การทดสอบล็อกแรงค์ (Logrank test)หรือการทดสอบลอการิทึม-แรงค์ (Log-rank test ) เป็นการทดสอบสมมติฐานเพื่อเปรียบเทียบ การกระจาย การอยู่รอดของสองกลุ่มตัวอย่าง เป็นการ ทดสอบแบบ ไม่ใช้พารามิเตอร์และเหมาะสมที่จะใช้เมื่อข้อมูลมีการกระจายแบบเบ้ขวาและมีการตัดตอน (ในทางเทคนิค การตัดตอนต้องไม่ให้ข้อมูล) มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการทดลองทางคลินิกเพื่อพิสูจน์ประสิทธิภาพของการรักษาใหม่เมื่อเปรียบเทียบกับการรักษาแบบควบคุม โดยการวัดคือเวลาที่เกิดเหตุการณ์ (เช่น เวลาตั้งแต่เริ่มการรักษาครั้งแรกจนถึงการเกิดภาวะหัวใจวาย) บางครั้งการทดสอบนี้เรียกว่าการทดสอบแมนเทล-ค็อกซ์ (Mantel–Cox test ) การทดสอบล็อกแรงค์ยังสามารถมองได้ว่าเป็นแบบทดสอบ คอแครน-แมนเทล-เฮนเซล (Cochran–Mantel–Haenszel test ) ที่แบ่งตามช่วงเวลา

การทดสอบนี้ได้รับการเสนอครั้งแรกโดยNathan Mantelและได้รับการตั้งชื่อว่าการทดสอบ logrankโดยRichardและJulian Peto ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

สถิติการทดสอบล็อกแรงค์ (Logrank test statistic) ใช้เปรียบเทียบค่าประมาณของฟังก์ชันอัตราความเสี่ยง (hazard functions)ของทั้งสองกลุ่ม ณ เวลาที่เกิดเหตุการณ์แต่ละครั้ง โดยสร้างขึ้นจากการคำนวณจำนวนเหตุการณ์ที่สังเกตได้และจำนวนเหตุการณ์ที่คาดการณ์ไว้ในกลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง ณ เวลาที่เกิดเหตุการณ์แต่ละครั้ง จากนั้นจึงนำค่าทั้งสองมารวมกันเพื่อให้ได้ค่าสรุปโดยรวมตลอดทุกช่วงเวลาที่มีเหตุการณ์เกิดขึ้น

พิจารณาผู้ป่วยสองกลุ่ม เช่น กลุ่มรักษาและกลุ่มควบคุม ให้เป็นเวลาที่แตกต่างกันของการเกิดเหตุการณ์ที่สังเกตได้ในแต่ละกลุ่ม ให้และเป็นจำนวนผู้ป่วย "ที่มีความเสี่ยง" (ผู้ที่ยังไม่เกิดเหตุการณ์หรือถูกตัดออกจากการศึกษา) ณ ต้นช่วงเวลาในแต่ละกลุ่ม ตามลำดับ ให้และเป็นจำนวนเหตุการณ์ที่สังเกตได้ในแต่ละกลุ่ม ณ เวลาสุดท้าย กำหนดให้ และ${\displaystyle 1,\ldots ,J}$${\displaystyle N_{1,j}}$${\displaystyle N_{2,j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle O_{1,j}}$${\displaystyle O_{2,j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle N_{j}=N_{1,j}+N_{2,j}}$${\displaystyle O_{j}=O_{1,j}+O_{2,j}}$

สมมติฐานว่างคือทั้งสองกลุ่มมีฟังก์ชันอัตราความเสี่ยงที่เหมือนกันดังนั้น ภายใต้ สมมติฐาน ว่าง สำหรับแต่ละกลุ่มจะมีการกระจายแบบไฮเปอร์จีโอเมตริกที่มีพารามิเตอร์, , การกระจายนี้มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน ${\displaystyle H_{0}:h_{1}(t)=h_{2}(t)}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle i=1,2}$${\displaystyle O_{i,j}}$${\displaystyle N_{j}}$${\displaystyle N_{i,j}}$${\displaystyle O_{j}}$${\displaystyle E_{i,j}=O_{j}{\frac {N_{i,j}}{N_{j}}}}$${\displaystyle V_{i,j}=E_{i,j}\left({\frac {N_{j}-O_{j}}{N_{j}}}\right)\left({\frac {N_{j}-N_{i,j}}{N_{j}-1}}\right)}$

สำหรับทุกค่า สถิติ logrank จะเปรียบเทียบกับค่าคาดหวังภายใต้เงื่อนไข โดยนิยามคือ ${\displaystyle j=1,\ldots ,J}$${\displaystyle O_{i,j}}$${\displaystyle E_{i,j}}$${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle Z_{i}={\frac {\sum _{j=1}^{J}(O_{i,j}-E_{i,j})}{\sqrt {\sum _{j=1}^{J}V_{i,j}}}}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}(0,1)}$      (สำหรับหรือ)${\displaystyle i=1}$${\displaystyle 2}$

เห็นได้ชัดว่าสำหรับทุก ๆและดังนั้น${\displaystyle j}$${\displaystyle O_{2,j}-E_{2,j}=-(O_{1,j}-E_{1,j})}$${\displaystyle V_{2,j}=V_{1,j}}$${\displaystyle Z_{2}=-Z_{1}}$

ตามทฤษฎีบทลิมิตกลางการกระจายของแต่ละค่าจะลู่เข้าสู่การกระจายแบบปกติมาตรฐานเมื่อเข้าใกล้ค่าอนันต์ ดังนั้นจึงสามารถประมาณได้ด้วยการกระจายแบบปกติมาตรฐานสำหรับค่า ที่มีขนาดใหญ่พอสมควรการประมาณค่าที่ดีขึ้นสามารถทำได้โดยการเทียบปริมาณนี้กับการกระจายแบบเพียร์สันประเภท I หรือ II (เบต้า) ที่มีโมเมนต์สี่ตัวแรกที่ตรงกัน ดังที่อธิบายไว้ในภาคผนวก B ของเอกสาร Peto และ Peto ^{[ 2 ]}${\displaystyle Z_{i}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J}$

ถ้าทั้งสองกลุ่มมีฟังก์ชันการอยู่รอดเหมือนกัน สถิติ logrank จะใกล้เคียงกับค่าปกติมาตรฐานการทดสอบระดับแบบด้านเดียวจะปฏิเสธสมมติฐานว่างถ้าโดยที่คือควอนไทล์บนของการกระจายแบบปกติมาตรฐาน ถ้าอัตราส่วนความเสี่ยงคือมี จำนวน ผู้ถูกทดสอบทั้งหมดคือความน่าจะเป็นที่ผู้ถูกทดสอบในกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งจะมีเหตุการณ์เกิดขึ้นในที่สุด (ดังนั้นคือจำนวนเหตุการณ์ที่คาดหวัง ณ เวลาของการวิเคราะห์) และสัดส่วนของผู้ถูกทดสอบที่สุ่มไปยังแต่ละกลุ่มคือ 50% สถิติ logrank จะใกล้เคียงกับค่าปกติโดยมีค่าเฉลี่ยและค่าความแปรปรวน 1 ^{[ 4 ]} สำหรับการทดสอบระดับแบบด้านเดียวที่มีกำลังขนาดตัวอย่างที่ต้องการคือ โดยที่และคือควอนไทล์ของการกระจายแบบปกติมาตรฐาน ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle Z>z_{\alpha }}$${\displaystyle z_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle nd}$${\displaystyle (\log {\lambda })\,{\sqrt {\frac {n\,d}{4}}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 1-\beta }$${\displaystyle n={\frac {4\,(z_{\alpha }+z_{\beta })^{2}}{d\log ^{2}{\lambda }}}}$${\displaystyle z_{\alpha }}$${\displaystyle z_{\beta }}$

สมมติว่าและคือค่าสถิติ logrank ณ สองช่วงเวลาที่แตกต่างกันในการศึกษาเดียวกัน ( ดังที่กล่าวมาแล้ว) สมมติอีกครั้งว่าฟังก์ชันอัตราความเสี่ยงในสองกลุ่มเป็นสัดส่วนกัน โดยมีอัตราส่วนความเสี่ยงและและคือความน่าจะเป็นที่ผู้เข้าร่วมการศึกษาจะมีเหตุการณ์เกิดขึ้น ณ สองช่วงเวลา โดยที่และ มี การ แจกแจงแบบปกติสองตัวแปรโดยประมาณ โดยมีค่าเฉลี่ยและ และค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์การคำนวณที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงร่วมมีความจำเป็นเพื่อรักษาอัตราความผิดพลาดให้ถูกต้องเมื่อคณะกรรมการตรวจสอบข้อมูล ตรวจสอบข้อมูลหลายครั้งภายในงานวิจัย เดียวกัน ${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle d_{2}}$${\displaystyle d_{1}\leq d_{2}}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle \log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{1}}{4}}}}$${\displaystyle \log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{2}}{4}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}}$

• สถิติล็อกแรงค์ (logrank statistic) สามารถหาได้จากการทดสอบคะแนน (score test)สำหรับ แบบจำลอง ความเสี่ยงตามสัดส่วนของค็อกซ์ (Cox proportional hazards model)ที่เปรียบเทียบสองกลุ่ม ดังนั้นจึงเทียบเท่ากับ สถิติ การทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็น (likelihood ratio test statistic) ที่ได้จากแบบจำลองนั้นในเชิงอะซิมโทติก
• สถิติล็อกแรงค์ (logrank statistic) เทียบเท่ากับสถิติการทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็น (likelihood ratio test statistic) ในเชิงอะซิมโทติก (asymptotically equivalent) สำหรับตระกูลการแจกแจงใดๆ ที่มีสมมติฐานทางเลือกแบบสัดส่วนความเสี่ยง (proportional hazard alternative) ตัวอย่างเช่น หากข้อมูลจากสองกลุ่มตัวอย่างมีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล (exponential distributions )
• ถ้าคือค่าสถิติล็อกแรงค์คือจำนวนเหตุการณ์ที่สังเกตได้ และคือค่าประมาณของอัตราส่วนความเสี่ยง แล้วความสัมพันธ์นี้มีประโยชน์เมื่อทราบค่าสองค่าแรก (เช่น จากบทความที่ตีพิมพ์) แต่ต้องการทราบค่าที่สาม${\displaystyle Z}$${\displaystyle D}$${\displaystyle {\hat {\แลมบ์ดา }}}$${\displaystyle \log {\hat {\lambda }}\approx Z\,{\sqrt {4/D}}}$
• สถิติล็อกแรงค์ (logrank statistic) สามารถใช้ได้เมื่อข้อมูลถูกตัดทอน (censored) หากไม่มีข้อมูลที่ถูกตัดทอนในข้อมูลการทดสอบผลรวมอันดับวิลค็อกซอน (Wilcoxon rank sum test)จะเหมาะสมกว่า
• สถิติ logrank ให้ความสำคัญกับการคำนวณทั้งหมดเท่ากัน โดยไม่คำนึงถึงเวลาที่เหตุการณ์เกิดขึ้น อย่างไรก็ตาม สถิติ การทดสอบ logrank ของ Petoจะให้ความสำคัญกับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นก่อนหน้านี้มากกว่า เมื่อมีจำนวนข้อมูลมาก

การทดสอบ logrank อิงตามสมมติฐานเดียวกันกับ เส้นโค้งการอยู่รอด ของ Kaplan-Meierกล่าวคือ การตัดข้อมูลไม่เกี่ยวข้องกับการพยากรณ์โรค ความน่าจะเป็นของการอยู่รอดจะเท่ากันสำหรับผู้ที่ได้รับการคัดเลือกในช่วงต้นและช่วงปลายของการศึกษา และเหตุการณ์เกิดขึ้นในช่วงเวลาที่กำหนด การเบี่ยงเบนจากสมมติฐานเหล่านี้มีความสำคัญมากที่สุดหากเป็นไปตามเงื่อนไขที่แตกต่างกันในกลุ่มที่นำมาเปรียบเทียบกัน ตัวอย่างเช่น หากการตัดข้อมูลมีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นในกลุ่มหนึ่งมากกว่าอีกกลุ่มหนึ่ง^{[ 5 ]}

• ตัวประมาณค่าแบบ Kaplan–Meier
• อัตราส่วนความเสี่ยง