ในทางคณิตศาสตร์ ในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์และระบบพลวัตคำตอบแบบอยู่กับที่หรือกึ่งอยู่กับที่เฉพาะ เจาะจง ของระบบไม่เชิงเส้นเรียกว่าไม่เสถียรเชิงเส้นหากการทำให้เป็นเชิงเส้นของสมการที่คำตอบนี้มีรูปแบบโดยที่rคือการรบกวนต่อสถานะคงที่Aคือตัวดำเนินการ เชิงเส้น ที่ มี สเปกตรัมประกอบด้วยค่าลักษณะเฉพาะที่มี ส่วนจริง เป็นบวกหากค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดมี ส่วน จริง เป็นลบ คำตอบนั้นจะเรียกว่าเสถียรเชิงเส้น ชื่ออื่น ๆ สำหรับความเสถียรเชิงเส้น ได้แก่ ความเสถียรแบบเอกซ์โพเนนเชียลหรือความเสถียรในแง่ของการประมาณค่าครั้งแรก [ ^{1 ] [ 2 ] หาก}มีค่าลักษณะเฉพาะที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์ คำถามเกี่ยวกับความเสถียรจะไม่สามารถแก้ไขได้บนพื้นฐานของการประมาณค่าครั้งแรก และเราจะเข้าใกล้สิ่งที่เรียกว่า "ปัญหาศูนย์กลางและจุดโฟกัส" ^{[ 3 ]}${\displaystyle dr/dt=Ar}$

สมการเชิงอนุพันธ์ มีสองคำตอบที่คงที่ (ไม่ขึ้นกับเวลา) คือx  = 0 และx  = 1 การทำให้เป็นเชิงเส้นที่x  = 0 มีรูปแบบ . ตัวดำเนินการเชิงเส้นคือA ₀  = 1 ค่าลักษณะเฉพาะเพียงค่าเดียวคือ. คำตอบของสมการนี้เติบโตแบบเลขชี้กำลัง จุดคงที่x  = 0 ไม่เสถียรเชิงเส้น $${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=xx^{2}}$$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x}$${\displaystyle \lambda =1}$

ในการหาค่าเชิงเส้นที่x = 1เราเขียนได้ ว่า โดยที่r = x − 1สมการเชิงเส้นคือ; ตัวดำเนินการเชิงเส้นคือA ₁ = −1ค่าลักษณะเฉพาะเพียงค่าเดียวคือดังนั้นจุดนิ่งนี้จึงมีเสถียรภาพเชิงเส้น ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-rr^{2}}$${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=-r}$${\displaystyle \lambda =-1}$

สมการชโรดิงเกอร์แบบไม่เชิงเส้น โดยที่u ( x , t ) ∈ Cและk > 0มีคำตอบคลื่นเดี่ยวในรูปแบบ[ ^{4 ] ใน} การหาค่าเชิงเส้นที่คลื่นเดี่ยว เราพิจารณาคำตอบในรูปแบบ สม การเชิงเส้นบนกำหนดโดย โดย ที่ และ ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ตาม เกณฑ์ความเสถียร ^ของ Vakhitov–Kolokolov [ ^{5 ]} เมื่อk > 2สเปกตรัมของAมีค่าไอเกนจุดบวก ดังนั้นสมการเชิงเส้นจึงไม่เสถียรเชิงเส้น (เอกซ์โพเนนเชียล) สำหรับ0 < k ≤ 2สเปกตรัมของAเป็นจำนวนจินตนาการล้วนๆ ดังนั้นคลื่นเดี่ยวที่สอดคล้องกันจึงเสถียรเชิงเส้น $${\displaystyle i{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-|u|^{2k}u,}$$${\displaystyle \phi (x)e^{-i\omega t}}$${\displaystyle u(x,t)=(\phi (x)+r(x,t))e^{-i\omega t}}$${\displaystyle r(x,t)}$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&L_{0}\\-L_{1}&0\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle L_{0}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}-k\phi ^{2}-\omega }$$$${\displaystyle L_{1}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}-(2k+1)\phi ^{2}-\omega }$$

ควรกล่าวถึงว่าเสถียรภาพเชิงเส้นไม่ได้หมายความถึงเสถียรภาพโดยอัตโนมัติ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อk = 2คลื่นเดี่ยวจะไม่มีเสถียรภาพ ในทางกลับกัน สำหรับ0 < k < 2คลื่นเดี่ยวไม่เพียงแต่มีเสถียรภาพเชิงเส้นเท่านั้น แต่ยังมีเสถียรภาพเชิงวงโคจรอีก ด้วย ^{[ 6 ]}

• เสถียรภาพเชิงอะซิมโทติก
• การทำให้เป็นเชิงเส้น (การวิเคราะห์เสถียรภาพ)
• เสถียรภาพของ Lyapunov
• เสถียรภาพวงโคจร
• ทฤษฎีเสถียรภาพ
• เกณฑ์เสถียรภาพของวาคิตอฟ–โคโลโคลอฟ