ในแคลคูลัสอนุพันธ์ของผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันใดๆจะเท่ากับผลรวมเชิงเส้นเดียวกันของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้น[ ^{1 ] คุณสมบัติ}นี้เรียกว่าความเป็นเชิงเส้นของการหาอนุพันธ์กฎของความเป็นเชิงเส้น^{[ 2 ]}หรือกฎการซ้อนทับสำหรับการหาอนุพันธ์^{[ 3 ]}มันเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของอนุพันธ์ที่รวบรวมกฎการหาอนุพันธ์ที่ง่ายกว่าสองกฎไว้ในกฎเดียว ได้แก่กฎผลรวม (อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชันสองฟังก์ชันคือผลรวมของอนุพันธ์) และกฎตัวประกอบคงที่ (อนุพันธ์ของค่าคงที่คูณกับฟังก์ชันคือค่าคงที่คูณกับอนุพันธ์) ^{[ 4 ] [ 5 ]}ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าการหาอนุพันธ์เป็นเชิงเส้นหรือตัวดำเนินการอนุพันธ์เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น^{[ 6 ]}

ให้fและgเป็นฟังก์ชัน โดยที่αและβเป็นค่าคงที่ ต่อไปนี้ให้พิจารณา

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x)).}$

โดยใช้กฎผลรวมในการหาอนุพันธ์จะได้ว่า นี่คือ

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x))+{\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\beta \cdot g(x)),}$

และโดยใช้กฎตัวประกอบคงที่ในการหาอนุพันธ์จะได้ว่าสิ่งนี้ลดรูปเป็น

${\displaystyle \alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x).}$

ดังนั้น,

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x))=\alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x).}$

หากไม่ใส่วงเล็บจะเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle (\alpha \cdot f+\beta \cdot g)'=\alpha \cdot f'+\beta \cdot g'.}$

เราสามารถพิสูจน์หลักการความเป็นเส้นตรงทั้งหมดได้ในคราวเดียว หรือเราสามารถพิสูจน์แต่ละขั้นตอน (ของค่าคงที่และการบวก) ทีละขั้นตอนก็ได้ ในที่นี้จะแสดงทั้งสองวิธี

การพิสูจน์ความเป็นเชิงเส้นโดยตรงยังเป็นการพิสูจน์กฎตัวประกอบคงที่ กฎผลรวม และกฎผลต่างเป็นกรณีพิเศษด้วย กฎผลรวมได้มาจากการกำหนดค่าสัมประสิทธิ์คงที่ทั้งสองให้เป็นกฎผลต่างได้มาจากการกำหนดค่าสัมประสิทธิ์คงที่ตัวแรกให้เป็นและค่าสัมประสิทธิ์คงที่ตัวที่สองให้เป็นกฎตัวประกอบคงที่ได้มาจากการกำหนดค่าสัมประสิทธิ์คงที่ตัวที่สองหรือฟังก์ชันตัวที่สองให้เป็น(จากมุมมองทางเทคนิค ต้องพิจารณา โดเมนของฟังก์ชันตัวที่สองด้วย วิธีหนึ่งที่จะหลีกเลี่ยงปัญหาคือการกำหนดให้ฟังก์ชันตัวที่สองเท่ากับฟังก์ชันตัวแรกและค่าสัมประสิทธิ์คงที่ตัวที่สองเท่ากับ นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดให้ทั้งค่าสัมประสิทธิ์คงที่ตัวที่สองและฟังก์ชันตัวที่สองเป็น 0 โดยที่โดเมนของฟังก์ชันตัวที่สองเป็นซับเซตของฟังก์ชันตัวแรก เป็นต้น) ${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$

ในทางตรงกันข้าม หากเราพิสูจน์กฎตัวประกอบคงที่และกฎผลรวมก่อน เราก็จะสามารถพิสูจน์ความเป็นเชิงเส้นและกฎผลต่างได้ การพิสูจน์ความเป็นเชิงเส้นทำได้โดยการกำหนดให้ฟังก์ชันแรกและฟังก์ชันที่สองเป็นฟังก์ชันอื่นสองฟังก์ชันที่คูณด้วยสัมประสิทธิ์คงที่ จากนั้น ดังที่แสดงในการหาอนุพันธ์ในส่วนก่อนหน้า เราสามารถใช้กฎผลรวมก่อนในขณะที่ทำการหาอนุพันธ์ แล้วจึงใช้กฎตัวประกอบคงที่ ซึ่งจะนำไปสู่ข้อสรุปเกี่ยวกับความเป็นเชิงเส้น ในการพิสูจน์กฎผลต่าง ฟังก์ชันที่สองสามารถกำหนดใหม่ได้เป็นฟังก์ชันอื่นที่คูณด้วยสัมประสิทธิ์คงที่ของ ซึ่งเมื่อทำให้ง่ายขึ้นแล้ว จะทำให้เราได้กฎผลต่างสำหรับการหาอนุพันธ์ ${\displaystyle -1}$

ในการพิสูจน์/การหาอนุพันธ์ด้านล่าง^{[ 7 ] [ 8 ]} จะใช้ สัมประสิทธิ์ซึ่งสอดคล้องกับสัมประสิทธิ์ข้างต้น ${\displaystyle a,b}$${\displaystyle \อัลฟา ,\เบต้า }$

ให้. ให้เป็นฟังก์ชัน ให้เป็นฟังก์ชัน โดยที่นิยามได้เฉพาะในกรณีที่และนิยามได้ทั้งคู่ (กล่าวอีกนัยหนึ่ง โดเมนของคือส่วนตัดกันของโดเมนของและ) ให้อยู่ในโดเมนของ. ให้. ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f,g}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j(x)=af(x)+bg(x)}$

เราต้องการพิสูจน์เรื่องนั้น ${\displaystyle j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)+bg^{\prime }(x)}$

ตามนิยามแล้ว เราสามารถเห็นได้ว่า

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(af(x+h)+bg(x+h)\right)-\left(af(x)+bg(x)\right)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left(a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\\end{aligned}}}$$

ในการใช้กฎของลิมิตสำหรับผลรวมของลิมิต เราจำเป็นต้องรู้ว่าและต่างก็มีอยู่จริง สำหรับลิมิตที่เล็กกว่าเหล่านี้ เราจำเป็นต้องรู้ว่าและต่างก็มีอยู่จริงเพื่อใช้กฎของสัมประสิทธิ์สำหรับลิมิต ตามนิยามแล้วและดังนั้น ถ้าเรารู้ว่าและต่างก็มีอยู่จริง เราก็จะรู้ว่าและต่างก็มีอยู่จริงเช่นกัน ซึ่งทำให้เราสามารถใช้กฎของสัมประสิทธิ์สำหรับลิมิตเพื่อเขียนได้ว่า ${\textstyle \lim _{h\to 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\textstyle \lim _{h\to 0}b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\textstyle g^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$${\displaystyle f^{\prime }(x)}$${\displaystyle g^{\prime }(x)}$${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$

$${\displaystyle \lim _{h\to 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=a\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$

และ

$${\displaystyle \lim _{h\to 0}b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=b\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}.}$$

ด้วยเหตุนี้ เราจึงสามารถกลับไปใช้กฎลิมิตสำหรับผลรวมของลิมิตได้ เนื่องจากเรารู้ว่าและต่างก็มีอยู่จริง จากตรงนี้ เราสามารถกลับไปที่อนุพันธ์ที่เรากำลังทำอยู่ได้โดยตรงสุดท้าย เราได้แสดงให้เห็นสิ่งที่เรากล่าวอ้างไว้ตั้งแต่ต้นแล้วว่า ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}\left(a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left(a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)+\lim _{h\rightarrow 0}\left(b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=a\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)+b\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=af^{\prime }(x)+bg^{\prime }(x)\end{aligned}}}$$${\displaystyle j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)+bg^{\prime }(x)}$

ให้ และเป็นฟังก์ชัน ให้เป็นฟังก์ชัน โดยที่จะนิยามได้เฉพาะในกรณีที่และนิยามได้ทั้งคู่ (กล่าวอีกนัยหนึ่ง โดเมนของคือส่วนตัดกันของโดเมนของและ) ให้อยู่ในโดเมนของให้. ${\displaystyle f,g}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j(x)=f(x)+g(x)}$

เราต้องการพิสูจน์เรื่องนั้น ${\displaystyle j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)}$

ตามนิยามแล้ว เราสามารถเห็นได้ว่า

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(f(x+h)+g(x+h)\right)-\left(f(x)+g(x)\right)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\\end{aligned}}}$$เพื่อที่จะใช้กฎของผลรวมของลิมิตในที่นี้ เราต้องแสดงให้เห็นว่าลิมิตแต่ละตัว คือและมีอยู่จริง ตามคำนิยามและดังนั้นลิมิตจะมีอยู่เมื่อใดก็ตามที่อนุพันธ์และมีอยู่ ดังนั้น สมมติว่าอนุพันธ์มีอยู่จริง เราจึงสามารถดำเนินการพิสูจน์ข้างต้นต่อไปได้ ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\textstyle g^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$${\displaystyle f^{\prime }(x)}$${\displaystyle g^{\prime }(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)\end{aligned}}}$$

ดังนั้น เราจึงได้แสดงให้เห็นสิ่งที่เราต้องการแสดงให้เห็นแล้ว นั่นคือ: . ${\displaystyle j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)}$

ให้ และเป็นฟังก์ชัน ให้เป็นฟังก์ชัน โดยที่จะนิยามได้เฉพาะในกรณีที่และนิยามได้ทั้งคู่ (กล่าวอีกนัยหนึ่ง โดเมนของคือส่วนตัดกันของโดเมนของและ) ให้อยู่ในโดเมนของให้. ${\displaystyle f,g}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j(x)=f(x)-g(x)}$

เราต้องการพิสูจน์เรื่องนั้น ${\displaystyle j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)}$

ตามนิยามแล้ว เราสามารถเห็นได้ว่า: $${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(f(x+h)-(g(x+h)\right)-\left(f(x)-g(x)\right)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\\end{aligned}}}$$

เพื่อที่จะใช้กฎของความแตกต่างของลิมิตในที่นี้ เราต้องแสดงให้เห็นว่าลิมิตแต่ละตัวและ ลิมิต ทั้งสองมีอยู่จริง ตามคำนิยามและว่าดังนั้นลิมิตเหล่านี้จะมีอยู่เมื่อใดก็ตามที่อนุพันธ์และมีอยู่ ดังนั้น สมมติว่าอนุพันธ์มีอยู่จริง เราจึงสามารถดำเนินการพิสูจน์ข้างต้นต่อไปได้ ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\textstyle g^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$${\displaystyle f^{\prime }(x)}$${\displaystyle g^{\prime }(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)\end{aligned}}}$$

ดังนั้น เราจึงได้แสดงให้เห็นสิ่งที่เราต้องการแสดงให้เห็นแล้ว นั่นคือ: . ${\displaystyle j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)}$

ให้เป็นฟังก์ชัน ให้; จะเป็นค่าสัมประสิทธิ์คงที่ ให้เป็นฟังก์ชัน โดยที่ j ถูกกำหนดเฉพาะที่ถูกกำหนดไว้ (กล่าวคือ โดเมนของเท่ากับโดเมนของ) ให้อยู่ในโดเมนของให้. ${\displaystyle f}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j(x)=af(x)}$

เราต้องการพิสูจน์เรื่องนั้น ${\displaystyle j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)}$

ตามนิยามแล้ว เราสามารถเห็นได้ว่า:

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {af(x+h)-af(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\\end{aligned}}}$$

ทีนี้ เพื่อที่จะใช้กฎลิมิตสำหรับสัมประสิทธิ์คงที่เพื่อแสดงว่า

$${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=a\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$เราต้องแสดงให้เห็นว่ามีอยู่จริง อย่างไรก็ตามตามนิยามของอนุพันธ์ ดังนั้น ถ้ามีอยู่จริง ก็จะ มีอยู่จริง เช่นกัน${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\displaystyle f^{\prime }(x)}$${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

ดังนั้น หากเราสมมติว่ามีอยู่จริง เราสามารถใช้กฎลิมิตและดำเนินการพิสูจน์ต่อไปได้ ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=a\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=af^{\prime }(x)\\\end{aligned}}}$$

ดังนั้น เราจึงพิสูจน์ได้ว่าเมื่อเราจะได้ ${\displaystyle j(x)=af(x)}$${\displaystyle j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)}$

• การหาอนุพันธ์ของอินทิกรัล  – ปัญหาของการหาอนุพันธ์ของอินทิกรัลค่าเฉลี่ย
• การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ  – กระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• กฎการหาอนุพันธ์  – กฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
• การแจกแจง (คณิตศาสตร์)  – วัตถุที่ขยายความหมายของฟังก์ชันPages displaying short descriptions of redirect targets
• กฎของไลบ์นิซทั่วไป  – การขยายความของกฎผลคูณในแคลคูลัส
• การอินทิเกรตโดยส่วน  – วิธีทางคณิตศาสตร์ในแคลคูลัส
• ฟังก์ชันผกผันและการหาอนุพันธ์  – สูตรสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันPages displaying short descriptions of redirect targets
• กฎผลคูณ  – สูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลคูณ
• กฎการหาร  – สูตรสำหรับการหาอนุพันธ์ของอัตราส่วนของฟังก์ชัน
• ตารางอนุพันธ์  – กฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันPages displaying short descriptions of redirect targets
• เอกลักษณ์แคลคูลัสเวกเตอร์  – เอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์