รหัสเลกซิโคกราฟิกหรือเลกซิโคดเป็นรหัสแก้ไขข้อผิดพลาด ที่สร้างขึ้นอย่างโลภ ซึ่งมีคุณสมบัติที่ดีเยี่ยม รหัสเหล่านี้ถูกสร้างขึ้นโดยอิสระโดย Vladimir Levenshtein ^{[ 1 ]}และโดยJohn Horton ConwayและNeil Sloane [ ^{2 ] รหัส}เลกซิโคกราฟิกแบบไบนารีเป็นรหัสเชิงเส้นและรวมถึงรหัสแฮมมิงและ รหัสโกเล ย์แบบไบนารี^{[ 2 ]}

เลกซิโค้ดที่มีความยาวnและระยะห่างต่ำสุดdบนฟิลด์จำกัดจะถูกสร้างขึ้นโดยเริ่มจากเวกเตอร์ที่เป็นศูนย์ทั้งหมด แล้วค่อยๆ เพิ่มเวกเตอร์ถัดไป (ตามลำดับพจนานุกรม ) ที่มีระยะห่างแฮมมิ งต่ำสุด dจากเวกเตอร์ที่เพิ่มเข้ามาแล้ว ตัวอย่างเช่น เลกซิโค้ดความยาว 3 ที่มีระยะห่างต่ำสุด 2 จะประกอบด้วยเวกเตอร์ที่ทำเครื่องหมายด้วย "X" ในตัวอย่างต่อไปนี้:

เวกเตอร์	ในโค้ด?
000	X
001
010
011	X
100
101	X
110	X
111

ตารางนี้แสดงเลกซิโค้ด n บิตทั้งหมด โดยเรียงตามระยะห่างแฮมมิงขั้นต่ำ d บิต ซึ่งส่งผลให้พจนานุกรมคำรหัสสูงสุดมี 2m ^คำตัวอย่างเช่น รหัส F4 ₍ n=4, d=2, m=3), รหัสแฮมมิงแบบขยาย (n=8, d=4, m=4) และโดยเฉพาะอย่างยิ่งรหัสโกเลย์ (n=24, d=8, m=12) แสดงให้เห็นถึงความกะทัดรัดเป็นพิเศษเมื่อเทียบกับรหัสข้างเคียง

n \ d	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
1	1
2	2	1
3	3	2	1
4	4	3	1	1
5	5	4	2	1	1
6	6	5	3	2	1	1
7	7	6	4	3	1	1	1
8	8	7	4	4	2	1	1	1
9	9	8	5	4	2	2	1	1	1
10	10	9	6	5	3	2	1	1	1	1
11	11	10	7	6	4	3	2	1	1	1	1
12	12	11	8	7	4	4	2	2	1	1	1	1
13	13	12	9	8	5	4	3	2	1	1	1	1	1
14	14	13	10	9	6	5	4	3	2	1	1	1	1	1
15	15	14	11	10	7	6	5	4	2	2	1	1	1	1	1
16	16	15	11	11	8	7	5	5	2	2	1	1	1	1	1	1
17	17	16	12	11	9	8	6	5	3	2	2	1	1	1	1	1	1
18	18	17	13	12	9	9	7	6	3	3	2	2	1	1	1	1	1	1
19	19	18	14	13	10	9	8	7	4	3	2	2	1	1	1	1	1	1
20	20	19	15	14	11	10	9	8	5	4	3	2	2	1	1	1	1	1
21	21	20	16	15	12	11	10	9	5	5	3	3	2	2	1	1	1	1
22	22	21	17	16	12	12	11	10	6	5	4	3	2	2	1	1	1	1
23	23	22	18	17	13	12	12	11	6	6	5	4	2	2	2	1	1	1
24	24	23	19	18	14	13	12	12	7	6	5	5	3	2	2	2	1	1
25	25	24	20	19	15	14	12	12	8	7	6	5	3	3	2	2	1	1
26	26	25	21	20	16	15	12	12	9	8	7	6	4	3	2	2	2	1
27	27	26	22	21	17	16	13	12	9	9	7	7	5	4	3	2	2	2
28	28	27	23	22	18	17	13	13	10	9	8	7	5	5	3	3	2	2
29	29	28	24	23	19	18	14	13	11	10	8	8	6	5	4	3	2	2
30	30	29	25	24	19	19	15	14	12	11	9	8	6	6	5	4	2	2
31	31	30	26	25	20	19	16	15	12	12	10	9	6	6	6	5	3	2
32	32	31	26	26	21	20	16	16	13	12	11	10	7	6	6	6	3	3
33	...	32	...	26	...	21	...	16	...	13	...	11	...	7	...	6	...	3

ระยะห่างของเลกซิโค้ด d บิตคี่ทั้งหมดเป็นสำเนาที่เหมือนกันทุกประการของระยะห่าง d+1 บิตคู่ ลบด้วยมิติสุดท้าย ดังนั้นปริภูมิที่มีมิติเป็นเลขคี่จึงไม่สามารถสร้างสิ่งใหม่หรือสิ่งที่น่าสนใจกว่าปริภูมิ d+1 มิติคู่ข้างต้นได้

เนื่องจากเลกซิโคดเป็นเชิงเส้น จึงสามารถสร้างขึ้นโดยใช้ฐานของมันได้เช่นกัน^{[ 3 ]}

ต่อไปนี้ C จะสร้างรหัสพจนานุกรมและตั้งค่าพารามิเตอร์สำหรับรหัส Golay (N=24, D=8)

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> int main () { /* การสร้างโค้ด GOLAY */ int i , j , k ; int _pc [ 1 << 16 ] = { 0 }; // มาโคร PopCount for ( i = 0 ; i < ( 1 << 16 ); i ++ ) for ( j = 0 ; j < 16 ; j ++ ) _pc [ i ] += ( i >> j ) & 1 ; #define pc(X) (_pc[(X)&0xffff] + _pc[((X)>>16)&0xffff]) #define N 24 // N บิต#define D 8 // ระยะห่าง D บิตunsigned int * z = malloc ( 1 << 29 ); for ( i = j = 0 ; i < ( 1 << N ); i ++ ) { // สแกนเลกซิโคดก่อนหน้าทั้งหมดfor ( k = j -1 ; k >= 0 ; k -- ) // ถ้า( pc ( z [ k ] ^ i ) < D ) // ตรวจสอบย้อนกลับbreak ; // เร็วกว่ามาก... ถ้า( k == -1 ) { // เพิ่มเลกซิโคดใหม่for ( k = 0 ; k < N ; k ++ ) // และพิมพ์printf ( "%d" , ( i >> k ) & 1 ); printf ( " : %d \n " , j ); z [ j ++ ] = i; } } }

ทฤษฎีของรหัสพจนานุกรมมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีเกมเชิงการจัดเรียงโดยเฉพาะอย่างยิ่ง รหัสคำในรหัสพจนานุกรมไบนารีที่มีระยะทางdจะเข้ารหัสตำแหน่งที่ชนะในเกม Grundy รูปแบบหนึ่ง ซึ่งเล่นบนกองหิน โดยแต่ละการเคลื่อนไหวประกอบด้วยการแทนที่กองหินหนึ่งกองด้วยกองหินที่เล็กกว่าไม่เกินd − 1 กอง และเป้าหมายคือการหยิบหินก้อนสุดท้าย^{[ 2 ]}

• ตารางเลกซิโคดไบนารีของบ็อบ เจนกินส์
• เครื่องมือสร้างพจนานุกรมและรูปแบบต่างๆ แบบออนไลน์
• ลำดับ OEIS A075928 (รายการรหัสคำในเลกซิโค้ดไบนารีที่มีระยะห่างแฮมมิง 4 เขียนเป็นตัวเลขทศนิยม)
• รหัสแก้ไขข้อผิดพลาดบนกราฟ: เลกซิโค้ด , เทรลลิส และกราฟแฟกเตอร์