ในทฤษฎีจำนวนเกณฑ์ของหลี่เป็นข้อความเฉพาะเกี่ยวกับการเป็นบวกของลำดับบางอย่าง ซึ่งเทียบเท่ากับสมมติฐานของรีมันน์เกณฑ์นี้ตั้งชื่อตามเซียนจิน หลี่ ผู้เสนอเกณฑ์นี้ในปี 1997 ในปี 1999 เอนริโก บอมเบียรีและเจฟฟรีย์ ซี. ลาการิอัสได้เสนอการสรุปทั่วไป โดยแสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขการเป็นบวกของหลี่ใช้ได้กับกลุ่มจุดใดๆ ที่อยู่บนแกน Re( s ) = 1/2

ฟังก์ชัน Riemann ξกำหนดโดย

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$

โดยที่ ζ คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์พิจารณาลำดับต่อไปนี้

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}.}$

เกณฑ์ของหลี่จึงเป็นข้อความที่ว่า

สมมติฐานของรีมันน์เทียบเท่ากับข้อความที่ว่า${\displaystyle \แลมบ์ดา _{n}>0}$สำหรับจำนวนเต็มบวกทุกจำนวน${\displaystyle n}$.

ตัวเลข${\displaystyle \lambda _{n}}$(บางครั้งอาจมีการกำหนดโดยใช้ค่ามาตรฐานที่แตกต่างกันเล็กน้อย) เรียกว่าสัมประสิทธิ์ Keiper-Li หรือสัมประสิทธิ์ Li นอกจากนี้ยังสามารถแสดงในรูปของศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของ Riemann ได้อีกด้วย:

${\displaystyle \lambda _{n}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]}$

โดยที่ผลรวมนั้นครอบคลุม ρ ซึ่งเป็นศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์ของฟังก์ชันซีตา ผลรวม ที่ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข นี้ ควรเข้าใจในความหมายที่มักใช้ในทฤษฎีจำนวน กล่าวคือ

${\displaystyle \sum _{\rho }=\lim _{N\to \infty }\sum _{|\operatorname {Im} (\rho )|\leq N}.}$

(Re( s ) และ Im( s ) แทนส่วนจริงและส่วนจินตนาการของsตามลำดับ)

ความคิดเชิงบวกของ${\displaystyle \lambda _{n}}$ได้รับการตรวจสอบแล้วจนถึง${\displaystyle n=10^{5}}$โดยการคำนวณโดยตรง

โปรดทราบว่า${\displaystyle \left|1-{\frac {1}{\rho }}\right|<1\Leftrightarrow |\rho -1|<|\rho |\Leftrightarrow Re(\rho )>1/2}$.

จากนั้น เริ่มต้นด้วยฟังก์ชันทั้งหมด${\displaystyle f(s)=\prod _{\rho }{\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)}}$, อนุญาต${\displaystyle \phi (z)=f\left({\frac {1}{1-z}}\right)}$.

${\displaystyle \phi }$หายไปเมื่อ${\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=\rho \ลูกศรซ้าย z=1-{\frac {1}{\rho }}}$. เพราะฉะนั้น,${\displaystyle {\frac {\phi '(z)}{\phi (z)}}}$เป็นโฮโลมอร์ฟิกบนดิสก์หน่วย${\displaystyle |z|<1}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \left|1-{\frac {1}{\rho }}\right|\geq 1\Leftrightarrow Re(\rho )\leq 1/2}$.

เขียนอนุกรมเทย์เลอร์${\displaystyle {\frac {\phi '(z)}{\phi (z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$. เนื่องจาก

${\displaystyle \log \phi (z)=\sum _{\rho }{\log \left(1-{\frac {1}{\rho (1-z)}}\right)}=\sum _{\rho }{\log \left(1-{\frac {1}{\rho }}-z\right)-\log(1-z)}}$

เรามี

${\displaystyle {\frac {\phi '(z)}{\phi (z)}}=\sum _{\rho }{{\frac {1}{1-z}}-{\frac {1}{1-{\frac {1}{\rho }}-z}}}}$

ดังนั้น

${\displaystyle c_{n}=\sum _{\rho }{1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{-n-1}}=\sum _{\rho }{1-\left(1-{\frac {1}{1-\rho }}\right)^{n+1}}}$.

สุดท้าย ถ้าแต่ละศูนย์${\displaystyle \rho }$มาพร้อมกับคู่ควบที่ซับซ้อน ของมัน${\displaystyle {\bar {\rho }}}$จากนั้นเราอาจรวมเงื่อนไขต่างๆ เพื่อให้ได้

${\displaystyle c_{n}=\sum _{\rho }{Re\left(1-\left(1-{\frac {1}{1-\rho }}\right)^{n+1}\right)}}$.

1

เงื่อนไข${\displaystyle Re(\rho )\leq 1/2}$จากนั้นจึงเทียบเท่ากับ${\displaystyle \lim \sup _{n\to \infty }|c_{n}|^{1/n}\leq 1}$ด้านขวาของ ( 1 ) เห็นได้ชัดว่าไม่เป็นลบเมื่อทั้งสอง${\displaystyle n\geq 0}$และ${\displaystyle \left|1-{\frac {1}{1-\rho }}\right|\leq 1\Leftrightarrow \left|1-{\frac {1}{\rho }}\right|\geq 1\Leftrightarrow Re(\rho )\leq 1/2}$ในทางกลับกัน การสั่งซื้อ${\displaystyle \rho }$โดย${\displaystyle \left|1-{\frac {1}{1-\rho }}\right|}$เราจะเห็นว่าสิ่งที่ใหญ่ที่สุด${\displaystyle \left|1-{\frac {1}{1-\rho }}\right|>1}$ภาคเรียน (${\displaystyle \Leftrightarrow Re(\rho )>1/2}$) ครอบงำผลรวมเนื่องจาก${\displaystyle n\to \infty }$และด้วยเหตุนี้${\displaystyle c_{n}}$กลายเป็นค่าลบได้ในบางครั้ง P. Freitas (2008). " เกณฑ์แบบ Li สำหรับระนาบครึ่งที่ปราศจากศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์" arXiv : math.MG/0507368

Bombieri และ Lagarias แสดงให้เห็นว่าเกณฑ์ที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับกลุ่มของจำนวนเชิงซ้อน ใดๆ และจึงไม่ได้จำกัดอยู่เฉพาะสมมติฐานของ Riemann เท่านั้น กล่าวคือ ให้R  =  { ρ } เป็นกลุ่มของจำนวนเชิงซ้อนρ ใดๆ ที่ไม่มีρ  =  1 ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้

${\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {1+\left|\operatorname {Re} (\rho )\right|}{(1+|\rho |)^{2}}}<\infty .}$

จากนั้นเราอาจกล่าวข้อความที่เทียบเท่ากันได้หลายข้อความเกี่ยวกับเซตดังกล่าว ข้อความหนึ่งในนั้นคือข้อความต่อไปนี้:

หนึ่งมี${\displaystyle \operatorname {Re} (\rho )\leq 1/2}$สำหรับทุกρก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle \sum _{\rho }\operatorname {Re} \left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{-n}\right]\geq 0}$

สำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

อาจกล่าวได้น่าสนใจยิ่งขึ้น หากเซตR เป็นไปตาม สมการเชิงฟังก์ชันบางอย่างภายใต้การแทนที่s  ↦  1 − sกล่าวคือ ถ้าเมื่อใดก็ตามที่ρอยู่ในRแล้วทั้งค่าสังยุคเชิงซ้อนและค่าสังยุคเชิงซ้อน  ${\displaystyle {\overline {\rho }}}$และ${\displaystyle 1-\rho }$ถ้าอยู่ในRแล้ว เกณฑ์ของ Li สามารถระบุได้ดังนี้:

จะมี Re( ρ )  =  1/2 สำหรับทุกρก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle \sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]\geq 0}$

สำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

Bombieri และ Lagarias ยังแสดงให้เห็นว่าเกณฑ์ของ Li เป็นผลมาจากเกณฑ์ของ Weilสำหรับสมมติฐานของ Riemann ด้วย

ในปี 2006 พี. ไฟรตัส พิสูจน์ว่าค่าศูนย์ทั้งหมดของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์นั้นอยู่ภายในบริเวณดังกล่าว${\displaystyle \Re (s)\leq \tau /2}$, ที่ไหน${\displaystyle \tau \in [1/2,\infty )}$ก็ต่อเมื่อตัวเลขเหล่านั้น

${\displaystyle \sum _{\rho }\left[1-\left({\frac {\rho }{\rho -\tau }}\right)^{n}\right]}$

มีค่าไม่เป็นลบสำหรับจำนวนเต็มบวกทุกจำนวน${\displaystyle n}$สัมประสิทธิ์เหล่านี้เรียกว่า${\displaystyle \tau }$สัมประสิทธิ์ -Li [ ^{1 ] A.} Droll ^{[ 2 ]}ได้ขยายผลลัพธ์ไปยังคลาส Selberg ที่ขยายออกไป A. Bucur, A.-M. Ernvall-Hytönen, A. Odžak และ L. Smajlović ^{[ 3 ]}ได้ตรวจสอบพฤติกรรมของสัมประสิทธิ์สำหรับฟังก์ชันบางอย่างที่ละเมิดสมมติฐานของ Riemann และ N. Palojärvi ^{[ 4 ]}ได้พิสูจน์เงื่อนไขที่ชัดเจนระหว่างจำนวนจำกัด${\displaystyle \tau }$สัมประสิทธิ์ -Li และบริเวณที่ไม่มีศูนย์