ตะแกรงขนาดใหญ่เป็นวิธีการ (หรือกลุ่มของวิธีการและแนวคิดที่เกี่ยวข้อง) ในทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์เป็นตะแกรง ประเภทหนึ่ง ที่กำจัดชั้นเศษเหลือของจำนวนได้มากถึงครึ่งหนึ่ง ซึ่งแตกต่างจากตะแกรงขนาดเล็ก เช่นตะแกรงเซลเบิร์กที่กำจัดชั้นเศษเหลือเพียงไม่กี่ชั้นเท่านั้น วิธีการนี้ได้รับการพัฒนาให้ดียิ่งขึ้นด้วยตะแกรงขนาดใหญ่ที่กำจัดชั้นเศษเหลือได้มากตามอำเภอใจ^{[ 1 ]}

ชื่อของมันมาจากการประยุกต์ใช้ดั้งเดิม: กำหนดให้เซตหนึ่งซึ่งห้ามไม่ให้สมาชิกของเซตนั้นอยู่ในเซตมอดูลของจำนวนเฉพาะทุกตัวจะมีขนาดใหญ่ได้แค่ไหน? ในที่นี้ถือว่ามีขนาดใหญ่ กล่าวคือ อย่างน้อยก็ใหญ่เท่ากับค่าคงที่คูณกับ; ถ้าไม่ใช่เช่นนั้น เราจะเรียกว่าตะแกรงขนาดเล็ก${\displaystyle S\subset \{1,\ldots ,N\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A_{p}\subset \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A_{p}}$${\displaystyle p}$

ประวัติศาสตร์ช่วงต้นของตะแกรงขนาดใหญ่ย้อนกลับไปถึงงานของYu. B. Linnikในปี 1941 ซึ่งทำงานเกี่ยวกับปัญหาของเศษเหลือที่ไม่น้อยที่สุดของ กำลังสอง ต่อมาAlfréd Rényiได้ทำงานเกี่ยวกับเรื่องนี้โดยใช้วิธีการทางความน่าจะเป็น หลังจากนั้นอีกสองทศวรรษต่อมา หลังจากที่มีผู้ร่วมงานจำนวนมาก ตะแกรงขนาดใหญ่จึงได้รับการกำหนดสูตรอย่างชัดเจนมากขึ้น เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นในช่วงต้นทศวรรษ 1960 ในงานอิสระของKlaus RothและEnrico Bombieriและในช่วงเวลานั้นเองที่ความเชื่อมโยงกับหลักการทวิภาวะได้รับการเข้าใจมากขึ้น ในช่วงกลางทศวรรษ 1960 ทฤษฎีบท Bombieri–Vinogradovได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นการประยุกต์ใช้ตะแกรงขนาดใหญ่ที่สำคัญ โดยใช้การประมาณค่าเฉลี่ยของลักษณะเฉพาะของDirichletในช่วงปลายทศวรรษ 1960 และต้นทศวรรษ 1970 ส่วนประกอบและค่าประมาณที่สำคัญหลายอย่างได้รับการทำให้ง่ายขึ้นโดยPatrick X. Gallagher ^{[ 2 ]}

วิธีการคัดกรองขนาดใหญ่ได้รับการพัฒนาจนสามารถนำไปใช้กับสถานการณ์การคัดกรองขนาดเล็กได้เช่นกัน โดยทั่วไปแล้ว สิ่งใดสิ่งหนึ่งจะถูกมองว่าเกี่ยวข้องกับวิธีการคัดกรองขนาดใหญ่ ไม่ได้หมายความว่ามันเกี่ยวข้องกับสถานการณ์ที่กล่าวมาข้างต้นเสมอไป แต่ขึ้นอยู่กับว่ามันเกี่ยวข้องกับวิธีการพิสูจน์สองวิธีใดวิธีหนึ่งที่ใช้กันมาแต่เดิมเพื่อให้ได้ผลลัพธ์แบบคัดกรองขนาดใหญ่หรือไม่

ถ้าเซตมีการกระจายตัวไม่ดี(เช่น เนื่องจากถูกแยกออกจากชั้นความสอดคล้อง) ค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเซตจะมีค่าเฉลี่ยมาก ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้สามารถยกกำลังไปยังค่าของการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเซตได้นั่นคือ ${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle A_{p}}$${\displaystyle {\widehat {f_{p}}}(a)}$${\displaystyle f_{p}}$${\displaystyle S{\bmod {p}}}$${\displaystyle {\widehat {f}}(a/p)}$${\displaystyle {\วงกว้าง {f}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle {\widehat {f}}(a/p)={\widehat {f_{p}}}(a).}$$

การหาขอบเขตของอนุพันธ์แสดงให้เห็นว่าจะต้องมีค่ามากโดยเฉลี่ย สำหรับจำนวนใกล้เคียงตรรกยะทั้งหมดในรูปแบบ โดยคำ ว่า " มาก " ในที่นี้หมายถึง "ค่าคงที่ที่มีค่ามากเมื่อเทียบ กับค่าคงที่ที่มีค่ามาก " เนื่องจาก จะเกิดข้อขัดแย้งกับเอกลักษณ์ของ Plancherel เว้นแต่ว่าจะมีค่าน้อย (ในทางปฏิบัติ เพื่อเพิ่มประสิทธิภาพของขอบเขต ปัจจุบันผู้คนมักปรับเปลี่ยนเอกลักษณ์ของ Plancherel ให้เป็นสมการแทนที่จะเป็นการหาขอบเขตของอนุพันธ์ดังที่กล่าวมาข้างต้น) ${\displaystyle {\widehat {f}}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a/p}$${\displaystyle |S|}$$${\displaystyle |f|_{2}={\sqrt {|S|}},}$$$${\displaystyle |{\widehat {f}}|_{2}=|f|_{2}}$$${\displaystyle |S|}$

เราสามารถพิสูจน์ผลลัพธ์ตะแกรงขนาดใหญ่ที่แข็งแกร่งได้อย่างง่ายดายโดยสังเกตข้อเท็จจริงพื้นฐานต่อไปนี้จากการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน: บรรทัดฐานของตัวดำเนินการเชิงเส้น (เช่น $${\displaystyle \sup _{v}|Av|_{W}/|v|_{V},\,}$$

โดยที่ตัวดำเนินการจากปริภูมิเชิงเส้นหนึ่งไปยังปริภูมิเชิงเส้นอีกปริภูมิหนึ่ง มีค่าเท่ากับค่าบรรทัดฐานของตัวดำเนินการผกผัน กล่าวคือ ${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$$${\displaystyle \sup _{w}|A^{*}w|_{V}^{*}/|w|_{W}^{*}.}$$

หลักการนี้เองได้ถูกเรียกขานในตำราคณิตศาสตร์บางเล่มว่า "ตะแกรงขนาดใหญ่"

นอกจากนี้ ยังสามารถสร้างตะแกรงขนาดใหญ่จากตะแกรงขนาดใหญ่ในรูปแบบของเซลเบิร์กได้อีกด้วย (ดู เซลเบิร์กผลงานรวมเล่มที่ 2 บรรยายเรื่องตะแกรง)

• ทฤษฎีบทบอมเบียรี-วินอกราดอฟ
• ตะแกรงขนาดใหญ่กว่า