ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันคงที่เฉพาะที่คือฟังก์ชันจากปริภูมิเชิงทอพอโลยีไปยังเซตที่มีคุณสมบัติว่า รอบๆ ทุกจุดในโดเมน ของฟังก์ชันนั้น จะมีบริเวณใกล้เคียง บาง บริเวณที่ ฟังก์ชันนั้น จำกัดตัว มันเอง เป็น ฟังก์ชัน คง ที่

ให้เป็นฟังก์ชันจากปริภูมิเชิงทอ พอโลยี ไปยังเซต ถ้า แล้วกล่าวได้ว่า เป็นฟังก์ชันคงที่เฉพาะที่ ณ จุดถ้ามีบริเวณใกล้เคียงของที่ทำให้เป็นฟังก์ชันคงที่บนซึ่งตามนิยามหมายความว่าสำหรับทุก ฟังก์ชันเรียกว่า เป็นฟังก์ชันคงที่เฉพาะที่ถ้าเป็นฟังก์ชันคงที่เฉพาะที่ทุกจุดในโดเมนของมัน ${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle f(u)=f(v)}$${\displaystyle u,v\in U.}$${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle x\in X}$

ฟังก์ชันคงที่ทุก ฟังก์ชัน จะเป็นฟังก์ชันคงที่ในระดับท้องถิ่น และในทางกลับกัน หากโดเมน ของฟังก์ชันนั้น เป็นปริภูมิที่เชื่อมต่อกันข้อความ ดังกล่าวจะเป็นจริง

ฟังก์ชันคงที่เฉพาะที่ทุกฟังก์ชันจากจำนวนจริง ไป ยัง จะเป็นฟังก์ชันคงที่ เนื่องจากการเชื่อมต่อของแต่ฟังก์ชันจากจำนวนตรรกยะไปยัง ซึ่งกำหนดโดยและจะเป็นฟังก์ชันคงที่เฉพาะที่ (โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นจำนวนอตรรกยะและดังนั้นเซตและทั้งสองจึงเป็น เซต เปิดใน) ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f(x)=0{\text{ สำหรับ }}x<\pi ,}$${\displaystyle f(x)=1{\text{ สำหรับ }}x>\pi ,}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x<\pi \}}$${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x>\pi \}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ถ้ามีค่าคงที่ในระดับท้องถิ่นแล้ว ก็จะมีค่าคงที่บนส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน ใดๆ ของ และในทางกลับกันก็เป็นจริงสำหรับ ปริภูมิ ที่เชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่นซึ่งเป็นปริภูมิที่มีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันเป็นเซตย่อยเปิด ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle A.}$

ตัวอย่างเพิ่มเติมได้แก่:

• เมื่อกำหนดแผนที่ครอบคลุม แล้ว เราสามารถกำหนดจำนวนสมาชิกของไฟเบอร์เหนือจุดแต่ละจุด ได้ โดยการกำหนดนี้จะมีค่าคงที่ในระดับท้องถิ่น${\displaystyle p:C\to X,}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle p^{-1}(x)}$${\displaystyle x}$
• แผนที่จากปริภูมิเชิงทอพอโลยีไปยังปริภูมิเชิงดิสครีตจะเป็นแผนที่ต่อเนื่องก็ต่อเมื่อแผนที่นั้นมีค่าคงที่ในระดับท้องถิ่น${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

มีชีฟของฟังก์ชันคงที่เฉพาะที่บนเพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น ฟังก์ชันค่าจำนวนเต็มคงที่เฉพาะที่บนก่อให้เกิดชีฟในแง่ที่ว่าสำหรับแต่ละเซตเปิดของเราสามารถสร้างฟังก์ชันประเภทนี้ได้ จากนั้นตรวจสอบว่าสัจพจน์ ของชีฟ เป็นจริงสำหรับการสร้างนี้ ทำให้เราได้ชีฟของกลุ่มอาเบเลียน (แม้แต่วงแหวนสลับที่ ) ^{[ 1 ]}ชีฟนี้สามารถเขียนได้เป็น; อธิบายโดยใช้สตอล์กเรามีสตอล์กสำเนาของที่สำหรับแต่ละ สิ่งนี้สามารถอ้างถึงชีฟคงที่ซึ่งหมายถึงชีฟของฟังก์ชันคงที่เฉพาะที่ซึ่งมีค่าอยู่ในกลุ่ม (เดียวกัน) ชีฟทั่วไปของ แน่นอนว่าไม่คงที่ในลักษณะนี้ แต่การสร้างนี้มีประโยชน์ในการเชื่อมโยงโคฮอโมโลยีของชีฟกับทฤษฎีโฮโมโลยีและในการประยุกต์ใช้เชิงตรรกะของชีฟ แนวคิดของระบบสัมประสิทธิ์เฉพาะที่คือเราสามารถมีทฤษฎีของชีฟที่ดูเหมือนชีฟ 'ไร้พิษภัย' เฉพาะที่ (ใกล้กับใดๆ)แต่จากมุมมองโดยรวมแสดงให้เห็นถึง 'การบิด' บางอย่าง ${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z_{X}}$${\displaystyle Z_{x},}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle x}$

• ทฤษฎีบทของ Liouville (การวิเคราะห์เชิงซ้อน)  – ทฤษฎีบทในการวิเคราะห์เชิงซ้อน
• ชีฟคงที่เฉพาะที่