กลุ่มเส้นตรง (Line group)คือวิธีการทางคณิตศาสตร์ในการอธิบายสมมาตรที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ไปตามเส้นตรง สมมาตรเหล่านี้อาจรวมถึงการซ้ำกันไปตามเส้นตรง ทำให้เส้นตรงนั้นกลายเป็นโครงข่ายหนึ่งมิติ กลุ่มเส้นตรงส่วนใหญ่มีมากกว่าหนึ่งมิติ และเกี่ยวข้องกับมิติเหล่านั้นในไอโซเมตรีหรือการแปลงสมมาตร

เราสร้างกลุ่มเส้นตรงโดยการนำกลุ่มจุดในมิติเต็มของปริภูมิมา แล้วเพิ่มการเลื่อน (บางครั้งอาจมีการบิด) ไปตามเส้นตรงให้กับแต่ละองค์ประกอบของกลุ่มจุด ในลักษณะเดียวกับการสร้างกลุ่มปริภูมิแม้ว่าโดยนิยามแล้วกลุ่มจุดจะมีจุดอย่างน้อยหนึ่งจุดที่อยู่กับที่ แต่สิ่งนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นจริงสำหรับกลุ่มเส้นตรงเนื่องจากการเลื่อน

มีกลุ่มเส้นตรงหนึ่งมิติ อยู่ 2 กลุ่ม ซึ่งเป็นลิมิตอนันต์ของกลุ่มจุดสองมิติ แบบไม่ต่อเนื่อง C _nและ D _n :

มีกลุ่มภาพนูนต่ำ 7 กลุ่ม ซึ่งเกี่ยวข้องกับการสะท้อนตามแนวเส้น การสะท้อนตั้งฉากกับแนวเส้น และการหมุน 180 องศาในสองมิติ

สัญลักษณ์และแผนภาพกลุ่มภาพนูนต่ำ 7 แบบ

ไอยูซี	ออร์บิโฟลด์	ชินฟลาย	คอนเวย์	ค็อกซ์เตอร์	โดเมน พื้นฐาน
หน้า 1	∞∞	ซี∞	ซี∞	[∞,1] +
พี1เอ็ม1	*∞∞	C ∞v	ซีดี2∞	[∞,1]
พี11จี	∞x	S 2∞	ซีซี2∞	[∞ + ,2 + ]
พี11ม	∞*	C ∞h	±C ∞	[∞ + ,2]
หน้า 2	22∞	ด∞	ดี2∞	[∞,2] +
พี2มก.	2*∞	ดี∞ด	DD 4∞	[∞,2 + ]
พี2มม.	*22∞	ดี∞ฮ	±D 2∞	[∞,2]

มีกลุ่มเส้นตรงสามมิติอนันต์ 13 กลุ่ม^{[ 1 ]} ที่ได้มาจาก กลุ่มจุดสามมิติแกนอนันต์ 7 กลุ่มเช่นเดียวกับกลุ่มพื้นที่โดยทั่วไป กลุ่มเส้นตรงที่มีกลุ่มจุดเดียวกันอาจมีรูปแบบการชดเชยที่แตกต่างกัน (สองหรือแม้แต่สาม) ทำให้ได้กลุ่มเส้นตรงในกลุ่มที่แตกต่างกัน แต่ละกลุ่มจะขึ้นอยู่กับกลุ่มของการหมุนรอบแกนที่มีลำดับnโดยที่nสามารถเป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ รวมถึง 1 ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ไม่จำเป็นต้องมีจุดใดๆ ที่กลุ่มจุดนั้นใช้ได้ ตัวอย่างเช่น ในกลุ่มเส้นตรง P 2 ₁ /m ซึ่งเกี่ยวข้องกับกลุ่มจุด C _2h (เรียกว่า 2/m ในสัญกรณ์ HM) ไม่มีจุดใดที่มีสมมาตร C _2hเนื่องจากการหมุนสองเท่าถูกแปลงเป็นการกระจัดแบบเกลียว

กลุ่มต่างๆ จะถูกระบุไว้ในสัญกรณ์ Hermann-Mauguinและสำหรับกลุ่มจุดจะใช้สัญกรณ์ Schönfliesดูเหมือนว่าจะไม่มีสัญกรณ์ที่เทียบเคียงได้สำหรับกลุ่มเส้น กลุ่มเหล่านี้ยังสามารถตีความได้ว่าเป็นรูปแบบของกลุ่มวอลเปเปอร์^{[ 2 ]}ที่พันรอบทรงกระบอกnครั้งและทำซ้ำอย่างไม่มีที่สิ้นสุดตามแกนของทรงกระบอก คล้ายกับกลุ่มจุดสามมิติและกลุ่ม frieze ตารางของกลุ่มเหล่านี้:

กลุ่มจุด					กลุ่มเส้น
เอชเอ็ม		Schönf.	ออร์บ	ค็อกซ์	เอชเอ็ม		ประเภทออฟเซ็ต	วอลเปเปอร์			Coxeter [∞ h ,2,p v ]
แม้แต่n	เลขคี่				แม้แต่n	เลขคี่		ไอยูซี	ออร์บิโฟลด์	แผนภาพ
n		ซีเอ็น	nn	[น] +	พีเอ็นคิว		เกลียว: q	หน้า 1	โอ		[∞ + ,2,n + ]
2 น.	n	S 2 n	n×	[2 + ,2n + ]	พี2 เอ็น	พีเอ็น	ไม่มี	p11g, pg(h)	××		[(∞,2) + ,2n + ]
n /m	2 น.	ซีเอ็นเอช	n*	[2,n + ]	พีเอ็น /เอ็ม	พี2 เอ็น	ไม่มี	p11m, pm(h)	**		[∞ + ,2,n]
2 นาโนเมตร		ซี2 เอ็นเอช	(2น)*	[2,2n + ]	P2 n n /m		ซิกแซก	c11m, cm(h)	*×		[∞ + ,2 + ,2n]
nมม.	เอ็นเอ็ม	ซีเอ็นวี	*nn	[น]	พีเอ็นมม.	พีเอ็นเอ็ม	ไม่มี	p1m1, pm(v)	**		[∞,2,n + ]
					พีเอ็นซีซี	พีเอ็นซี	ไม่มี	p1g1, pg(v)	××		[∞ + ,(2,n) + ]
2 นาโนเมตร		ซี2 เอ็นวี	*(2n)(2n)	[2น]	P2 n n mc		ซิกแซก	c1m1, cm(v)	*×		[∞,2 + ,2n + ]
n 22	n 2	ดีเอ็น	n22	[2,n] +	พีเอ็นคิว 22	พีเอ็นคิว 2	เกลียว: q	หน้า 2	2222		[∞,2,n] +
2 น. 2 ม.	เอ็นเอ็ม	ดีเอ็นดี	2*n	[2 + ,2n]	P 2 n 2m	พีเอ็นเอ็ม	ไม่มี	พี2จีเอ็ม, พีเอ็มจี(วี)	22*		[(∞,2) + ,2n]
					P 2 n 2c	พีเอ็นซี	ไม่มี	พี2จีจี, พีจีจี	22×		[ + (∞,(2),2n) + ]
n /mmm	2 น. 2 ม.	ดีเอ็นเอช​	*n22	[2,n]	พีเอ็น /มมม	P 2 n 2m	ไม่มี	พี2มม., พีเอ็มเอ็ม	*2222		[∞,2,n]
					พีเอ็น /เอ็มซีซี	P 2 n 2c	ไม่มี	พี2 มก., พีเอ็มจี(ชม.)	22*		[∞,(2,n) + ]
2 n /mmm		ดี2 นฮ	*(2n)22	[2,2n]	P2 n n /mcm		ซิกแซก	ซี2มม., ซีมม.	2*22		[∞,2 + ,2n]

ประเภทของการชดเชยมีดังนี้:

• ไม่มี การชดเชยตามแนวแกนไม่รวมถึงการชดเชยรอบแกนภายในระยะการทำซ้ำของเซลล์หน่วยรอบแกน
• การเลื่อนแบบเกลียวด้วยค่าความเกลียวqสำหรับการเลื่อนหนึ่งหน่วยตามแกน จะมีการเลื่อน q รอบจุดนั้น จุดที่มีการเลื่อนซ้ำกันจะทำให้เกิดเส้นโค้งเกลียว
• การเยื้องแบบซิกแซก การเยื้องแบบเกลียว 1/2 เมื่อเทียบกับเซลล์หน่วยรอบแกน

โปรดสังเกตว่ากลุ่มวอลเปเปอร์ pm, pg, cm และ pmg ปรากฏขึ้นสองครั้ง แต่ละครั้งมีทิศทางที่แตกต่างกันเมื่อเทียบกับแกนกลุ่มเส้น คือ ขนานกับการสะท้อน (h) หรือตั้งฉาก (v) ส่วนกลุ่มอื่นๆ ไม่มีทิศทางดังกล่าว ได้แก่ p1, p2, pmm, pgg, cmm

ถ้ากลุ่มจุดถูกจำกัดให้เป็นกลุ่มจุดทางผลึกศาสตร์ซึ่งเป็นสมมาตรของโครงตาข่ายสามมิติบางอย่าง กลุ่มเส้นที่ได้จะเรียกว่ากลุ่มแท่งมีกลุ่มแท่งทั้งหมด 75 กลุ่ม

• สัญกรณ์ของค็อกซ์เตอร์นั้นอิงตามกลุ่มวอลเปเปอร์รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยแกนแนวตั้งจะถูกพันเข้ากับทรงกระบอกที่มีลำดับสมมาตรnหรือ2n

เมื่อพิจารณาขีดจำกัดต่อเนื่องโดยที่nเข้าใกล้ ∞ กลุ่มจุดที่เป็นไปได้จะกลายเป็น C _∞ , C _∞h , C _∞v , D _∞และ D _∞hและกลุ่มเส้นจะมีค่าชดเชยที่เป็นไปได้ที่เหมาะสม ยกเว้นกลุ่มซิกแซก

กลุ่ม C _n ( q ) และ D _n ( q ) (ซึ่งอิงตามกลุ่มจุด C _nและ D _n ) แสดงถึงสมมาตรของวัตถุที่เป็นเกลียว C _n ( q ) ใช้สำหรับ เกลียว nเส้นที่วางตัวในทิศทางเดียวกัน ในขณะที่ D _n ( q ) ใช้สำหรับ เกลียว nเส้นที่ไม่มีทิศทาง หรือ เกลียวคู่ nเส้นที่มีทิศทางสลับกัน การเปลี่ยนเครื่องหมายของqจะสร้างภาพสะท้อน ซึ่งเป็นการเปลี่ยนไครัลลิตี้หรือมือซ้ายขวาของเกลียว

กรดนิวคลีอิก ( ดีเอ็นเอและอาร์เอ็นเอ ) เป็นที่รู้จักกันดีในเรื่องสมมาตรแบบเกลียว สายเดี่ยวของกรดนิวคลีอิกมีทิศทางที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน โดยมีกลุ่มเส้น C ₁ ( q ) หากเราไม่คำนึงถึงชนิดของเบสในกรดนิวคลีอิก แต่ถ้าเราคำนึงถึงเบส สายนั้นจะต้องประกอบด้วยลำดับของเบสที่ซ้ำกันเพื่อให้มีสมมาตรนี้ กรดนิวคลีอิกแบบสองสายมีสองสายที่มีทิศทางตรงกันข้าม แต่ไม่ได้อยู่ด้านตรงข้ามของแกนเกลียว เพราะกลุ่มเส้นคือ D ₁ ( q ) (หากเราไม่คำนึงถึงเบส) แทนที่จะเป็น D ₂ ( q ) ถ้าเราไม่คำนึงถึงเบส เพื่อให้มีสมมาตรนี้ สายนั้นจะต้องประกอบด้วยส่วนที่ซ้ำกัน เช่น "TA" หรือ "TACTAGTA" ซึ่งประกอบด้วยสองส่วนที่เสริมกันและมีลำดับตรงกันข้าม ดีเอ็นเอมีสามรูปแบบ โดยมีรายละเอียดที่แตกต่างกัน แต่มีกลุ่มเส้นเดียวกัน

ไมโครทูบูลประกอบด้วยโซ่เกลียวของอัลฟา-ทูบูลินและเบตา-ทูบูลินสลับกัน เรียกว่าโปรโตฟิลาเมนต์ ในรูปแบบปกติ โซ่ดังกล่าวสิบสามโซ่จะพันกันรอบแกนร่วมกัน สัมผัสกัน และการเคลื่อนที่จากไดเมอร์ในโปรโตฟิลาเมนต์หนึ่งไปยังไดเมอร์ในโปรโตฟิลาเมนต์ถัดไป และต่อไปเรื่อยๆ จนกลับมายังโปรโตฟิลาเมนต์แรก จะทำให้เกิดไดเมอร์เพิ่มขึ้นอีกสามตัวตามแนวเส้นนั้น กลุ่มเส้นคือ C ₁ ( q ) ไดเมอร์ของอัลฟา-ทูบูลินและเบตา-ทูบูลินสามารถเคลื่อนที่ได้โดยการหมุนประมาณ 4/13 ของ 360° และการเคลื่อนที่ในทิศทางของแกนเพื่อให้ตรงกับตำแหน่งของไดเมอร์อื่น การดำเนินการนี้เป็นตัวสร้างสำหรับกลุ่ม การทำซ้ำองค์ประกอบการสร้างนี้สามครั้งจะมาถึงไดเมอร์ที่อยู่ติดกับไดเมอร์แรกในโปรโตฟิลาเมนต์ถัดไป และการทำซ้ำ 13 ครั้งจะมาถึงไดเมอร์ถัดไปในโปรโตฟิลาเมนต์เดิม

อีกตัวอย่างหนึ่งที่มีกลุ่มเส้น C ₁ ( q ) คือโครงสร้างรูปแท่งที่พบในไวรัสหลายชนิด ตัวอย่างเช่นไวรัสโมเสกยาสูบมีเกลียวโปรตีนล้อมรอบ RNA องค์ประกอบการสร้างรวมการหมุนประมาณ 1/17 ของ 360° เข้ากับการเคลื่อนที่เล็กน้อยในทิศทางของแกน

• กลุ่มจุด
• กลุ่มอวกาศ
• กลุ่มสมมาตรหนึ่งมิติ
• กลุ่มฟรีซ
• กลุ่มแท่ง