ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทการผกผันของลากรางจ์หรือที่รู้จักกันในชื่อสูตรลากรางจ์-เบอร์มันน์ให้การกระจาย อนุกรม เทย์เลอร์ ของฟังก์ชัน ผกผันของฟังก์ชันวิเคราะห์การผกผันของลากรางจ์เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบท ฟังก์ชันผกผัน

สมมติว่าzถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันของwโดยสมการในรูปแบบ

${\displaystyle z=f(w)}$

โดยที่fเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ที่จุดaและจากนั้นจึงสามารถผกผันหรือแก้สมการสำหรับw ได้ โดยแสดงในรูปแบบที่กำหนดโดยอนุกรมกำลัง^{[ 1 ]}${\displaystyle f'(a)\neq 0.}$${\displaystyle w=g(z)}$

${\displaystyle g(z)=a+\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}{\frac {(zf(a))^{n}}{n!}},}$

ที่ไหน

${\displaystyle g_{n}=\lim _{w\to a}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left[\left({\frac {wa}{f(w)-f(a)}}\right)^{n}\right].}$

ทฤษฎีบทนี้ยังกล่าวอีกว่าอนุกรมนี้มีรัศมีของการลู่เข้าที่ไม่เป็นศูนย์ กล่าวคือแสดง ถึงฟังก์ชันวิเคราะห์ของzในบริเวณใกล้เคียงซึ่งเรียกอีกอย่างว่าการกลับทิศทางของอนุกรม${\displaystyle g(z)}$${\displaystyle z=f(a).}$

หากละเว้นข้อความยืนยันเกี่ยวกับความเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ สูตรนี้ยังคงใช้ได้กับอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมและสามารถขยายความได้หลายวิธี: สามารถกำหนดสูตรสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวได้ สามารถขยายเพื่อให้ได้สูตรสำเร็จรูปสำหรับF ( g ( z ))สำหรับฟังก์ชันวิเคราะห์ใดๆFและสามารถขยายความไปยังกรณีที่ฟังก์ชันผกผันgเป็นฟังก์ชันหลายค่าได้ ${\displaystyle f'(a)=0,}$

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์โดยLagrange ^{[ 2 ]}และได้รับการสรุปโดยทั่วไปโดยHans Heinrich Bürmann [ ^{3 ] [ 4 ] [ 5 ] ใน}ช่วงปลายศตวรรษที่ 18 มีการพิสูจน์โดยตรงโดยใช้การวิเคราะห์เชิงซ้อนและการอินทิเกรตเส้นโค้ง [ ^{6 ] เวอร์ชัน}อนุกรมกำลังเชิงซ้อนอย่างเป็นทางการเป็นผลมาจากการรู้สูตรสำหรับพหุนามดังนั้นทฤษฎีของฟังก์ชันวิเคราะห์จึงสามารถนำไปใช้ได้ อันที่จริง กลไกจากทฤษฎีฟังก์ชันวิเคราะห์เข้ามาเกี่ยวข้องในหลักฐานนี้ในรูปแบบที่เป็นทางการเท่านั้น เพราะสิ่งที่จำเป็นจริงๆ คือคุณสมบัติบางอย่างของเศษเหลืออย่างเป็นทางการและ มี หลักฐาน อย่างเป็นทางการที่ตรงกว่า ในความเป็นจริง ทฤษฎีบทการผกผันของ Lagrange มีหลักฐานเพิ่มเติมที่ค่อนข้างแตกต่างกันหลายแบบ รวมถึงแบบที่ใช้การโต้แย้งการนับต้นไม้หรือการเหนี่ยวนำ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

ถ้าfเป็นอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรม สูตรข้างต้นจะไม่ให้สัมประสิทธิ์ของอนุกรมผกผันเชิงองค์ประกอบgโดยตรงในรูปของสัมประสิทธิ์ของอนุกรมfหากสามารถแสดงฟังก์ชันfและgในรูปอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมได้ดังนี้

${\displaystyle f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}}\qquad {\text{และ}}\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}}}$

เมื่อf ₀ = 0และf ₁ ≠ 0แล้ว รูปแบบที่ชัดเจนของสัมประสิทธิ์ผกผันสามารถระบุได้ในรูปของพหุนามเบลล์ : ^{[ 10 ]}

${\displaystyle g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{\overline {k}}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_{nk}),\quad n\geq 2,}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}_{k}&={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},\\g_{1}&={\frac {1}{f_{1}}},{\text{ และ}}\\n^{\overline {k}}&=n(n+1)\cdots (n+k-1)\end{aligned}}}$

คือ แฟกทอเรี ยล ที่เพิ่มขึ้น

เมื่อf ₁ = 1สูตรสุดท้ายสามารถตีความได้ในแง่ของหน้าของแอสโซซิอาเฮดรา^{[ 11 ]}

${\displaystyle g_{n}=\sum _{F{\text{ face of }}K_{n}}(-1)^{n-\dim F}f_{F},\quad n\geq 2,}$

โดยที่สำหรับแต่ละหน้าของแอสโซซิอาเฮดรอน${\displaystyle f_{F}=f_{i_{1}}\cdots f_{i_{m}}}$${\displaystyle F=K_{i_{1}}\times \cdots \times K_{i_{m}}}$${\displaystyle K_{n}.}$

ตัวอย่างเช่นสมการพีชคณิตดีกรีp

${\displaystyle x^{p}-x+z=0}$

สามารถหาค่าx ได้ โดยใช้สูตรการผกผันของลากรางจ์สำหรับฟังก์ชันf ( x ) = x − xp ซึ่ง ^จะได้ผลลัพธ์เป็นอนุกรมคำตอบอย่างเป็นทางการ

${\displaystyle x=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {pk}{k}}{\frac {z^{(p-1)k+1}}{(p-1)k+1}}.}$

จากการทดสอบการลู่เข้า พบว่าอนุกรมนี้ลู่เข้าจริงซึ่งเป็นดิสก์ที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถกำหนด อินเวอร์สเฉพาะที่ของ f ได้${\displaystyle |z|\leq (p-1)p^{-p/(p-1)},}$

มีกรณีพิเศษของทฤษฎีบทการผกผันของลากรางจ์ที่ใช้ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงและใช้ได้เมื่อสำหรับตัววิเคราะห์บางตัวที่มี ให้เลือกเพื่อให้ได้จากนั้นสำหรับตัวผกผัน(ที่สอดคล้องกับ) เราจะได้ ${\displaystyle f(w)=w/\phi (w)}$${\displaystyle \phi (w)}$${\displaystyle \phi (0)\neq 0.}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle f(a)=f(0)=0.}$${\displaystyle g(z)}$${\displaystyle f(g(z))\equiv z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left(\left({\frac {w}{w/\phi (w)}}\right)^{n}\right)\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[{\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}(\phi (w)^{n})\right]z^{n},\end{aligned}}}$

ซึ่งสามารถเขียนได้อีกแบบว่า

${\displaystyle [z^{n}]g(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}]\phi (w)^{n},}$

โดยที่เป็นตัวดำเนินการที่ดึงค่าสัมประสิทธิ์ของ ในอนุกรมเทย์เลอ ร์ ของฟังก์ชันของw${\displaystyle [w^{r}]}$${\displaystyle w^{r}}$

สูตรทั่วไปของสูตรนี้เรียกว่าสูตรลากรางจ์-เบอร์มันน์ :

${\displaystyle [z^{n}]H(g(z))={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](H'(w)\phi (w)^{n})}$

โดยที่Hเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ใดๆ

บางครั้ง อนุพันธ์H ′ ( w )อาจค่อนข้างซับซ้อน สูตรที่ง่ายกว่าจะแทนที่H ′ ( w )ด้วยH ( w )(1 − φ ′ ( w )/ φ ( w ))เพื่อให้ได้

${\displaystyle [z^{n}]H(g(z))=[w^{n}]H(w)\phi (w)^{n-1}(\phi (w)-w\phi '(w)),}$

ซึ่งเกี่ยวข้องกับφ ′ ( w )แทนที่จะเป็นH ′ ( w )

ฟังก์ชัน Lambert Wคือฟังก์ชันที่ถูกกำหนดโดยปริยายจากสมการ ${\displaystyle W(z)}$

${\displaystyle W(z)e^{W(z)}=z.}$

เราอาจใช้ทฤษฎีบทเพื่อคำนวณอนุกรมเทย์เลอร์ของที่เราใช้และเมื่อตระหนักว่า ${\displaystyle W(z)}$${\displaystyle z=0.}$${\displaystyle f(w)=we^{w}}$${\displaystyle a=0.}$

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{\alpha x}=\alpha ^{n}e^{\alpha x},}$

สิ่งนี้ให้

${\displaystyle {\begin{aligned}W(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}e^{-nw}\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).\end{aligned}}}$

รัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมนี้คือ(ซึ่งให้สาขาหลักของฟังก์ชันแลมเบิร์ต) ${\displaystyle e^{-1}}$

อนุกรมที่ลู่เข้าสำหรับ(โดยประมาณ) สามารถหาได้จากการผกผันอนุกรมเช่นกัน ฟังก์ชันดังกล่าวสอดคล้องกับสมการ ${\displaystyle |\ln(z)-1|<{\sqrt {4+\pi ^{2}}}}$${\displaystyle 0.0655<z<112.63}$${\displaystyle f(z)=W(e^{z})-1}$

${\displaystyle 1+f(z)+\ln(1+f(z))=z.}$

จากนั้นสามารถขยายเป็นอนุกรมกำลังและผกผันได้^{[ 12 ]} ซึ่งจะให้อนุกรมสำหรับ${\displaystyle z+\ln(1+z)}$${\displaystyle f(z+1)=W(e^{z+1})-1{\text{:}}}$

${\displaystyle W(e^{1+z})=1+{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{16}}-{\frac {z^{3}}{192}}-{\frac {z^{4}}{3072}}+{\frac {13z^{5}}{61440}}-O(z^{6}).}$

${\displaystyle W(x)}$สามารถคำนวณได้โดยการแทนค่าzในอนุกรมข้างต้น ตัวอย่างเช่น การแทนค่า−1ลงในzจะได้ค่าของ${\displaystyle \ln x-1}$${\displaystyle W(1)\approx 0.567143.}$

พิจารณา^{[ 13 ]}เซตของต้นไม้ไบนารี ที่ไม่มีป้ายกำกับ องค์ประกอบของคือ ใบที่มีขนาดศูนย์ หรือ โหนดรากที่มีต้นไม้ย่อยสองต้น กำหนดให้ เป็นจำนวนต้นไม้ไบนารีบนโหนด ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n}$

การลบรากจะแบ่งต้นไม้ไบนารีออกเป็นสองต้นไม้ที่มีขนาดเล็กลง ซึ่งจะได้สมการเชิงฟังก์ชันบนฟังก์ชันก่อกำเนิด${\displaystyle \textstyle B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}z^{n}{\text{:}}}$

${\displaystyle B(z)=1+zB(z)^{2}.}$

เมื่อกำหนดให้ จะได้ว่าเมื่อใช้ทฤษฎีบทกับจะได้ว่า ${\displaystyle C(z)=B(z)-1}$${\displaystyle C(z)=z(C(z)+1)^{2}.}$${\displaystyle \phi (w)=(w+1)^{2}}$

${\displaystyle B_{n}=[z^{n}]C(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](w+1)^{2n}={\frac {1}{n}}{\binom {2n}{n-1}}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}.}$

นี่แสดงให้เห็นว่าเป็นจำนวนคาตาลันลำดับ ที่n${\displaystyle B_{n}}$

ในทฤษฎีบทลาปลาซ-เออร์เดลยี ซึ่งให้การประมาณเชิงอะซิมโทติกสำหรับปริพันธ์ประเภทลาปลาซ การผกผันฟังก์ชันถือเป็นขั้นตอนที่สำคัญยิ่ง

• สูตรของ Faà di Brunoให้ค่าสัมประสิทธิ์ของการประกอบอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมสองชุดในรูปของค่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรมทั้งสองนั้น หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นสูตรสำหรับ อนุพันธ์อันดับที่ nของฟังก์ชันประกอบ
• ทฤษฎีบทการกลับด้านของลากรองจ์หรืออีกทฤษฎีบทหนึ่งที่บางครั้งเรียกว่า ทฤษฎีบทการผกผัน
• อนุกรมกำลังเชิงรูปธรรม § สูตรผกผันของลากรางจ์

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ทฤษฎีบทของบือร์มันน์" . แมธเวิลด์ .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "การกลับลำดับอนุกรม" . MathWorld .
• ชุดหนังสือ Bürmann–Lagrangeที่Springer EOM