ในทฤษฎีคิว ทาง คณิตศาสตร์กฎของลิตเติลเป็นทฤษฎีบทของจอห์น ลิตเติลซึ่งกล่าวว่าจำนวนลูกค้าเฉลี่ยในระยะยาว ( L ) ใน ระบบ ที่คงที่นั้นเท่ากับอัตราการมาถึงที่มีประสิทธิภาพเฉลี่ยในระยะยาว ( λ ) คูณด้วยเวลาเฉลี่ยที่ลูกค้าใช้ในระบบ ( W ) เมื่อแสดงในรูปพีชคณิต กฎนี้คือ

${\displaystyle L=\lambda W.}$

กล่าวโดยง่าย กฎนี้ระบุว่าจำนวนเฉลี่ยของสิ่งของในระบบขึ้นอยู่กับทั้งอัตราการเข้าสู่ระบบและเวลาเฉลี่ยที่สิ่งของแต่ละชิ้นคงอยู่ในระบบ หากสิ่งของเข้ามาเร็วขึ้น หรือหากสิ่งของแต่ละชิ้นคงอยู่ในระบบนานขึ้น จำนวนเฉลี่ยที่มีอยู่ก็จะเพิ่มขึ้นตามสัดส่วน

ความสัมพันธ์นี้ไม่ได้รับผลกระทบจากรูปแบบการกระจายตัวของกระบวนการมาถึง รูปแบบการกระจายตัวของบริการ หรือลำดับของบริการ

ผลลัพธ์นี้สามารถนำไปใช้กับระบบใดๆ ก็ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งระบบที่ซ้อนอยู่ในระบบอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ในสาขาธนาคารแถวลูกค้า อาจเป็นระบบย่อยหนึ่ง และ พนักงานแต่ละคนอาจเป็นระบบย่อยอีกระบบหนึ่ง และผลลัพธ์ของลิตเติลสามารถนำไปใช้กับแต่ละระบบย่อยได้เช่นเดียวกับระบบโดยรวม กฎนี้ใช้ได้ภายใต้เงื่อนไขความเสถียรที่กว้างขวาง กล่าวคือ ในแอปพลิเคชันการเข้าคิวทั่วไป ค่าเฉลี่ยระยะยาวที่เกี่ยวข้องจะต้องมีอยู่ ขอบเขตของระบบจะต้องสอดคล้องกัน และอัตราการมาถึงที่มีประสิทธิภาพจะต้องตรงกับจำนวนประชากรที่กำลังวัดเวลาอยู่ในระบบ กฎนี้มีการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติในด้านการผลิต การวิเคราะห์ประสิทธิภาพซอฟต์แวร์ และการวางแผนกำลังการผลิตของโรงพยาบาล

ในบางกรณี ไม่เพียงแต่จะสามารถเชื่อมโยงค่าเฉลี่ย ของ จำนวนในระบบกับค่าเฉลี่ย ของการรอคอยได้ทางคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังสามารถเชื่อมโยง การกระจายความน่าจะเป็นทั้งหมด(และโมเมนต์) ของจำนวนในระบบกับระยะเวลารอคอยได้อีกด้วย

กฎของลิตเติลยังถูกเรียกอีกชื่อว่า ผลลัพธ์ของลิตเติล ทฤษฎีบท บทพิสูจน์ หรือสูตรในแหล่งข้อมูลต่างๆ^{[ 1 ] [ 2 ]}

ในบทความปี 1954 กฎของลิตเติลถูกสันนิษฐานว่าเป็นจริงและนำมาใช้โดยไม่มีการพิสูจน์^{[ 3 ] [ 4 ]}รูปแบบL  =  λWได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกโดยฟิลิป เอ็ม. มอร์สซึ่งเขาได้ท้าทายผู้อ่านให้หาสถานการณ์ที่ความสัมพันธ์นี้ไม่เป็นจริง^{[ 3 ] [ 5 ]}ลิตเติลได้ตีพิมพ์บทพิสูจน์ทั่วไปของกฎนี้ในปี 1961 ภายใต้สมมติฐานเรื่องความคงที่อย่างกว้างขวาง^{[ 6 ]} บท พิสูจน์ของลิตเติลตามมาด้วยเวอร์ชันที่ง่ายกว่าโดยจูเวลล์^{[ 7 ]}และอีกเวอร์ชันหนึ่งโดยอีลอน^{[ 8 ]}ชาเลอร์ สติดแฮมได้ตีพิมพ์บทพิสูจน์ที่แตกต่างและเข้าใจง่ายกว่าในปี 1972 ^{[ 9 ] [ 10 ]}

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นกฎของ Little ในบริบทการคำนวณและการค้าปลีก ในแต่ละกรณี อัตราเฉลี่ยและเวลาเฉลี่ยในระบบจะถูกวัดในช่วงเวลาที่เสถียรเดียวกันและอ้างอิงถึงกลุ่มรายการเดียวกัน^{[ 11 ] [ 12 ]}

ลองนึกภาพแอปพลิเคชันที่ไม่มีวิธีวัดเวลาตอบสนองได้ ง่ายๆ หากทราบค่าเฉลี่ยของจำนวนในระบบและปริมาณงานทั้งหมดแล้ว เราสามารถหาเวลาตอบสนองเฉลี่ยได้โดยใช้กฎของลิตเติล:

เวลาตอบสนองเฉลี่ย = จำนวนเฉลี่ยในระบบ / อัตราการประมวลผลเฉลี่ย

ตัวอย่างเช่น มิเตอร์วัดความลึกของคิวแสดงค่าเฉลี่ยของงานที่รอรับบริการเก้างาน เมื่อบวกเพิ่มอีกหนึ่งงานสำหรับงานที่กำลังดำเนินการอยู่ จะได้ค่าเฉลี่ยของงานสิบงานในระบบ มิเตอร์อีกตัวแสดงค่าเฉลี่ยของปริมาณงานที่ทำได้ 50 งานต่อวินาที ดังนั้นเวลาตอบสนองเฉลี่ยคือ 0.2 วินาที = 10 / 50 งานต่อวินาที^{[ 12 ] [ 13 ]}

ลองนึกภาพร้านค้าเล็กๆ ที่มีเคาน์เตอร์เพียงเคาน์เตอร์เดียวและพื้นที่สำหรับเลือกดูสินค้า โดยมีลูกค้าอยู่ประจำเคาน์เตอร์ได้เพียงคนเดียวในแต่ละครั้ง และไม่มีใครออกจากร้านไปโดยไม่ซื้ออะไรติดมือกลับไปเลย ดังนั้นระบบจึงเป็นดังนี้:

ทางเข้า → เลือกดูสินค้า → เคาน์เตอร์ → ทางออก

ถ้าอัตราการเข้าของผู้คนในร้าน (เรียกว่าอัตราการมาถึง) เท่ากับอัตราการออกจากร้าน (เรียกว่าอัตราการออก) ระบบนั้นจะเสถียร ในทางตรงกันข้าม หากอัตราการมาถึงสูงกว่าอัตราการออก ระบบจะไม่เสถียร โดยจำนวนลูกค้าที่รออยู่ในร้านจะค่อยๆ เพิ่มขึ้นจนถึงอนันต์

กฎของลิตเติลบอกเราว่า จำนวนลูกค้าโดยเฉลี่ยในร้านLคือ อัตราการมาถึงที่มีประสิทธิภาพ  λคูณด้วยเวลาเฉลี่ยที่ลูกค้าใช้ในร้านWหรือกล่าวได้ง่ายๆ ว่า:

${\displaystyle L=\lambda W}$

สมมติว่าลูกค้ามาถึงในอัตรา 10 คนต่อชั่วโมง และใช้เวลาอยู่ในร้านโดยเฉลี่ย 0.5 ชั่วโมง นั่นหมายความว่าโดยเฉลี่ยแล้วจำนวนลูกค้าที่อยู่ในร้าน ณ เวลาใดเวลาหนึ่งจะเท่ากับ 5 คน

${\displaystyle L=10\times 0.5=5}$

สมมติว่าร้านค้ากำลังพิจารณาที่จะเพิ่มการโฆษณาเพื่อเพิ่มจำนวนลูกค้าให้ถึง 20 คนต่อชั่วโมง ร้านค้าจะต้องเตรียมพร้อมที่จะรองรับลูกค้าโดยเฉลี่ย 10 คน หรือต้องลดเวลาที่ลูกค้าแต่ละคนใช้ในร้านให้เหลือ 0.25 ชั่วโมง ร้านค้าอาจทำได้โดยการคิดเงินให้เร็วขึ้นหรือโดยการเพิ่มเคาน์เตอร์บริการ

เราสามารถใช้กฎของลิตเติลกับระบบภายในร้านค้าได้^{[ 14 ]} ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาเคาน์เตอร์และคิว สมมติว่าเราสังเกตเห็นว่าโดยเฉลี่ยแล้วมีลูกค้า 2 คนในคิวและที่เคาน์เตอร์ เรารู้ว่าอัตราการมาถึงคือ 10 คนต่อชั่วโมง ดังนั้นลูกค้าจะต้องใช้เวลาโดยเฉลี่ย 0.2 ชั่วโมงในการชำระเงิน

${\displaystyle W={\frac {L}{\lambda }}={\frac {2}{10}}=0.2}$

เราสามารถนำกฎของลิตเติลมาประยุกต์ใช้กับเคาน์เตอร์ได้ด้วย จำนวนคนโดยเฉลี่ยที่อยู่เคาน์เตอร์จะอยู่ในช่วง (0, 1) เนื่องจากจะมีคนอยู่เคาน์เตอร์ได้ครั้งละไม่เกินหนึ่งคน ในกรณีเช่นนี้ จำนวนคนโดยเฉลี่ยที่อยู่เคาน์เตอร์จึงเรียกว่าอัตราการใช้ประโยชน์ของเคาน์เตอร์

อย่างไรก็ตาม เนื่องจากในความเป็นจริงร้านค้ามีพื้นที่จำกัด จึงอาจเกิดความไม่เสถียรได้ หากอัตราการมาถึงสูงกว่าอัตราการออกมาก ร้านค้าก็จะเริ่มล้น และลูกค้าใหม่ที่เข้ามาก็จะถูกปฏิเสธ (และถูกบังคับให้ไปที่อื่นหรือลองใหม่อีกครั้งในภายหลัง) จนกว่าจะมีพื้นที่ว่างในร้านอีกครั้ง นี่คือความแตกต่างระหว่างอัตราการมาถึงและอัตราการมาถึงที่มีประสิทธิภาพโดยอัตราการมาถึงโดยประมาณจะสอดคล้องกับอัตราที่ลูกค้ามาถึงร้าน ในขณะที่อัตราการมาถึงที่มีประสิทธิภาพจะสอดคล้องกับอัตราที่ลูกค้าเข้าร้าน ในระบบที่มีความจุไม่จำกัดและไม่มีการสูญเสีย ทั้งสองจะเท่ากัน^{[ 11 ]}

ในภาคการผลิต กฎของลิตเติลเชื่อมโยงงานระหว่างกระบวนการผลิต (WIP) ปริมาณงานที่ผลิตได้และเวลาในการผลิตต่อรอบ หากสายการผลิตผลิตได้ 200 หน่วยต่อวัน และงานระหว่างกระบวนการผลิตโดยเฉลี่ยอยู่ที่ 100 หน่วย ตามกฎนี้แล้ว แต่ละหน่วยจะใช้เวลาโดยเฉลี่ย...

$W = L / แลมบ์ดา = 100 / 200 = 0.5 วัน$

ในบรรทัด Hopp และ Spearman นำเสนอความสัมพันธ์นี้เป็นหนึ่งในกฎพื้นฐานของการดำเนินงานโรงงาน และใช้ความสัมพันธ์นี้เพื่อประมาณเวลาวงจรจากสินค้าคงคลังที่สังเกตได้ และเพื่อประมาณ WIP จากปริมาณงานและระยะเวลานำที่สังเกตได้^{[ 15 ]}

คิวมักเกิดขึ้นเมื่อความต้องการเข้าใกล้ความสามารถในการให้บริการ และขนาดของคิวจะได้รับผลกระทบจากความแปรปรวนของเวลาให้บริการ ความแปรปรวนของการมาถึง และระเบียบวินัยในการให้บริการ^{[ 16 ]}กฎของลิตเติลกำหนดให้ปริมาณทั้งสามอธิบายขอบเขตของระบบเดียวกันและประเภทของรายการเดียวกัน^{[ 11 ] [ 12 ]}ข้อผิดพลาดทั่วไปคือการรวมอัตราการมาถึงที่วัดได้ที่ขอบเขตหนึ่งเข้ากับเวลาที่รอที่วัดได้ที่ขอบเขตอื่น^{[ 12 ]}ข้อผิดพลาดประการที่สองคือการใช้อัตราการมาถึงที่เสนอแทนที่จะใช้ปริมาณงานที่มีประสิทธิภาพในระบบที่การมาถึงอาจถูกปิดกั้น ถูกละทิ้ง ถูกปฏิเสธ หรือสูญหาย^{[ 11 ] [ 3 ]}กฎนี้ยังอธิบายถึงค่าเฉลี่ยในระยะยาว การประมาณค่าตัวอย่างจำกัดต้องใช้ความระมัดระวังทางสถิติเนื่องจากช่วงเวลาชั่วคราวสั้นๆ และการจัดการลูกค้าที่อยู่ในตอนเริ่มต้นหรือยังคงอยู่ในระบบเมื่อสิ้นสุดช่วงเวลาการสังเกตอาจทำให้การประมาณค่าคลาดเคลื่อนได้^{[ 17 ]}

ในการใช้กฎของลิตเติลกับข้อมูล ต้องใช้สูตรในการประมาณค่าพารามิเตอร์ เนื่องจากผลลัพธ์ไม่จำเป็นต้องนำไปใช้โดยตรงในช่วงเวลาจำกัด เนื่องจากปัญหาต่างๆ เช่น วิธีการบันทึกข้อมูลลูกค้าที่อยู่แล้ว ณ จุดเริ่มต้นของช่วงเวลาการบันทึก และลูกค้าที่ยังไม่ออกจากสถานที่เมื่อการบันทึกหยุดลง^{[ 18 ]}

กฎของลิตเติลใช้กันอย่างแพร่หลายในการผลิตเพื่อเชื่อมโยงเวลาวงจร ปริมาณงาน และงานระหว่างดำเนินการฟิสิกส์โรงงาน ของฮอปป์และสเปียร์แมน นำเสนอกฎนี้ว่าเป็นหนึ่งในความสัมพันธ์พื้นฐานของการจัดการการดำเนินงาน ซึ่งใช้ในการคำนวณระยะเวลานำจากอัตราการผลิตและสินค้าคงคลังที่สังเกตได้^{[ 15 ]}

ผู้ทดสอบประสิทธิภาพซอฟต์แวร์และผู้วางแผนความจุใช้กฎของลิตเติลเพื่อเชื่อมโยงการทำงานพร้อมกัน ปริมาณงาน และเวลาตอบสนอง และเพื่อตรวจจับเมื่อประสิทธิภาพที่สังเกตได้ถูกจำกัดโดยชุดทดสอบมากกว่าระบบที่กำลังทดสอบ^{[ 19 ] [ 20 ]}

การใช้งานอื่นๆ ได้แก่ การจัดหาบุคลากรประจำแผนกฉุกเฉินในโรงพยาบาล^{[ 11 ] [ 21 ]}

สุดท้ายนี้ กฎของลิตเติลในรูปแบบที่เทียบเท่ากันยังใช้ได้ในสาขาประชากรศาสตร์และชีววิทยาประชากรแม้ว่าจะไม่ได้เรียกว่า "กฎของลิตเติล" ก็ตาม^{[ 22 ] [ 23 ]}ตัวอย่างเช่น โคเฮน (2008) ^{[ 24 ]}อธิบายว่าในประชากรที่คงที่และเป็นเนื้อเดียวกันโดยไม่มีการย้ายถิ่นฐานโดยที่คือขนาดประชากรทั้งหมดคือจำนวนการเกิดต่อปี และคืออายุขัยเฉลี่ยตั้งแต่แรกเกิด สูตรนี้จึงเทียบเท่ากับกฎของลิตเติลโดยตรง ( ) อย่างไรก็ตาม ประชากรทางชีววิทยามีแนวโน้มที่จะเปลี่ยนแปลงได้และซับซ้อนกว่าในการสร้างแบบจำลองอย่างแม่นยำ^{[ 25 ]}$P = B × e$${\displaystyle P}$${\displaystyle B}$${\displaystyle e}$$P = B × e$${\displaystyle L=\lambda W}$

ในบางกรณี ไม่เพียงแต่จะสามารถเชื่อมโยงค่าเฉลี่ยได้เท่านั้น แต่ยังสามารถเชื่อมโยงการกระจายความน่าจะเป็นทั้งหมดของจำนวนในระบบกับเวลาในระบบภายใต้ ระเบียบ แบบมาก่อนได้ก่อนได้อีกด้วยความสัมพันธ์เชิงการกระจายสำหรับระบบ FIFO/Poisson จำนวนมากได้รับการพัฒนาโดย Keilson และ Servi (1988) ^{[ 26 ]}และได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมในงานที่เกี่ยวข้อง รวมถึงการเชื่อมโยงกับการแยกส่วน Fuhrmann–Cooper ^{[ 27 ]}ต่อมา Bertsimas และ Nakazato (1995) ได้ให้การพิสูจน์ใหม่และสำรวจการใช้งาน^{[ 28 ]}

• รายชื่อกฎหมายที่ตั้งชื่อตามบุคคล (กฎหมาย สุภาษิต และข้อสังเกตหรือคำทำนายสั้นๆ อื่นๆ ที่ตั้งชื่อตามบุคคล)
• เออร์ลัง (หน่วย)

• Sigman, K. การพิสูจน์สูตรการเข้าคิว L = λ W , มหาวิทยาลัยโคลัมเบีย