ในการวิเคราะห์เชิงซ้อนบทพิสูจน์การประมาณค่าหรือที่รู้จักกันในชื่ออสมการML (ML ย่อมาจาก Max คูณ Length) ให้ขอบเขตบนสำหรับปริพันธ์ตามเส้นโค้งถ้าfเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน บนเส้นโค้งΓและถ้าค่าสัมบูรณ์| f ( z ) |มีค่าจำกัดโดยค่าคงที่MสำหรับทุกzบนΓแล้ว

${\displaystyle \left|\int _{\Gamma }f(z)\,dz\right|\leq M\,l(\Gamma ),}$

โดยที่l (Γ)คือความยาวส่วนโค้งของΓโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราอาจเลือกค่าสูงสุด

${\displaystyle M:=\sup _{z\in \Gamma }|f(z)|}$

เป็นขอบเขตบน โดยสัญชาตญาณแล้วบทพิสูจน์ย่อยนี้เข้าใจง่ายมาก หากมองว่าเส้นโค้งเป็นส่วนย่อยเล็กๆ หลายส่วนที่เชื่อมต่อกัน ก็จะมีค่า| f ( z ) | สูงสุดสำหรับแต่ละส่วนย่อย และในบรรดาค่า | f ( z ) |สูงสุดทั้งหมด สำหรับแต่ละส่วนย่อย จะมีค่าที่ใหญ่ที่สุดโดยรวมอยู่ค่าหนึ่ง ดังนั้น หากนำค่า | f ( z ) | ที่ใหญ่ที่สุด โดยรวมมาบวกกันตลอดทั้งเส้นทางแล้ว ค่าอินทิกรัลของf ( z )ตลอดทั้งเส้นทางจะต้องน้อยกว่าหรือเท่ากับค่า ดังกล่าว

ในทางทฤษฎี สามารถแสดงให้เห็นว่าอสมการนี้เป็นจริงได้โดยใช้คำนิยามของปริพันธ์ตามเส้นโค้งอสมการค่าสัมบูรณ์สำหรับปริพันธ์และสูตรสำหรับความยาวของเส้นโค้งดังนี้:

${\displaystyle \left|\int _{\Gamma }f(z)\,dz\right|=\left|\int _{\alpha }^{\beta }f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\right|\leq \int _{\alpha }^{\beta }\left|f(\gamma (t))\right|\left|\gamma '(t)\right|\,dt\leq M\int _{\alpha }^{\beta }\left|\gamma '(t)\right|\,dt=M\,l(\Gamma )}$

ทฤษฎีบทการประมาณค่ามักใช้เป็นส่วนหนึ่งของวิธีการอินทิเกรตตามเส้นโค้งโดยมีจุดประสงค์เพื่อแสดงว่าอินทิเกรตเหนือส่วนหนึ่งของเส้นโค้งจะมีค่าเข้าใกล้ศูนย์เมื่อ| z |เข้าสู่∞ ตัวอย่างของกรณีดังกล่าวแสดงไว้ด้านล่าง

โจทย์. จงหาขอบเขตบนของ

${\displaystyle \left|\int _{\Gamma }{\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}\,dz\right|,}$

โดยที่Γคือครึ่งวงกลม ด้านบน | z | = aที่มีรัศมีa > 1ซึ่งเคลื่อนที่ผ่านหนึ่งครั้งในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

วิธีแก้ปัญหา ขั้นแรกสังเกตว่าความยาวของเส้นทางการอินทิเกรตคือครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวงของวงกลมที่มีรัศมีaดังนั้น

${\displaystyle l(\Gamma )={\tfrac {1}{2}}(2\pi a)=\pi a.}$

ต่อไปเราจะหาขอบเขตบนMสำหรับตัวอินทิกรัลเมื่อ| z | = aโดยอาศัยอสมการสามเหลี่ยมเราจะเห็นว่า

${\displaystyle |z|^{2}=\left|z^{2}\right|=\left|z^{2}+1-1\right|\leq \left|z^{2}+1\right|+1,}$

ดังนั้น

${\displaystyle \left|z^{2}+1\right|\geq |z|^{2}-1=a^{2}-1>0}$

เนื่องจาก| z | = a > 1บนΓดังนั้น

${\displaystyle \left|{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}\right|\leq {\frac {1}{\left(a^{2}-1\right)^{2}}}.}$

ดังนั้น เราจึงใช้ทฤษฎีบทการประมาณค่าโดยที่M = ⁠1/( a ² − 1) ²ขอบเขตที่ได้คือ

${\displaystyle \left|\int _{\Gamma }{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}\,dz\right|\leq {\frac {\pi a}{\left(a^{2}-1\right)^{2}}}.}$

• ทฤษฎีบทของจอร์แดน