มุมวิเศษ (Magic angle) เป็นมุมที่กำหนดไว้อย่างแม่นยำ โดยมีค่าประมาณ 54.7356° มุมวิเศษเป็นรากของพหุนามเลอจองเดอร์ อันดับสอง P ₂ (cos θ ) = 0ดังนั้นปฏิกิริยาใดๆ ที่ขึ้นอยู่กับพหุนามเลอจองเดอร์อันดับสองนี้จะหายไปที่มุมวิเศษ คุณสมบัตินี้ทำให้มุมวิเศษมีความสำคัญเป็นพิเศษในสเปกโทรสโกปี NMR ของแข็งแบบหมุนมุมวิเศษ (Magic angle spinning solid-state NMR spectroscopy) ในการถ่ายภาพด้วยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (MRI) โครงสร้างที่มีคอลลาเจน เรียงตัวอย่างเป็นระเบียบ เช่นเอ็นและเส้นเอ็นที่วางตัวในมุมวิเศษ อาจปรากฏความเข้มสูงในบางลำดับภาพ ซึ่งเรียกว่าสิ่งแปลกปลอมหรือผลกระทบจากมุมวิเศษ (Magic angle artifact or effect)

โดยใช้ตรีโกณมิติ

การใช้ ผลคูณดอทของเวกเตอร์

การคำนวณมุมวิเศษคู่ในโมเลกุลทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าสมมาตร

มุมวิเศษ θm _คือ

$${\displaystyle \theta _{\mathrm {m} }=\arccos {\frac {1}{\sqrt {3}}}=\arctan {\sqrt {2}}\approx 0.955\,32\ {\text{rad}}\approx 54.7^{\circ }\!,}$$

โดยที่ arccos และ arctan คือฟังก์ชันโคไซน์ผกผันและฟังก์ชันแทนเจนต์ผกผันตามลำดับOEIS :  A195696

θmคือมุมระหว่างเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์กับขอบทั้งสามที่เชื่อมต่อกัน ดู _{ภาพประกอบ}

อีกวิธีหนึ่งในการแทนมุมวิเศษคือ ครึ่งหนึ่งของมุมเปิดที่เกิดขึ้นเมื่อลูกบาศก์หมุนจากแกนทแยงมุมในอวกาศ ซึ่งสามารถแทนได้ด้วยarccos − ⁠1/3หรือ 2 arctan  √ 2เรเดียน ≈ 109.4712° มุมวิเศษคู่ (double magic angle) นี้เกี่ยวข้องโดยตรงกับรูปทรงเรขาคณิตของโมเลกุลแบบทรงสี่หน้าและเป็นมุมระหว่างจุดยอดสองจุดกับจุดศูนย์กลางของทรงสี่หน้า (กล่าวคือ มุมกึ่งกลางขอบ หรือที่เรียกว่ามุมทรงสี่หน้า)

ใน การวิเคราะห์ด้วยสเปกโทรสโก ปีนิวเคลียร์แมกเนติกเรโซแนนซ์ (NMR) ปฏิสัมพันธ์นิวเคลียร์แมกเนติกที่สำคัญสามประการ ได้แก่ การจับคู่แบบได โพลา ร์การเปลี่ยนแปลงทางเคมีที่ ไม่สมมาตร (CSA) และการจับคู่แบบควอดรูโพลาร์อันดับแรกขึ้นอยู่กับทิศทางของเทนเซอร์ปฏิสัมพันธ์กับสนามแม่เหล็กภายนอก

เมื่อหมุนตัวอย่างรอบแกนที่กำหนด ค่าเฉลี่ยของการพึ่งพาเชิงมุมจะเป็นดังนี้:

$${\displaystyle \left\langle 3\cos ^{2}\theta -1\right\rangle =\left(3\cos ^{2}\theta _{\mathrm {r} }-1\right)\left(3\cos ^{2}\beta -1\right)\!,}$$

โดยที่θคือมุมระหว่างแกนหลักของการปฏิสัมพันธ์กับสนามแม่เหล็กθrคือมุมของแกนการหมุนเทียบกับสนามแม่เหล็ก และβคือมุม (ตามอำเภอใจ) ระหว่างแกนการหมุนกับแกนหลักของการ _{ปฏิสัมพันธ์}

สำหรับคู่ควบแบบไดโพลาร์ แกนหลักจะสอดคล้องกับเวกเตอร์ระหว่างนิวเคลียสของสปินที่ควบคู่กัน สำหรับ CSA แกนหลักจะสอดคล้องกับทิศทางที่มีการลดการกำบังมากที่สุด และสำหรับคู่ควบแบบควอดรูโพลาร์ แกนหลักจะสอดคล้องกับ แกน zของเทนเซอร์การไล่ระดับสนามไฟฟ้า

มุมβไม่สามารถปรับเปลี่ยนได้ เนื่องจากขึ้นอยู่กับทิศทางของการปฏิสัมพันธ์เมื่อเทียบกับกรอบโมเลกุล และทิศทางของโมเลกุลเมื่อเทียบกับสนามภายนอก อย่างไรก็ตาม มุมθrสามารถกำหนดได้โดยผู้ทำการทดลอง หากกำหนดให้θr  =  _θm ≈ 54.7° _{ค่า เฉลี่ยของการพึ่งพา เชิงมุม}จะเข้าใกล้ศูนย์ เทคนิคการ หมุนมุมวิเศษ (Magic angle spinning)เป็นเทคนิคใน สเปกโทรสโกปี NMR ของของแข็ง ที่ใช้หลักการนี้เพื่อขจัดหรือลดอิทธิพลของการปฏิสัมพันธ์แบบไม่สมมาตร ซึ่งจะ ช่วยเพิ่มความละเอียดของสเปกตรัม

สำหรับปฏิสัมพันธ์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา เช่น การเชื่อมต่อแบบไดโพลาร์เฮเทอโรนิวเคลียร์, CSA และการเชื่อมต่อแบบควอดรูโพลาร์อันดับแรก ส่วนประกอบแอนไอโซโทรปิกจะลดลงอย่างมากและเกือบจะถูกระงับไปเลยในขีดจำกัดของการหมุนเร็ว กล่าวคือเมื่อความถี่ในการหมุนมากกว่าความกว้างของปฏิสัมพันธ์

การหาค่าเฉลี่ยจะใกล้เคียงศูนย์เฉพาะในการวิเคราะห์ด้วย ทฤษฎีการรบกวนอันดับแรกเท่านั้นส่วนพจน์อันดับสูงกว่าจะทำให้เกิดความถี่ที่อนุญาตซึ่งเป็นผลคูณของความถี่การหมุน ส่งผลให้เกิดแถบข้างการหมุนในสเปกตรัม

ปฏิสัมพันธ์ที่ขึ้นอยู่กับเวลา เช่น การเชื่อมต่อแบบไดโพลาร์ของโฮโมโนเคลียร์นั้น ยากที่จะหาค่าเฉลี่ยให้เท่ากับค่าไอโซโทรปิกโดยใช้การหมุนมุมวิเศษ เนื่องจากเครือข่ายของสปินที่เชื่อมต่อกันอย่างแน่นหนาจะทำให้เกิดการผสมของสถานะสปินในระหว่างการหมุนตัวอย่าง ซึ่งจะรบกวนกระบวนการหาค่าเฉลี่ย

สิ่งแปลกปลอมมุมวิเศษหมายถึงสัญญาณที่เพิ่มขึ้นที่สังเกตได้เมื่อ ใช้ ลำดับ MRIที่มีเวลาสะท้อนสั้น (TE) (เช่น ลำดับT ₁หรือลำดับสปินเอคโคความหนาแน่นโปรตอน) เพื่อสร้างภาพเนื้อเยื่อที่มีเส้นใยคอลลาเจน เรียงตัวอย่างเป็นระเบียบ ในทิศทางเดียว (เช่น เอ็นหรือกระดูกอ่อนไฮยาลินข้อต่อ) ^{[ 1 ]} สิ่งแปลกปลอมนี้เกิดขึ้นเมื่อมุม ที่ เส้นใยดังกล่าวทำกับสนามแม่เหล็กเท่ากับθ _m

ตัวอย่าง: ปรากฏการณ์นี้จะเกิดขึ้นเมื่อประเมิน เอ็นกล้าม เนื้อหมุนรอบหัวไหล่ ผลของมุมวิเศษอาจทำให้ดูเหมือนว่ามีอาการเอ็นอักเสบของกล้ามเนื้อสุปราสปินาตัส

เพื่อให้ได้การรับน้ำหนักที่เหมาะสมในท่อ ยางตรง เส้นใยจะต้องอยู่ในตำแหน่งที่ทำมุมประมาณ 54.7 องศา ซึ่งเรียกอีกอย่างว่ามุมวิเศษ มุมวิเศษ 54.7 องศาจะสมดุลกับความเค้นตามยาวที่เกิดจากแรงดันภายในและความเค้นตามแนวเส้นรอบวงพอดี^{[ 2 ]}