ในทฤษฎีจำนวนโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการศึกษาการประมาณค่าไดโอแฟนไทน์ข้อสันนิษฐานเรื่องนักวิ่งโดดเดี่ยวเป็นข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับพฤติกรรมระยะยาวของนักวิ่งบนลู่วงกลม โดยระบุว่า${\displaystyle n}$นักวิ่งบนลู่ที่มีความยาวหนึ่งหน่วย ด้วยความเร็วคงที่และแตกต่างกันทั้งหมด จะต้องรู้สึกโดดเดี่ยวในบางช่วงเวลาอย่างแน่นอน—อย่างน้อยก็ในบางช่วงเวลา${\displaystyle 1/n}$อยู่ห่างจากที่อื่นๆ เป็นหน่วยๆ

ข้อสันนิษฐานนี้ถูกเสนอขึ้นครั้งแรกในปี 1967 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันJörg Willsในแง่ของทฤษฎีจำนวนล้วนๆ และต่อมาในปี 1974 โดย Thomas W. Cusick ในฐานะปัญหาการบดบังทัศนวิสัย การกำหนดรูปแบบที่แสดงให้เห็นและเป็นที่นิยมในปัจจุบันนั้นมีขึ้นในปี 1998 ข้อสันนิษฐานนี้เป็นที่ทราบกันว่าเป็นจริงสำหรับ${\displaystyle 13}$จำนวนนักวิ่งหรือน้อยกว่านั้น แต่กรณีทั่วไปยังคงหาคำตอบไม่ได้ นัยยะของการคาดการณ์นี้รวมถึงวิธีแก้ปัญหาการบดบังทัศนวิสัยและขอบเขตของคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับจำนวนสีของกราฟบางประเภท

พิจารณา${\displaystyle n}$นักวิ่งบนลู่วงกลมที่มีความยาวหนึ่งหน่วย ณ เวลาเริ่มต้น${\displaystyle t=0}$นักวิ่งทุกคนจะอยู่ที่ตำแหน่งเดียวกันและเริ่มวิ่ง ความเร็วของนักวิ่งแต่ละคนคงที่ แตกต่างกัน และอาจเป็นค่าลบได้ นักวิ่งบางคนอาจรู้สึกโดดเดี่ยวในช่วงเวลา ดังกล่าว${\displaystyle t}$หากอยู่ห่างกัน (วัดตามแนววงกลม) อย่างน้อย${\displaystyle 1/n}$จากนักวิ่งคนอื่นๆ ทุกคน สมมติฐานเรื่องนักวิ่งผู้โดดเดี่ยวระบุว่านักวิ่งแต่ละคนจะรู้สึกโดดเดี่ยวในบางช่วงเวลา ไม่ว่าจะเลือกความเร็วเท่าใดก็ตาม^{[ 1 ]}

การกำหนดภาพเชิงคาดการณ์นี้ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกในปี พ.ศ. 2541 ^{[ 2 ]}ในการกำหนดรูปแบบหลายแบบ รวมถึงแบบดั้งเดิมโดย Jörg M. Wills ^{[ 3 ] [ 4 ]}มีการลดทอนความซับซ้อนบางประการ นักวิ่งที่อยู่คนเดียวจะหยุดนิ่งที่ 0 (ด้วยความเร็วเป็นศูนย์) ดังนั้น${\displaystyle n-1}$นักวิ่งคนอื่นๆ ที่มีความเร็วไม่เป็นศูนย์ จะถูกนำมาพิจารณาด้วย^[ก]นักวิ่งที่กำลังเคลื่อนที่อาจถูกจำกัดให้มี ความเร็ว เป็นบวกเท่านั้น: โดยสมมาตร นักวิ่งที่มีความเร็ว${\displaystyle x}$และ${\displaystyle -x}$มีระยะห่างจาก 0 เท่ากันตลอดเวลา ดังนั้นจึงถือว่าเทียบเท่ากันโดยพื้นฐาน การพิสูจน์ผลลัพธ์สำหรับนักวิ่งที่หยุดนิ่งใดๆ ก็ตาม ย่อมหมายถึงผลลัพธ์ทั่วไปสำหรับนักวิ่งทั้งหมด เนื่องจากพวกเขาสามารถทำให้หยุดนิ่งได้โดยการลบความเร็วของพวกเขาออกจากนักวิ่งทั้งหมด ทำให้พวกเขามีความเร็วเป็นศูนย์ ข้อสันนิษฐานจึงกล่าวว่า สำหรับกลุ่มใดๆ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n-1}}$ของความเร็วที่เป็นบวกและชัดเจนนั้น มีอยู่ช่วงเวลาหนึ่ง${\displaystyle t>0}$โดยที่ $${\displaystyle {\frac {1}{n}}\leq \operatorname {frac} (v_{i}t)\leq 1-{\frac {1}{n}}\qquad (i=1,\dots ,n-1),}$$ ที่ไหน${\displaystyle \operatorname {frac} (x)}$แสดงถึงส่วนที่เป็นเศษส่วนของ${\displaystyle x}$[ ^{6 ] หากตีความในเชิงภาพ หากนักวิ่งวิ่งทวนเข็ม นาฬิกา}พจน์ตรงกลางของอสมการคือระยะทางจากจุดกำเนิดไปยัง${\displaystyle i}$นักวิ่งลำดับที่ 9 ในขณะนั้น${\displaystyle t}$วัดทวนเข็มนาฬิกา^[ข]จะใช้หลักการนี้ตลอดทั้งบทความนี้

ข้อสันนิษฐานของวิลส์เป็นส่วนหนึ่งของงานของเขาในการประมาณค่าไดโอแฟนไทน์ [ ^{7 ]}ซึ่งเป็นการศึกษาว่าเศษส่วนสามารถประมาณค่าจำนวนอตรรกยะได้ใกล้เคียงเพียงใด: ^{ทฤษฎีบท}การประมาณค่าของดิริชเลต์ (~1840) กล่าวว่าสำหรับจำนวนจริงทุกจำนวน${\displaystyle t}$และจำนวนเต็มบวก${\displaystyle n}$มีจำนวนเต็มอยู่จำนวนหนึ่ง${\displaystyle q\in \{1,2,\dots ,n-1\}}$โดยที่ระยะทางของ${\displaystyle tq}$ปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุดคือ${\displaystyle \leq {\frac {1}{n}}}$วิลส์ถามว่าผลลัพธ์นี้จะดีขึ้นได้หรือไม่ หากอนุญาตให้เปลี่ยนตัวได้${\displaystyle \{1,2,\dots ,n-1\}}$พร้อมกับชุดอื่นอีกชุดหนึ่ง${\displaystyle n-1}$จำนวนเต็มบวก และทฤษฎีบทนักวิ่งผู้โดดเดี่ยวระบุว่าเป็นไปไม่ได้

สมมติ${\displaystyle C}$เป็นไฮเปอร์คิวบ์nมิติที่มีความยาวด้าน${\displaystyle s}$ใน ปริภูมิ nมิติ (${\displaystyle n\geq 2}$วางสำเนาที่จัดวางไว้ตรงกลาง${\displaystyle C}$ณ ทุกจุดที่มี พิกัด ครึ่งจำนวนเต็มรังสีจากจุดกำเนิดอาจพลาดสำเนาทั้งหมดของ${\displaystyle C}$ในกรณีดังกล่าวจะมีช่องว่าง ( เล็กน้อยมาก ) หรือมีการชนอย่างน้อยหนึ่งสำเนาCusick (1973)ได้สร้างสูตรอิสระของข้อสันนิษฐานนักวิ่งโดดเดี่ยวในบริบทนี้ ข้อสันนิษฐานนี้บ่งชี้ว่าจะมีช่องว่างก็ต่อเมื่อ${\displaystyle s<(n-1)/(n+1)}$โดยไม่สนใจรังสีที่อยู่ในระนาบพิกัดใดระนาบหนึ่ง^{[ 8 ]}ตัวอย่างเช่น เมื่อวางในพื้นที่ 2 มิติ สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเล็กกว่า${\displaystyle 1/3}$ความยาวด้านจะทำให้เกิดช่องว่างดังที่แสดงไว้ และสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน${\displaystyle 1/3}$หรือจำนวนที่มากกว่านั้นจะขัดขวางรังสีทุกเส้นที่ไม่ขนานกับแกน การคาดการณ์นี้เป็นการขยายข้อสังเกตนี้ไปสู่จำนวนมิติใดๆ ก็ได้

ในทฤษฎีกราฟ กราฟระยะทาง${\displaystyle G}$บนเซตของจำนวนเต็ม และใช้เซตจำกัดบางเซต${\displaystyle D}$ระยะทางจำนวนเต็มบวก มีขอบระหว่าง${\displaystyle x,y}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle |xy|\in D}$ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle D=\{2\}}$จำนวนคู่และจำนวนคี่ที่อยู่ติดกันทุกคู่จะอยู่ติดกัน โดยทั้งหมดรวมกันเป็นสองส่วนที่เชื่อมต่อกันการระบายสีจำนวนเต็มแบบk-ปกติ ด้วยขั้นตอน${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$กำหนดค่าให้กับจำนวนเต็มแต่ละตัว${\displaystyle n}$หนึ่งใน${\displaystyle k}$สีต่างๆ ขึ้นอยู่กับสารตกค้างของ${\displaystyle \lfloor \lambda n\rfloor }$โมดูล${\displaystyle k}$ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle \lambda =0.5}$การระบายสีจะซ้ำกันทุกๆ${\displaystyle 2k}$จำนวนเต็มและจำนวนเต็มแต่ละคู่${\displaystyle 2m,2m+1}$มีสีเดียวกัน การนำ${\displaystyle k=|D|+1}$สมมติฐานเรื่องนักวิ่งผู้โดดเดี่ยวบ่งชี้ว่า${\displaystyle G}$ยอมรับ การระบายสีแบบ k-ปกติที่เหมาะสม (กล่าวคือ แต่ละโหนดมีสีต่างจากโหนดที่อยู่ติดกัน) สำหรับค่าขั้นตอนบางค่า^{[ 9 ]}ตัวอย่างเช่น${\displaystyle (k,\lambda )=(2,0.5)}$สร้างการระบายสีที่เหมาะสมบนกราฟระยะทางที่สร้างขึ้นโดย${\displaystyle D=\{2\}}$(${\displaystyle k}$เป็นที่รู้จักกันในชื่อเลขโครมาติกปกติของ${\displaystyle D}$.)

กำหนดให้เป็นกราฟแบบมีทิศทาง${\displaystyle G}$การไหล ที่ไม่มีที่ใดเป็นศูนย์บน${\displaystyle G}$เชื่อมโยงคุณค่าเชิงบวก${\displaystyle f(e)}$ถึงขอบแต่ละด้าน${\displaystyle e}$โดยที่ปริมาณการไหลออกนอกโหนดแต่ละโหนดเท่ากับปริมาณการไหลเข้า สมมติฐานนักวิ่งโดดเดี่ยวบ่งชี้ว่า ถ้า${\displaystyle G}$มีการไหลเป็นศูนย์ที่จุดใดจุดหนึ่งโดยมีค่าสูงสุด${\displaystyle k}$ค่าจำนวนเต็มที่แตกต่างกัน จากนั้น${\displaystyle G}$มีการไหลที่ไม่เป็นศูนย์ที่ใดเลย โดยมีค่าเฉพาะใน${\displaystyle \{1,2,\ldots ,k\}}$(อาจหลังจากกลับทิศทางของส่วนโค้งบางส่วน)${\displaystyle G}$ผลลัพธ์นี้ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับ${\displaystyle k\geq 5}$ด้วยวิธีการที่แตกต่างกัน และเนื่องจากกรณีเล็ก ๆ ของการคาดการณ์นักวิ่งโดดเดี่ยวได้รับการแก้ไขแล้ว ทฤษฎีบททั้งหมดจึงได้รับการพิสูจน์^{[ 10 ]}

สำหรับการจัดเรียงนักวิ่งที่กำหนดไว้ ให้${\displaystyle \delta }$แสดงถึงระยะทางที่น้อยที่สุดของนักวิ่งที่รู้สึกโดดเดี่ยวสูงสุด และช่องว่างของความโดดเดี่ยว^{[ 11 ]}${\displaystyle \delta _{n}}$แสดงถึงค่าต่ำสุด${\displaystyle \delta }$ในทุกการตั้งค่าด้วย${\displaystyle n}$นักวิ่ง ในสัญลักษณ์นี้ ข้อสันนิษฐานกล่าวว่า${\displaystyle \เดลต้า _{n}\geq 1/n}$ซึ่งเป็นขอบเขตที่หากถูกต้องแล้ว ก็ไม่สามารถปรับปรุงให้ดีขึ้นได้อีก ตัวอย่างเช่น หากนักวิ่งที่กำลังจะอยู่คนเดียวหยุดนิ่งและเร่งความเร็ว${\displaystyle v_{i}=i}$หากเลือกแล้ว ก็จะไม่มีช่วงเวลาใดที่พวกเขาจะมากกว่านั้นอย่างเคร่งครัด${\displaystyle 1/n}$ห่างจากหน่วยอื่นๆ ทั้งหมด แสดงให้เห็นว่า${\displaystyle \delta _{n}\leq 1/n}$^{[ c ]}อีกทางเลือกหนึ่ง ข้อสรุปนี้สามารถอนุมานได้อย่างรวดเร็วจากทฤษฎีบทการประมาณค่าของ Dirichletสำหรับ${\displaystyle n\geq 2}$ขอบล่างแบบง่าย${\displaystyle \delta _{n}\geq 1/(2n-2)}$อาจได้รับผ่านการใช้เหตุผลเชิงความน่าจะเป็น^{[ 12 ]}

ข้อสันนิษฐานนี้สามารถลดทอนลงเหลือเพียงการจำกัดความเร็วของนักวิ่งให้เป็นจำนวนเต็มบวกได้: หากข้อสันนิษฐานนี้เป็นจริงสำหรับ${\displaystyle n}$สำหรับนักวิ่งที่มีความเร็วเป็นจำนวนเต็ม นั่นเป็นความจริง${\displaystyle n}$นักวิ่งที่มีความเร็วที่แท้จริง^{[ 13 ]}

• บทความในวารสาร Open Problem Gardenฉบับที่ 4 หน้า 551–562