ในฟิสิกส์โดยเฉพาะ ทฤษฎีสั มพัทธภาพพิเศษพิกัดกรวยแสงซึ่งแนะนำโดยพอล ดิแรก^{[ 1 ]}และเรียกอีกอย่างว่าพิกัดดิแรก เป็นระบบพิกัดพิเศษที่แกนพิกัดสองแกนรวมทั้งพื้นที่และเวลา ในขณะที่แกนอื่นๆ ทั้งหมดเป็นเชิงพื้นที่

ระนาบปริภูมิเวลาอาจเกี่ยวข้องกับระนาบของจำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วนซึ่งถูกกระทำโดยองค์ประกอบของไฮเปอร์โบลาหน่วย เพื่อทำให้เกิดการเร่งความเร็วแบบลอเรนซ์ ระนาบจำนวนนี้มีแกนที่สอดคล้องกับเวลาและอวกาศ ฐานทางเลือกอีกแบบหนึ่งคือฐานแนวทแยงซึ่งสอดคล้องกับพิกัดกรวยแสง

ในระบบพิกัดทรงกรวยแสง พิกัดสองพิกัดจะสัมพันธ์กับเวกเตอร์ศูนย์และพิกัดที่เหลือทั้งหมดเป็นพิกัดเชิงพื้นที่ พิกัดแรกสามารถแสดงด้วยและและพิกัดหลัง สามารถแสดง ด้วย ${\displaystyle x^{+}}$${\displaystyle x^{-}}$${\displaystyle x_{\perp }}$

สมมติว่าเรากำลังทำงานกับลายเซ็นลอเรนซ์แบบ (d,1)

แทนที่จะใช้ระบบพิกัดมาตรฐาน (โดยใช้สัญกรณ์ของไอน์สไตน์ )

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}}$,

กับที่เรามี ${\displaystyle i,j=1,\dots ,d}$

${\displaystyle ds^{2}=-2dx^{+}dx^{-}+\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}}$

โดยมีและ​ ${\displaystyle i,j=1,\dots ,d-1}$${\displaystyle x^{+}={\frac {t+x}{\sqrt {2}}}}$${\displaystyle x^{-}={\frac {tx}{\sqrt {2}}}}$

ทั้งสองอย่างสามารถทำหน้าที่เป็นพิกัด "เวลา" ได้^{[ 2 ] : 21} ${\displaystyle x^{+}}$${\displaystyle x^{-}}$

ข้อดีอย่างหนึ่งของระบบพิกัดกรวยแสงคือโครงสร้างเชิงสาเหตุถูกรวมเข้าไว้ในระบบพิกัดนั้นบางส่วนแล้ว

การเพิ่มกำลังในระนาบจะปรากฏเป็นการบีบอัดแผนที่ , , . การหมุนใน ระนาบ - จะส่งผลต่อ . เท่านั้น${\displaystyle (t,x)}$${\displaystyle x^{+}\to e^{+\beta }x^{+}}$${\displaystyle x^{-}\to e^{-\beta }x^{-}}$${\displaystyle x^{i}\to x^{i}}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle x_{\perp }}$

การแปลงพาราโบลาปรากฏเป็น, , . การแปลงพาราโบลาอีกชุดหนึ่งปรากฏเป็น, และ. ${\displaystyle x^{+}\to x^{+}}$${\displaystyle x^{-}\to x^{-}+\delta _{ij}\alpha ^{i}x^{j}+{\frac {\alpha ^{2}}{2}}x^{+}}$${\displaystyle x^{i}\to x^{i}+\alpha ^{i}x^{+}}$${\displaystyle x^{+}\to x^{+}+\delta _{ij}\alpha ^{i}x^{j}+{\frac {\alpha ^{2}}{2}}x^{-}}$${\displaystyle x^{-}\to x^{-}}$${\displaystyle x^{i}\to x^{i}+\alpha ^{i}x^{-}}$

พิกัดกรวยแสงสามารถขยายไปสู่ปริภูมิเวลาโค้งในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปได้เช่นกัน บางครั้งการคำนวณจะง่ายขึ้นเมื่อใช้พิกัดกรวยแสง ดูได้จากรูปแบบนิวแมน-เพนโรสพิกัดกรวยแสงบางครั้งใช้เพื่ออธิบายการชนกันแบบสัมพัทธภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากความเร็วสัมพัทธ์ใกล้เคียงกับความเร็วแสง มาก พวกมันยังถูกใช้ในเกจกรวยแสงของทฤษฎีสตริง ด้วย

สายปิดเป็นการขยายแนวคิดของอนุภาค พิกัดเชิงพื้นที่ของจุดบนสายนั้นสามารถอธิบายได้อย่างสะดวกด้วยพารามิเตอร์ที่วิ่งจากถึง เวลาสามารถอธิบายได้อย่างเหมาะสมด้วยพารามิเตอร์เมื่อเชื่อมโยงแต่ละจุดบนสายในปริภูมิเวลา D มิติกับพิกัดและพิกัดตามขวางพิกัดเหล่านี้จะทำหน้าที่เป็นฟิลด์ในทฤษฎีฟิลด์มิติ เห็นได้ชัดว่าสำหรับทฤษฎีดังกล่าว จำเป็นต้องมีมากกว่านี้ จึงสะดวกที่จะใช้ แทนและพิกัดกรวยแสงที่กำหนดโดย ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle x_{0},x}$${\displaystyle x_{i},i=2,...,D}$${\displaystyle 1+1}$${\displaystyle x_{0}=\sigma _{0}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{\pm }}$

${\displaystyle x_{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(x_{0}\pm x)}$

ดังนั้นเมตริกจึงกำหนดโดย ${\displaystyle ds^{2}}$

${\displaystyle ds^{2}=2dx_{+}dx_{-}-(dx_{i})^{2}}$

(ผลรวมที่เข้าใจได้) มีความเป็นอิสระในการวัดอยู่บ้าง ประการแรก เราสามารถกำหนดและพิจารณาระดับความเป็นอิสระนี้เป็นตัวแปรเวลาได้ ความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การกำหนดพารามิเตอร์ใหม่สามารถกำหนดได้ด้วยข้อจำกัดที่เราได้รับจากเมตริก เช่น ${\displaystyle i}$${\displaystyle x_{+}=\sigma _{0}}$${\displaystyle \sigma \rightarrow \sigma +\delta \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}=0}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}={\frac {dx_{-}}{d\sigma }}-{\frac {dx_{i}}{d\sigma }}{\frac {dx_{i}}{d\sigma _{0}}}=0.}$

ดังนั้น จึงไม่ใช่ระดับความเป็นอิสระอีกต่อไป ตอนนี้สามารถระบุได้ว่าเป็นประจุ Noether ที่สอดคล้องกัน พิจารณาจากนั้นโดยใช้สมการ Euler-Lagrange สำหรับและ จะได้ ${\displaystyle x_{-}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}(x_{-},x_{i})}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{-}}$

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{0}={\frac {\partial }{\partial \sigma }}{\bigg (}{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{0}}{\partial (\partial x_{i}/\partial \sigma )}}\delta x_{i}+\delta x_{-}{\bigg )}.}$

เมื่อเทียบสิ่งนี้กับ

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{0}={\frac {\partial }{\partial \sigma }}(Q\delta \sigma ),}$

เมื่อประจุ Noether อยู่ที่ใด เราจะได้:${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q={\frac {\partial {\mathcal {L}}_{0}}{\partial (\partial x_{i}/\partial \sigma )}}{\frac {\delta x_{i}}{\delta \sigma }}+{\frac {\delta x_{-}}{\delta \sigma }}=-{\frac {dx_{i}}{d\sigma _{0}}}{\frac {\delta x_{i}}{\delta \sigma }}+{\frac {\delta x_{-}}{\delta \sigma }}={\mathcal {L}}_{0}.}$

ผลลัพธ์นี้สอดคล้องกับผลลัพธ์ที่อ้างถึงในเอกสาร^{[ 3 ]}

สำหรับอนุภาคอิสระที่มีมวลการกระทำคือ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle S=\int {\mathcal {L}}d\sigma ,\;\;\;{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}{\bigg [}{\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }}{\frac {dx_{\mu }}{d\sigma }}+m^{2}{\bigg ]}.}$

ในระบบพิกัดกรวยแสงจะกลายเป็น โดยมีตัวแปรเวลาดังนี้: ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \sigma =x_{+}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {dx_{-}}{d\sigma }}+{\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {dx_{i}}{d\sigma }}{\bigg )}^{2}-{\frac {m^{2}}{2}}.}$

โมเมนตัมมาตรฐานคือ

${\displaystyle p_{-}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (dx_{-}/d\sigma )}}=-1,\;\;\;p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (dx_{i}/d\sigma )}}={\frac {dx_{i}}{d\sigma }}.}$

แฮมิลโทเนียนคือ ( ): ${\displaystyle \hbar =c=1}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\dot {x}}_{-}p_{-}+{\dot {x}}_{i}p_{i}-{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}p_{i}^{2}+{\frac {1}{2}}m^{2},}$

และสมการแฮมิลตันที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพบ่งชี้ว่า:

${\displaystyle x_{i}(\sigma )=p_{i}\sigma +{\it {const.}}.}$

ตอนนี้เราสามารถขยายแนวคิดนี้ไปยังสตริงอิสระได้แล้ว

• รูปแบบนิวแมน-เพนโรส