ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตโครงสร้างลอการิทึมเป็นบริบทเชิงนามธรรมที่ใช้ในการศึกษาโครงร่างกึ่งเสถียรโดยเฉพาะอย่างยิ่งแนวคิดของรูปแบบเชิงอนุพันธ์ลอการิทึมและ แนวคิด ทางทฤษฎีฮอดจ์ ที่เกี่ยวข้อง แนวคิดนี้เป็นหนึ่งในรากฐานของเรขาคณิตเชิงลอการิทึมและมีการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีของปริภูมิโมดูลัสในทฤษฎีการเปลี่ยนรูปและทฤษฎีฮอดจ์ p-adic ของฟอนเทน เป็นต้น

แนวคิดคือการศึกษาความหลากหลายทางพีชคณิต (หรือโครงร่าง ) Uซึ่งเรียบแต่ไม่จำเป็นต้องเหมาะสมโดยการฝังลงในXซึ่งเหมาะสม แล้วจึงพิจารณาชีฟบางอย่างบนXปัญหาคือชีฟย่อยของที่ประกอบด้วยฟังก์ชันซึ่งการจำกัดบนUสามารถผกผันได้ ไม่ใช่ชีฟของวงแหวน (เนื่องจากการบวกฟังก์ชันที่ไม่เป็นศูนย์สองฟังก์ชันอาจให้ฟังก์ชันที่เป็นศูนย์ได้) และเราจะได้ชีฟของโมโนอิด ย่อย ของ เท่านั้น โดยการคูณ การจดจำโครงสร้างเพิ่มเติมนี้บนXสอดคล้องกับการจดจำการรวมซึ่งเปรียบเทียบXกับโครงสร้างพิเศษนี้กับความหลากหลายที่มีขอบเขต (สอดคล้องกับ) ^{[ 1 ]}${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle j\colon U\to X}$${\displaystyle D=XU}$

ให้Xเป็นสกีมโครงสร้างพรีล็อกบนXประกอบด้วยชีฟของโมโนอิด (แบบสลับที่ได้) บนXพร้อมกับโฮโมมอร์ฟิซึมของโมโนอิดโดยที่ถือว่าเป็นโมโนอิดภายใต้การคูณของฟังก์ชัน ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \alpha \colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

โครงสร้างก่อนลอการิทึมจะเป็นโครงสร้างลอการิทึมได้ ก็ ต่อ เมื่อ เหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมเพิ่มเติมด้วย${\displaystyle ({\mathcal {M}},\alpha )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha \colon \alpha ^{-1}({\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$

มอร์ฟิซึมของโครงสร้าง (ก่อน)ลอการิทึมประกอบด้วยโฮโมมอร์ฟิซึมของชีฟของโมโนอิดที่สลับตำแหน่งกับโฮโมมอร์ฟิซึมที่เกี่ยวข้องไปยัง ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

แผนผังแบบบันทึกข้อมูล (Log scheme) ก็คือแผนผังที่ประกอบด้วยโครงสร้างบันทึกข้อมูลนั่นเอง

• สำหรับรูปแบบใดๆXเราสามารถกำหนดโครงสร้างลอการิทึมแบบง่ายๆบนX ได้ โดยการกำหนดให้และเป็นการรวมเข้าด้วยกัน${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$${\displaystyle \alpha }$
• ตัวอย่างที่กระตุ้นให้เกิดการนิยามโครงสร้างลอการิทึมมาจากแผนผังแบบกึ่งเสถียร ให้Xเป็นแผนผังซึ่งเป็นการรวมของแผนผังย่อยแบบเปิดของXโดยที่ส่วนเติมเต็มเป็น ตัว หารที่มีจุดตัดปกติดังนั้นจะมีโครงสร้างลอการิทึมที่เกี่ยวข้องกับสถานการณ์นี้ ซึ่งก็คือโดย ที่เป็น เพียงมอร์ฟิซึมการรวมเข้าไป ใน นี่เรียกว่าโครงสร้างลอการิทึมแบบแคนอนิก ( หรือแบบมาตรฐาน ) บนXที่เกี่ยวข้องกับD${\displaystyle j\colon U\to X}$${\displaystyle D=XU}$${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}\cap j_{*}{\mathcal {O}}_{U}^{\times }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$
• ให้Rเป็นวงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่องโดยมีฟิลด์เศษเหลือkและฟิลด์เศษส่วนKแล้วโครงสร้างลอการิทึมแบบแคนอนิกบนประกอบด้วยการรวม(และไม่ใช่!) ไว้ภายในอันที่จริงนี่เป็นตัวอย่างหนึ่งของการสร้างก่อนหน้านี้ แต่ใช้${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$${\displaystyle R\setminus \{0\}}$${\displaystyle R^{\times }}$${\displaystyle R}$${\displaystyle j\colon \mathrm {Spec} (K)\to \mathrm {Spec} (R)}$
• ด้วยRดังที่กล่าวมาข้างต้น เราสามารถกำหนดโครงสร้างลอการิทึมกลวงบน ได้โดยใช้ชีฟของโมโนอิดชุดเดียวกันกับที่ใช้ก่อนหน้านี้ แต่ส่งไอเดียลสูงสุดของRไปที่ 0 แทน${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$

หนึ่งในแอปพลิเคชันของโครงสร้างลอการิทึมคือความสามารถในการกำหนดรูปแบบลอการิทึม (หรือเรียกว่ารูปแบบเชิงอนุพันธ์ที่มีขั้วลอการิทึม) บนแผนผังลอการิทึมใดๆ จากนั้น เราสามารถกำหนดความเรียบของลอการิทึมและความเป็นเอทาลของลอการิทึมได้ โดยเป็นการขยายแนวคิดของมอร์ฟิซึมเรียบและมอร์ฟิซึมเอทาลซึ่งจะช่วยให้สามารถศึกษาทฤษฎีการเปลี่ยนรูปได้

นอกจากนี้ โครงสร้างลอการิทึมยังใช้เพื่อกำหนดโครงสร้าง Hodge แบบผสมบนวาไรตี้เชิงซ้อนเรียบใดๆXโดยการใช้การทำให้กระชับด้วยขอบเขตตัวหารจุดตัดปกติDและเขียนคอมเพล็กซ์ de Rham ลอการิทึมที่ สอดคล้องกัน ^{[ 2 ]}

วัตถุลอการิทึมยังปรากฏขึ้นตามธรรมชาติในฐานะวัตถุที่ขอบเขตของปริภูมิโมดูลัสกล่าวคือ จากการเสื่อมสภาพ

เรขาคณิตลอการิทึมยังช่วยให้สามารถกำหนดนิยามของโคฮอโมโลยีผลึกแบบลอการิทึมซึ่งเป็นอนาล็อกของโคฮอโมโลยีผลึกที่มีพฤติกรรมที่ดีสำหรับวาไรตีที่ไม่จำเป็นต้องเรียบ แต่เรียบแบบลอการิทึมเท่านั้น สิ่งนี้จึงนำไปประยุกต์ใช้กับทฤษฎีการแทนกาโลอิสโดยเฉพาะอย่างยิ่งการแทนกาโลอิสแบบกึ่งเสถียร

• เรขาคณิตบันทึก
• แผนการกึ่งเสถียร
• โคฮอโมโลยีผลึกล็อก