รูปทรงเรขาคณิตที่มั่นคง
พารามิเตอร์	${\displaystyle \alpha \in (0,2]}$— พารามิเตอร์ความเสถียร ${\displaystyle \beta \in [-1,1]}$— พารามิเตอร์ความเบี่ยงเบน (โปรดทราบว่าค่าความเบี่ยงเบนไม่มีนิยาม) ${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$— พารามิเตอร์มาตราส่วน ${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )}$— พารามิเตอร์ตำแหน่ง
สนับสนุน	${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, หรือ${\displaystyle x\in [\mu ,\infty )}$ถ้า${\displaystyle \alpha <1}$และ${\displaystyle \beta =1}$, หรือ${\displaystyle x\in (-\infty ,\mu ]}$ ถ้า${\displaystyle \alpha <1}$และ${\displaystyle \beta =-1}$
พีดี	ไม่สามารถแสดงออกมาในเชิงวิเคราะห์ได้ ยกเว้นค่าพารามิเตอร์บางค่า
ซีดีเอฟ	ไม่สามารถแสดงออกมาในเชิงวิเคราะห์ได้ ยกเว้นค่าพารามิเตอร์บางค่า
ค่ามัธยฐาน	${\displaystyle \mu }$เมื่อไร${\displaystyle \beta =0}$
โหมด	${\displaystyle \mu }$เมื่อไร${\displaystyle \beta =0}$
ความแปรปรวน	${\displaystyle 2\lambda ^{2}}$เมื่อไร${\displaystyle \alpha =2}$มิฉะนั้นจะเป็นอนันต์
ความเบี่ยงเบน	${\displaystyle 0}$เมื่อไร${\displaystyle \alpha =2}$มิฉะนั้นจะไม่มีการกำหนด
ความโค้งส่วนเกิน	${\displaystyle 3}$เมื่อไร${\displaystyle \alpha =2}$มิฉะนั้นจะไม่มีการกำหนด
เอ็มจีเอฟ	ไม่ได้กำหนด
ซีเอฟ	${\displaystyle \ \left[1+\lambda ^{\alpha }\vert t\vert ^{\alpha }\omega -i\mu t\right]^{-1}}$, ที่ไหน${\displaystyle \omega ={\begin{cases}1-i\beta \tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}}\,{\textrm {sign}}(t)&{\text{if }}\alpha \neq 1\\1+i{\tfrac {2}{\pi }}\beta \log \vert t\vert \,{\textrm {sign}}(t)&{\text{if }}\alpha =1\end{cases}}}$

การแจกแจงแบบเสถียรทางเรขาคณิตหรือการแจกแจงแบบเสถียรทางเรขาคณิต เป็นการ แจกแจงความน่าจะเป็น แบบ เลปโตเคอร์ติก ชนิดหนึ่ง^{[ 1 ]}การแจกแจงเหล่านี้เป็นแบบอนาล็อกของการแจกแจงแบบเสถียรในกรณีที่จำนวนพจน์เป็นแบบสุ่ม เป็นอิสระจากการแจกแจงของพจน์ และมีการแจกแจงแบบเรขาคณิต การแจกแจงแบบเสถียรทางเรขาคณิตอาจเป็นแบบสมมาตรหรือแบบไม่สมมาตร การแจกแจงแบบเสถียรทางเรขาคณิตแบบสมมาตรยังถูกเรียกว่าการแจกแจงแบบลินนิค [ ^{2 ] การ}แจกแจงแบบลาปลาซและการแจกแจงแบบลาปลาซแบบไม่สมมาตรเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงแบบเสถียรทางเรขาคณิตการแจกแจงแบบมิตแทก-เลฟเฟลอร์ก็เป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงแบบเสถียรทางเรขาคณิตเช่นกัน^{[ 3 ]}

การแจกแจงเสถียรทางเรขาคณิตมีการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีทางการเงิน^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

สำหรับการกระจายแบบเสถียรทางเรขาคณิตส่วนใหญ่ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นและฟังก์ชันการกระจายสะสมไม่มีรูปแบบปิด อย่างไรก็ตาม การกระจายแบบเสถียรทางเรขาคณิตสามารถกำหนดได้ด้วยฟังก์ชันลักษณะเฉพาะซึ่งมีรูปแบบดังนี้: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }\omega -i\mu t]^{-1}}$

ที่ไหน${\displaystyle \omega ={\begin{cases}1-i\beta \tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right)\,\operatorname {sign} (t)&{\text{if }}\alpha \neq 1\\1+i{\tfrac {2}{\pi }}\beta \log |t|\operatorname {sign} (t)&{\text{if }}\alpha =1\end{cases}}}$.

พารามิเตอร์${\displaystyle \alpha }$ซึ่งต้องมากกว่า 0 และน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2 คือพารามิเตอร์รูปร่างหรือดัชนีความเสถียร ซึ่งกำหนดว่าหางมีน้ำหนักมากเพียงใด^{[ 8 ]}ต่ำกว่า${\displaystyle \alpha }$สอดคล้องกับหางที่หนักกว่า

พารามิเตอร์${\displaystyle \beta }$ซึ่งต้องมากกว่าหรือเท่ากับ −1 และน้อยกว่าหรือเท่ากับ 1 คือพารามิเตอร์ความเบี่ยงเบน^{[ 8 ]} เมื่อ${\displaystyle \beta }$หากค่าเป็นลบ การกระจายตัวจะเบ้ไปทางซ้าย และเมื่อ${\displaystyle \beta }$ถ้าค่าเป็นบวก การกระจายตัวจะเบ้ไปทางขวา เมื่อ${\displaystyle \beta }$ถ้าเป็นศูนย์ การกระจายจะสมมาตร และฟังก์ชันลักษณะเฉพาะจะลดลงเหลือ: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,0,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }-i\mu t]^{-1}}$.

การกระจายแบบเสถียรทางเรขาคณิตสมมาตรที่มี${\displaystyle \mu =0}$ยังเรียกอีกอย่างว่าการแจกแจงแบบลินนิค^{[ 9 ]} การแจกแจงแบบเสถียรทางเรขาคณิตที่เบี่ยงเบนอย่างสมบูรณ์ นั่นคือ ด้วย${\displaystyle \beta =1}$,${\displaystyle \alpha <1}$, กับ${\displaystyle 0<\mu <1}$ยังเรียกอีกอย่างว่าการแจกแจงแบบ Mittag-Leffler ^{[ 10 ]}แม้ว่า${\displaystyle \beta }$ค่านี้ใช้กำหนดความเบี่ยงเบนของการกระจายตัว ซึ่งไม่ควรสับสนกับสัมประสิทธิ์ความเบี่ยงเบน ทั่วไป หรือโมเมนต์มาตรฐานลำดับ ที่ 3 ซึ่งในกรณีส่วนใหญ่ไม่มีค่ากำหนดสำหรับการกระจายตัวแบบเสถียรทางเรขาคณิต

พารามิเตอร์${\displaystyle \lambda >0}$เรียกว่าพารามิเตอร์มาตราส่วนและ${\displaystyle \mu }$คือพารามิเตอร์ตำแหน่ง^{[ 8 ]}

เมื่อไร${\displaystyle \alpha }$= 2,${\displaystyle \beta }$= 0 และ${\displaystyle \mu }$= 0 (เช่น การกระจายแบบเสถียรทางเรขาคณิตแบบสมมาตร หรือการกระจายแบบลินนิคที่มี)${\displaystyle \alpha }$=2) การกระจายจะกลายเป็นการกระจายแบบลาปลาส สมมาตร ที่มีค่าเฉลี่ยเป็น 0 ^{[ 9 ]}ซึ่งมีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นดังนี้:

${\displaystyle f(x\mid 0,\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\lambda }}\right)\,\!}$.

การแจกแจงแบบลาปลาซมีค่าความแปรปรวนเท่ากับ${\displaystyle 2\lambda ^{2}}$อย่างไรก็ตาม สำหรับ${\displaystyle \alpha <2}$ความแปรปรวนของการแจกแจงเสถียรทางเรขาคณิตมีค่าเป็นอนันต์

การแจกแจงแบบเสถียรมีคุณสมบัติว่า ถ้า${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$เป็นตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการแจกแจงเหมือนกัน ซึ่งได้มาจาก1การแจกแจงดังกล่าว ผลรวม${\displaystyle Y=a_{n}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})+b_{n}}$มีการกระจายตัวแบบเดียวกันกับ${\displaystyle X_{i}}$สำหรับบางคน${\displaystyle a_{n}}$และ${\displaystyle b_{n}}$.

การแจกแจงเสถียรทางเรขาคณิตมีคุณสมบัติคล้ายกัน แต่จำนวนองค์ประกอบในผลรวมเป็น ตัวแปรสุ่มที่ มีการแจกแจงทางเรขาคณิตถ้า${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$เป็นตัวแปรสุ่มอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกันซึ่งได้มาจาก1การแจกแจงเสถียรทางเรขาคณิต ซึ่งเป็นลิมิตของผลรวม${\displaystyle Y=a_{N_{p}}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})+b_{N_{p}}}$เข้าใกล้การกระจายของ${\displaystyle X_{i}}$'s สำหรับสัมประสิทธิ์บางตัว${\displaystyle a_{N_{p}}}$และ${\displaystyle b_{N_{p}}}$เมื่อ p เข้าใกล้ 0 โดยที่${\displaystyle N_{p}}$เป็นตัวแปรสุ่มที่ไม่ขึ้นกับ${\displaystyle X_{i}}$นำมาจากการกระจายทางเรขาคณิตที่มีพารามิเตอร์ p ^{[ 5 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ:

${\displaystyle \Pr(N_{p}=n)=(1-p)^{n-1}\,p\,.}$

การแจกแจงจะมีเสถียรภาพทางเรขาคณิตอย่างเคร่งครัดก็ต่อเมื่อผลรวม${\displaystyle Y=a(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})}$เท่ากับการกระจายของ${\displaystyle X_{i}}$ของบางคนa . ^{[ 4 ]} 

นอกจากนี้ยังมีความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการกระจายแบบเสถียรและฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการกระจายแบบเสถียรเชิงเรขาคณิต การกระจายแบบเสถียรมีฟังก์ชันลักษณะเฉพาะในรูปแบบ:

${\displaystyle \Phi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=\exp \left[~it\mu \!-\!|\lambda t|^{\alpha }\,(1\!-\!i\beta \operatorname {sign} (t)\Omega )~\right],}$

ที่ไหน

${\displaystyle \Omega ={\begin{cases}\tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}}&{\text{if }}\alpha \neq 1,\\-{\tfrac {2}{\pi }}\log |t|&{\text{if }}\alpha =1.\end{cases}}}$

ฟังก์ชันลักษณะเสถียรทางเรขาคณิตสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันลักษณะเสถียรดังนี้: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=[1-\log(\Phi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu ))]^{-1}.}$

• การแจกแจงแบบมิตแทก-เลฟเฟลอร์