข้างBen Holmstromโดย Burroughs จะทำหน้าที่เป็นกัปตันเมื่อใดก็ตามที่ Holmstrom ไม่ได้ลงเล่น^{[ 25 ]}เมื่อวันที่ 12 พฤศจิกายน 2018 Burroughs ถูกลงโทษห้ามลงเล่น 1 เกมเนื่องจากเหตุการณ์ใช้ไม้ฮอกกี้ฟาดสูงในเกมกับProvidence Bruins ^{[ 26 ]}ไม่กี่วันต่อมาในวันที่ 17 พฤศจิกายน Burroughs ลงเล่นในเกม AHL ครั้งที่ 200 ของเขา^{[ 27 ]}

เมื่อวันที่ 11 ตุลาคม 2020 Burroughs ถูกเทรดจาก Islanders ไปยังColorado AvalancheแลกกับAJ Greer [ ^{28 ] หลังจาก}เข้าร่วมแคมป์ฝึกซ้อมของ Avalanche ก่อนเริ่มฤดูกาล 2020–21 ที่ล่าช้า Burroughs ถูกส่งตัวไปอยู่ในรายชื่อผู้เล่นที่สามารถถูกปล่อยตัวได้ และเมื่อผ่านขั้นตอนดังกล่าว เขาถูกส่งตัวไปยังทีมใน AHL ที่เป็นพันธมิตรของพวกเขา คือ Colorado Eagles เมื่อวันที่ 10 มกราคม 2021 ^{[ 29 ]} Burroughs ลงเล่นเกมฮอกกี้ NHL เกมแรกของเขาเมื่อวันที่ 5 เมษายน 2021 ในเกมที่ชนะMinnesota Wild 5–4 ที่Xcel Energy Center [ ^{30 ] สอง}วันต่อมา เขาทำแต้ม NHL แรกของเขา ซึ่งเป็นการแอสซิสต์ให้กับประตูของAndré Burakovsky [ ^{31 ] Burroughs}แบ่งเวลาที่เหลือของฤดูกาลระหว่าง Avalanche และ Eagles โดยจบลงด้วย 1 แอสซิสต์จาก 5 เกมในฤดูกาลปกติ

หลังจากประสบความสำเร็จในการเล่นกับโคโลราโด อวาแลนช์ ในฐานะผู้เล่นอิสระ เบอร์โรห์สได้เซ็นสัญญาสองปีแบบสองทางกับแวนคูเวอร์ แคนัคส์ เมื่อวันที่ 28 กรกฎาคม 2021 ^{[ 32 ]}เบอร์โรห์สทำประตูแรกใน NHL ได้ในวันที่ 19 พฤศจิกายน 2021 ในเกมที่แวนคูเวอร์ชนะวินนิเป็ก เจ็ตส์ 3-2 ^{[ 33 ]}

เมื่อวันที่ 1 กรกฎาคม 2023 เบอร์โรห์สเซ็นสัญญากับ ซานโฮเซ ชาร์คส์ในฐานะผู้เล่นอิสระด้วยสัญญา 3 ปี มูลค่า 3.3 ล้านดอลลาร์^{[ 34 ]}อย่างไรก็ตาม หลังจากเซ็นสัญญาไปได้หนึ่งปี เขาก็ถูกเทรดไปยังลอสแอนเจลิส คิงส์เมื่อวันที่ 27 มิถุนายน 2024 เพื่อแลกกับ คาร์ล กรุน ด์สตรอม^{[ 35 ]}

ในฐานะผู้เล่นอิสระจากคิงส์ เบอร์โรห์สเซ็นสัญญากับดัลลัส สตาร์สเป็นเวลาหนึ่งปีแบบสองทางสำหรับ ฤดูกาล 2026–27เมื่อวันที่ 6 กรกฎาคม 2026 ^{[ 36 ]}