ในทางคณิตศาสตร์ลำดับโลวเนอร์ (Loewner order) คือลำดับบางส่วนที่กำหนดโดยกรวยนูนของเมทริกซ์กึ่งบวกกำหนด (positive semi-definite matrices ) ลำดับนี้มักใช้เพื่อขยายความหมายของฟังก์ชันสเกลาร์แบบโมโนโทนและเว้า/นูน ไปสู่ฟังก์ชันค่าเฮอร์มิเชียนแบบโมโนโทนและเว้า/นูนฟังก์ชันเหล่านี้เกิดขึ้นตามธรรมชาติในทฤษฎีเมทริกซ์และทฤษฎีตัวดำเนินการ และมีการประยุกต์ใช้ในหลายสาขาของฟิสิกส์และวิศวกรรม

ให้AและBเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน สองเมทริกซ์ ที่มีอันดับnเรากล่าวว่าA ≥ Bถ้าA  −  Bเป็น เมท ริกซ์ กึ่งบวกกำหนด ในทำนองเดียวกัน เรากล่าวว่าA > Bถ้าA  −  Bเป็นเมทริกซ์บวกกำหนด

แม้ว่าโดยทั่วไปจะมีการกล่าวถึงลำดับโลวเนอร์ในเมทริกซ์ (ซึ่งเป็นกรณีที่มีมิติจำกัด) แต่ลำดับโลวเนอร์ก็ได้รับการนิยามไว้อย่างดีในตัวดำเนินการ (ซึ่งเป็นกรณีที่มีมิติอนันต์) ในลักษณะที่คล้ายคลึงกันด้วย

เมื่อAและBเป็นสเกลาร์จริง (เช่นn = 1) ลำดับของ Loewner จะลดลงเหลือลำดับปกติของRถึงแม้ว่าคุณสมบัติบางอย่างที่คุ้นเคยของลำดับปกติของRจะยังคงใช้ได้เมื่อn ≥ 2 แต่คุณสมบัติหลายอย่างก็ใช้ไม่ได้อีกต่อไป ตัวอย่างเช่นความสามารถในการเปรียบเทียบของเมทริกซ์สองเมทริกซ์อาจใช้ไม่ได้อีกต่อไป ในความเป็นจริง ถ้า และแล้วทั้งA ≥ BหรือB ≥ Aก็ไม่เป็นจริง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลำดับของ Loewner เป็นลำดับบางส่วนแต่ไม่ใช่ลำดับ ทั้งหมด${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\ }$${\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}\ }$

นอกจากนี้ เนื่องจากAและBเป็นเมทริกซ์เฮอร์ มิเชียน ค่าไอเกน ของเมทริกซ์ ทั้งสองจึงเป็นจำนวนจริงทั้งหมด ถ้าλ ₁ ( B ) คือค่าไอเกนสูงสุดของBและλ _n ( A ) คือค่าไอเกนต่ำสุดของAเกณฑ์ที่เพียงพอที่จะทำให้A ≥ Bคือλ _n ( A ) ≥ λ ₁ ( B ) ถ้าAหรือBเป็นพหุคูณของเมทริกซ์เอกลักษณ์เกณฑ์นี้ก็จำเป็นเช่นกัน

ลำดับโลวเนอร์ไม่มีคุณสมบัติขอบเขตบนน้อยที่สุดดังนั้นจึงไม่ก่อให้เกิดแลตทิซ แต่มีขอบเขต: สำหรับเซตเมทริกซ์จำกัดใดๆ เราสามารถหาเมทริกซ์ "ขอบเขตบน" Aที่มากกว่าเมทริกซ์ทั้งหมดใน S ได้ อย่างไรก็ตาม จะมีขอบเขตบนหลายค่า ในแลตทิซ จะมีค่าสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันเพียงค่าเดียวที่ทำให้ขอบเขตบนU ใดๆ บนเป็นไปตามเงื่อนไข≤ Uแต่ในลำดับโลวเนอร์ เราอาจมีขอบเขตบนสองค่าAและBที่ต่างก็เป็นค่าต่ำสุด (ไม่มีสมาชิกC < Aที่เป็นขอบเขตบนด้วย) แต่ไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ ( A - Bไม่ใช่ทั้งเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดหรือเมทริกซ์ลบกึ่งกำหนด) ${\displaystyle S}$${\displaystyle \max(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \max(S)}$

• ร่องรอยความไม่เท่าเทียมกัน