แม่เหล็กส่งแรงและแรงบิดต่อกันผ่านปฏิสัมพันธ์ของสนามแม่เหล็กแรงดึงดูดและแรงผลักเป็นผลมาจากปฏิสัมพันธ์เหล่านี้ สนามแม่เหล็กของแม่เหล็กแต่ละอันเกิดจากกระแสไฟฟ้าขนาดเล็กของอิเล็กตรอน ที่มีประจุไฟฟ้า โคจรรอบนิวเคลียส และความเป็นแม่เหล็กโดยธรรมชาติของอนุภาคพื้นฐาน (เช่น อิเล็กตรอน) ที่ประกอบขึ้นเป็นวัสดุ ทั้งสองอย่างนี้สามารถจำลองได้ค่อนข้างดีในรูปของวงจรไฟฟ้าขนาดเล็กที่เรียกว่าไดโพลแม่เหล็กซึ่งสร้างสนามแม่เหล็กของตัวเองและได้รับผลกระทบจากสนามแม่เหล็กภายนอกแรงพื้นฐานที่สุดระหว่างแม่เหล็กคือปฏิสัมพันธ์ระหว่างไดโพลแม่เหล็กหากทราบไดโพลแม่เหล็กทั้งหมดของแม่เหล็กแต่ละอันแล้ว แรงสุทธิที่กระทำต่อแม่เหล็กทั้งสองสามารถหาได้โดยการรวมปฏิสัมพันธ์ทั้งหมดระหว่างไดโพลของแม่เหล็กอันแรกและไดโพลของแม่เหล็กอันที่สอง

โดยทั่วไปแล้ว การจำลองแรงระหว่างแม่เหล็กสองชิ้นว่าเป็นผลมาจากแรงระหว่างขั้วแม่เหล็กที่มีประจุแม่เหล็กกระจายอยู่ทั่ว จะสะดวกกว่า ประจุแม่เหล็กบวกและลบจะเชื่อมต่อกันด้วยสายของวัสดุแม่เหล็กเสมอ ประจุแม่เหล็กที่แยกตัวอยู่โดดเดี่ยวไม่มีอยู่จริง แบบจำลองนี้ใช้ได้ดีในการทำนายแรงระหว่างแม่เหล็กอย่างง่าย ในกรณีที่มีแบบจำลองที่ดีเกี่ยวกับการกระจายตัวของประจุแม่เหล็กอยู่แล้ว

สนามแม่เหล็กของแม่เหล็กหนึ่งตัวนั้นเป็นผลรวมของสนามจาก องค์ประกอบปริมาตรที่ เป็นแม่เหล็ก ทั้งหมด ซึ่งประกอบด้วยไดโพลแม่เหล็ก ขนาดเล็กในระดับอะตอม การรวมสนามไดโพลทั้งหมดเหล่านั้นโดยตรงต้อง ใช้การอินทิเกรตสามมิติเพื่อให้ได้สนามของแม่เหล็กหนึ่งตัว ซึ่งอาจมีความซับซ้อน

สำหรับการทำให้เป็นแม่เหล็กแบบเอกรูป ปัญหาดังกล่าวสามารถลดความซับซ้อนได้สองวิธี โดยใช้ทฤษฎีบทของสโตกส์เมื่อทำการอินทิเกรตตามทิศทางของการทำให้เป็นแม่เหล็ก ไดโพลทั้งหมดตามแนวเส้นของการอินทิเกรตจะหักล้างกัน ยกเว้นที่พื้นผิวปลายของแม่เหล็ก สนามแม่เหล็กจึงเกิดขึ้นจากประจุแม่เหล็ก (ทางคณิตศาสตร์) ที่กระจายอยู่บนพื้นผิวปลายของแม่เหล็กเท่านั้น ในทางตรงกันข้าม เมื่อทำการอินทิเกรตเหนือพื้นที่ที่ถูกทำให้เป็นแม่เหล็กซึ่งตั้งฉากกับทิศทางของการทำให้เป็นแม่เหล็ก ไดโพลภายในพื้นที่นี้จะหักล้างกันยกเว้นที่พื้นผิวด้านนอกของแม่เหล็ก ซึ่ง (ทางคณิตศาสตร์) จะรวมกันเป็นกระแสวงแหวน นี่เรียกว่าแบบจำลองลูปแอมแปร์ ในทั้งสองแบบจำลองนี้ จะต้องพิจารณาเฉพาะการกระจายแบบสองมิติบนพื้นผิวของแม่เหล็ก ซึ่งง่ายกว่าปัญหาแบบสามมิติเดิม

แบบจำลองขั้วแม่เหล็ก : ในแบบจำลองขั้วแม่เหล็ก พื้นผิวขั้วของแม่เหล็กถาวรถูกจินตนาการว่าปกคลุมด้วยสิ่งที่เรียกว่าประจุแม่เหล็กอนุภาคขั้วเหนืออยู่บนขั้วเหนือและอนุภาคขั้วใต้อยู่บนขั้วใต้ ซึ่งเป็นแหล่งกำเนิดของเส้นสนามแม่เหล็ก สนามที่เกิดจากประจุแม่เหล็กได้มาจากการใช้กฎของคูลอมบ์โดยใช้ประจุแม่เหล็กแทนประจุไฟฟ้า หากทราบการกระจายตัวของขั้วแม่เหล็ก แบบจำลองขั้วแม่เหล็กจะให้การกระจายตัวที่แน่นอนของความเข้มสนามแม่เหล็กHทั้งภายในและภายนอกแม่เหล็ก การกระจายตัว ของประจุบนพื้นผิวจะสม่ำเสมอ หากแม่เหล็กถูกทำให้เป็นแม่เหล็กอย่างสม่ำเสมอและมีพื้นผิวเรียบที่ปลาย (เช่น ทรงกระบอกหรือปริซึม)

แบบจำลองวงจรแอมแปร์เรียน : ใน แบบจำลองวงจร แอมแปร์เรียนการเกิดสนามแม่เหล็กทั้งหมดเกิดจากผลของกระแสผูกพัน แบบวงกลมระดับจุลภาคหรือระดับอะตอม ซึ่งเรียกว่ากระแสแอมแปร์เรียนตลอดทั้งวัสดุ ผลสุทธิของกระแสผูกพันระดับจุลภาคเหล่านี้ทำให้แม่เหล็กมีพฤติกรรมราวกับว่ามีกระแสไฟฟ้า ขนาดใหญ่ ไหลเป็นวงจรในแม่เหล็ก โดยมีสนามแม่เหล็กตั้งฉากกับวงจร สนามที่เกิดจากกระแสเหล่านี้ได้มาจากการใช้กฎของบิโอต์-ซาวาร์แบบจำลองวงจรแอมแปร์เรียนให้ค่าความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็กB ที่ถูกต้อง ทั้งภายในและภายนอกแม่เหล็ก บางครั้งการคำนวณกระแสแอมแปร์เรียนบนพื้นผิวของแม่เหล็กอาจทำได้ยาก

เมื่ออยู่ห่างจากแม่เหล็กมาก สนามแม่เหล็กของมันมักจะถูกอธิบาย (โดยประมาณ) ด้วยสนามไดโพลซึ่งมีลักษณะเฉพาะด้วยโมเมนต์ไดโพลแม่เหล็กทั้งหมดm โดยไม่ขึ้นอยู่กับรูปร่างของแม่เหล็ก ตราบใดที่โมเมนต์แม่เหล็กไม่เป็นศูนย์ คุณลักษณะอย่างหนึ่งของสนามไดโพลคือ ความแรงของสนามจะลดลงแปรผกผันกับกำลังสามของระยะห่างจากศูนย์กลางของแม่เหล็ก

ดังนั้น โมเมนต์แม่เหล็กของแม่เหล็กจึงเป็นการวัดความแรงและทิศทางของมันวงจรไฟฟ้าแท่งแม่เหล็กอิเล็กตรอนโมเลกุลและดาวเคราะห์ล้วน มีโมเมนต์แม่เหล็ก กล่าวโดยละเอียดแล้ว คำว่าโมเมนต์แม่เหล็ก โดยปกติหมายถึง โมเมนต์ไดโพลแม่เหล็กของระบบซึ่งสร้างพจน์แรกในการขยายแบบมัลติโพล^{[หมายเหตุ 1 ]}ของสนามแม่เหล็กทั่วไป

ทั้งแรงบิดและแรงที่กระทำต่อแม่เหล็กโดยสนามแม่เหล็กภายนอกนั้นเป็นสัดส่วนกับโมเมนต์แม่เหล็กของแม่เหล็กนั้น โมเมนต์แม่เหล็กเป็นเวกเตอร์คือมีทั้งขนาดและทิศทาง ทิศทางของโมเมนต์แม่เหล็กชี้จากขั้วใต้ไปยังขั้วเหนือของแม่เหล็ก (ภายในแม่เหล็ก) ตัวอย่างเช่น ทิศทางของโมเมนต์แม่เหล็กของแม่เหล็กแท่ง เช่น แม่เหล็กในเข็มทิศคือทิศทางที่ขั้วเหนือชี้ไป

ในแบบจำลองวงจรแอมแปร์ที่ถูกต้องตามหลักฟิสิกส์ โมเมนต์ไดโพลแม่เหล็กเกิดจากวงจรไฟฟ้าที่มีกระแสไฟฟ้าขนาดเล็กมาก สำหรับวงจรไฟฟ้าที่มีกระแสไฟฟ้าIและพื้นที่A ขนาดเล็กเพียงพอ โมเมนต์ไดโพลแม่เหล็กจะเป็นดังนี้: โดยทิศทางของmตั้งฉากกับพื้นที่ในทิศทางที่กำหนดโดยใช้กระแสไฟฟ้าและกฎมือขวาดังนั้น หน่วย SIของโมเมนต์ไดโพลแม่เหล็กจึงเป็นแอมแปร์  เมตร^² กล่าว ให้แม่นยำยิ่งขึ้น เพื่อให้สอดคล้องกับโซลินอยด์ที่มีจำนวนรอบมาก หน่วยของโมเมนต์ไดโพลแม่เหล็กจึงเป็นแอมแปร์ -เทิร์น  เมตร^²$${\displaystyle \mathbf {m} =I\mathbf {A} ,}$$

ในแบบจำลองขั้วแม่เหล็ก โมเมนต์ไดโพลแม่เหล็กเกิดจากประจุแม่เหล็กสองตัวที่มีขนาดเท่ากันและทิศทางตรงข้ามกัน โดยอยู่ห่างกันเป็นระยะdในแบบจำลองนี้mมีลักษณะคล้ายกับโมเมนต์ไดโพลไฟฟ้าpที่เกิดจากประจุไฟฟ้า โดยที่q _mคือ 'ประจุแม่เหล็ก' ทิศทางของโมเมนต์ไดโพลแม่เหล็กจะชี้จากขั้วใต้ที่เป็นลบไปยังขั้วเหนือที่เป็นบวกของแม่เหล็กขนาดเล็กนี้ $${\displaystyle m=q_{\mathrm {m} }d,}$$

แม่เหล็กจะถูกดึงดูดไปตามทิศทางของสนามแม่เหล็ก ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือการดึงดูดกันของขั้วตรงข้ามของแม่เหล็กสองชิ้น แม่เหล็กทุกชิ้นสร้างสนามแม่เหล็กที่แรงกว่าบริเวณขั้ว ถ้าขั้วตรงข้ามของแม่เหล็กสองชิ้นหันหน้าเข้าหากัน แม่เหล็กแต่ละชิ้นจะถูกดึงดูดเข้าไปในสนามแม่เหล็กที่แรงกว่าบริเวณขั้วของอีกชิ้นหนึ่ง แต่ถ้าขั้วเหมือนกันหันหน้าเข้าหากัน พวกมันจะถูกผลักออกจากกันด้วยสนามแม่เหล็กที่แรงกว่า

แบบจำลองขั้วแม่เหล็กทำนายรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่ถูกต้องสำหรับแรงนี้ และเข้าใจได้ง่ายกว่าในเชิงคุณภาพ เพราะถ้าแม่เหล็กวางอยู่ในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอ ขั้วทั้งสองจะรู้สึกถึงแรงแม่เหล็กเดียวกันแต่ในทิศทางตรงกันข้าม เนื่องจากมีประจุแม่เหล็กตรงข้ามกัน แต่เมื่อแม่เหล็กวางอยู่ในสนามที่ไม่สม่ำเสมอ เช่น สนามแม่เหล็กจากแม่เหล็กอีกอัน ขั้วที่ได้รับสนามแม่เหล็กขนาดใหญ่จะได้รับแรงขนาดใหญ่ และจะมีแรงลัพธ์กระทำต่อแม่เหล็กนั้น ถ้าแม่เหล็กวางตัวในแนวเดียวกับสนามแม่เหล็ก เช่น แม่เหล็กสองอันที่วางในทิศทางเดียวกันใกล้ขั้ว มันจะถูกดึงดูดเข้าไปในสนามแม่เหล็กขนาดใหญ่กว่า แต่ถ้าวางตัวในทิศทางตรงกันข้าม เช่น แม่เหล็กสองอันที่มีขั้วเหมือนกันหันหน้าเข้าหากัน แม่เหล็กจะถูกผลักออกจากบริเวณที่มีสนามแม่เหล็กสูงกว่า

ในแบบจำลองวงจรแอมแปร์เรียน ยังมีแรงกระทำต่อไดโพลแม่เหล็กเนื่องจากสนามแม่เหล็กที่ไม่สม่ำเสมอ แต่แรงนี้เกิดจากแรงลอเรนซ์ที่กระทำต่อวงจรไฟฟ้าที่ประกอบเป็นไดโพลแม่เหล็ก แรงที่ได้ในกรณีของแบบจำลองวงจรไฟฟ้าคือ โดยที่เกรเดียนต์∇คือการเปลี่ยนแปลงของปริมาณm · Bต่อหน่วยระยะทาง และทิศทางคือทิศทางการเพิ่มขึ้นสูงสุดของm · Bเพื่อให้เข้าใจสมการนี้ โปรดสังเกตว่าผลคูณดอทm · B = mB cos( θ )โดยที่mและBแทนขนาดของ เวกเตอร์ mและBและθคือมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง ถ้าmอยู่ในทิศทางเดียวกับBผลคูณดอทจะเป็นบวก และเกรเดียนต์จะชี้ 'ขึ้นเนิน' ดึงแม่เหล็กไปยังบริเวณที่มีสนาม B สูงกว่า (หรือพูดให้เคร่งครัดกว่าคือm  ·  B มากขึ้น ) B แทนความแรงและทิศทางของสนามแม่เหล็ก สมการนี้ใช้ได้เฉพาะกับแม่เหล็กที่มีขนาดเป็นศูนย์เท่านั้น แต่โดยทั่วไปแล้วมักเป็นค่าประมาณที่ดีสำหรับแม่เหล็กที่มีขนาดไม่ใหญ่มาก แรงแม่เหล็กที่กระทำต่อแม่เหล็กขนาดใหญ่จะถูกกำหนดโดยการแบ่งแม่เหล็กเหล่านั้นออกเป็นบริเวณเล็กๆ ที่มีค่า m ของตัวเอง จาก นั้นจึงรวมแรงที่กระทำต่อแต่ละบริเวณเหล่านั้นเข้าด้วยกัน $${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \left(\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} \right),}$$

แบบจำลองขั้วแม่เหล็กนั้นตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ว่าแรงแม่เหล็กระหว่างแม่เหล็กเกิดจากประจุแม่เหล็กที่อยู่ใกล้ขั้ว แบบจำลองนี้ใช้ได้ผลแม้กระทั่งในบริเวณใกล้กับแม่เหล็กเมื่อสนามแม่เหล็กมีความซับซ้อนมากขึ้น และขึ้นอยู่กับรูปร่างและสภาพแม่เหล็กโดยละเอียดมากกว่าแค่ส่วนประกอบของไดโพลแม่เหล็ก ในทางทฤษฎี สนามสามารถแสดงได้ในรูปของการขยายแบบหลายขั้วเช่น สนามไดโพล บวกกับสนามควอดรูโพลบวกกับสนามออกโตโพล เป็นต้น ในแบบจำลองวงจรแอมแปร์ แต่การทำเช่นนี้อาจยุ่งยากทางคณิตศาสตร์มาก

การคำนวณแรงดึงดูดหรือแรงผลักระหว่างแม่เหล็กสองชิ้นนั้น โดยทั่วไปแล้วเป็นกระบวนการที่ซับซ้อนมาก เนื่องจากขึ้นอยู่กับรูปร่าง การทำให้เป็นแม่เหล็ก การวางแนว และระยะห่างของแม่เหล็ก แบบจำลองขั้วแม่เหล็กนั้นต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับวิธีการกระจาย "ประจุแม่เหล็ก" บนขั้วแม่เหล็ก และถึงกระนั้นก็มีประโยชน์อย่างแท้จริงเฉพาะกับโครงสร้างที่เรียบง่ายเท่านั้น โชคดีที่ข้อจำกัดนี้ครอบคลุมกรณีที่มีประโยชน์หลายกรณี

ถ้าขั้วทั้งสองมีขนาดเล็กพอที่จะแสดงเป็นจุดเดียวได้ ก็สามารถถือได้ว่าเป็นประจุแม่เหล็กแบบจุดในทางคลาสสิกแรงระหว่างขั้วแม่เหล็กสองขั้วจะกำหนดโดย: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle F={{\mu q_{m1}q_{m2}} \over {4\pi r^{2}}}}$$ ที่ไหน

• Fคือ แรง (หน่วย SI: นิวตัน )
• q _{m 1}และq _{m 2}คือขนาดของประจุแม่เหล็กบนขั้วแม่เหล็ก (หน่วย SI: แอมแปร์ - เมตร )
• μคือค่าสภาพซึมผ่านของตัวกลางที่อยู่ระหว่างกลาง (หน่วย SI: เทสลาเมตรต่อแอมแปร์ , เฮนรีต่อเมตร หรือ นิวตันต่อแอมแปร์กำลังสอง)
• rคือระยะห่าง (หน่วย SI: เมตร)

คำอธิบายเกี่ยวกับขั้วแม่เหล็กนั้นมีประโยชน์สำหรับนักแม่เหล็กที่ออกแบบแม่เหล็กในโลกแห่งความเป็นจริง แต่แม่เหล็กจริงมีการกระจายขั้วที่ซับซ้อนกว่าแค่ขั้วเหนือและขั้วใต้เพียงขั้วเดียว ดังนั้น การนำแนวคิดเรื่องขั้วแม่เหล็กไปใช้จึงไม่ใช่เรื่องง่าย ในบางกรณี สูตรที่ซับซ้อนกว่าที่ระบุไว้ด้านล่างอาจมีประโยชน์มากกว่า

แรงทางกลระหว่างพื้นผิวแม่เหล็กสองพื้นผิวที่อยู่ใกล้กันสามารถคำนวณได้ด้วยสมการต่อไปนี้ สมการนี้ใช้ได้เฉพาะในกรณีที่ผลของขอบสนามแม่เหล็กมีน้อยมาก และปริมาตรของช่องว่างอากาศมีขนาดเล็กกว่าปริมาตรของวัสดุแม่เหล็กมาก แรงสำหรับแต่ละพื้นผิวแม่เหล็กคือ: ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} โดยที่: $${\displaystyle F={\frac {\mu _{0}H^{2}A}{2}}={\frac {B^{2}A}{2\mu _{0}}}}$$

• Aคือพื้นที่ของแต่ละด้าน หน่วยเป็นตาราง^เมตร
• Hคือสนามแม่เหล็ก ของพวกมัน มีหน่วยเป็น A/m
• μ ₀คือค่าสภาพซึมผ่านของอวกาศซึ่งเท่ากับ 4π×10 ⁻⁷  T·m/A
• Bคือความหนาแน่นของฟลักซ์ในหน่วย T

การได้มาซึ่งสมการนี้คล้ายคลึงกับแรงระหว่างพื้นผิวที่มีประจุไฟฟ้าสองพื้นผิวที่อยู่ใกล้กัน^{[ 5 ]}ซึ่งถือว่าสนามระหว่างแผ่นนั้นสม่ำเสมอ

แรงระหว่างแม่เหล็กแท่งทรงกระบอกสองแท่งที่เหมือนกันซึ่งวางต่อกันที่ระยะห่างมากโดยประมาณคือ: ^{[ 2 ]} โดยที่ ${\displaystyle x\gg R}$$${\displaystyle F\simeq \left[{\frac {B_{0}^{2}A^{2}\left(L^{2}+R^{2}\right)}{\pi \mu _{0}L^{2}}}\right]\left[{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{(x+2L)^{2}}}-{\frac {2}{(x+L)^{2}}}\right]}$$

• B ₀คือความหนาแน่นของฟลักซ์ที่อยู่ใกล้ขั้วแต่ละขั้วมาก ในหน่วย T
• Aคือพื้นที่ของเสาแต่ละต้น ใน^{หน่วย} ตาราง เมตร
• Lคือความยาวของแม่เหล็กแต่ละอัน หน่วยเป็นเมตร
• Rคือรัศมีของแม่เหล็กแต่ละอัน มีหน่วยเป็นเมตร และ
• xคือระยะห่างระหว่างแม่เหล็กทั้งสอง ในหน่วยเมตร

$${\displaystyle B_{0}={\frac {\mu _{0}}{2}}M}$$เชื่อมโยงความหนาแน่นของฟลักซ์ที่ขั้วกับค่าการแม่เหล็กของแม่เหล็ก

โปรดทราบว่าสูตรเหล่านี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าประจุแม่เหล็กมีการกระจายตัวแบบจุด แทนที่จะเป็นการกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอทั่วพื้นผิวด้านปลาย ซึ่งเป็นการประมาณที่ดีเฉพาะในระยะทางที่ค่อนข้างไกลเท่านั้น สำหรับระยะทางปานกลางจำเป็นต้องใช้ วิธีการเชิงตัวเลข

สำหรับแม่เหล็กทรงกระบอกสองอันที่มีรัศมีเท่ากันและความยาวเท่ากันและเมื่อกำหนดช่องว่างด้านข้างขนาดใหญ่ระหว่างกัน ในขีดจำกัดแรงสามารถประมาณได้โดย^{[ 6 ]}${\displaystyle R}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle x\gg R}$

${\displaystyle F(x,r)\simeq {\frac {\pi K_{d}}{2}}R^{4}\sum _{i,j=0}^{1}{\left({\frac {(-1)^{i+j}}{(x+iL_{1}+jL_{2})^{2}}}\left(1-{\frac {3}{2}}{\frac {r^{2}}{(x+iL_{1}+jL_{2})^{2}}}\right)\right)}}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle R}$คือรัศมีของแม่เหล็กทั้งสองอัน โดยสมมติว่ารัศมีเท่ากัน
• ${\displaystyle L_{1}}$คือความยาวของแม่เหล็กตัวแรก
• ${\displaystyle L_{2}}$คือความยาวของแม่เหล็กตัวที่สอง
• ${\displaystyle K_{d}}$คือค่าผลคูณพลังงานสูงสุดในหน่วย J/m³ ⁽จูลต่อลูกบาศก์เมตร)
• ${\displaystyle x}$คือระยะห่างปกติระหว่างหน้าคู่ขนานทั้งสองของแม่เหล็ก
• ${\displaystyle r}$คือระยะห่างระหว่างแกนไดโพลแม่เหล็กของแม่เหล็กทั้งสองชิ้น

เมื่อไดโพลแม่เหล็กเรียงตัวกัน แรงสามารถคำนวณได้โดยใช้การวิเคราะห์เชิงอินทิกรัลวงรี^{[ 7 ]}

$${\displaystyle F(x)\simeq {\frac {\pi K_{d}}{2}}R^{4}\left[{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{(x+2L)^{2}}}-{\frac {2}{(x+L)^{2}}}\right]}$$

สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

$${\displaystyle F(x)\simeq {\frac {\pi \mu _{0}}{4}}M^{2}R^{4}\left[{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{(x+2L)^{2}}}-{\frac {2}{(x+L)^{2}}}\right]}$$

โดยที่ค่าความแรงแม่เหล็กของแม่เหล็กและระยะห่างระหว่างแม่เหล็กคือค่าใด สำหรับค่า ที่มีขนาดเล็กผลลัพธ์จะผิดพลาด เนื่องจากแรงจะมีค่ามากเมื่อระยะห่างใกล้ศูนย์ ${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

ถ้าแม่เหล็กยาว ( ) การวัดความหนาแน่นของฟลักซ์แม่เหล็กที่อยู่ใกล้แม่เหล็กมากจะมีความสัมพันธ์โดยประมาณกับสูตร ${\displaystyle L\gg R}$${\displaystyle B_{0}}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle B_{0}={\frac {\mu _{0}}{2}}ม.}$$

โมเมนต์ไดโพลแม่เหล็กที่มีประสิทธิภาพสามารถเขียนได้เป็น โดย ที่คือปริมาตรของแม่เหล็ก สำหรับทรงกระบอก ค่านี้คือและคือสนามแม่เหล็กของไดโพล $${\displaystyle m=MV}$$${\displaystyle V}$${\displaystyle V=\pi R^{2}L}$${\displaystyle M}$

เมื่อได้ค่าประมาณไดโพลจุดแล้ว ${\displaystyle L\ll x}$$${\displaystyle F(x)={\frac {3\pi \mu _{0}}{2}}M^{2}R^{4}L^{2}{\frac {1}{x^{4}}}={\frac {3\mu _{0}}{2\pi }}M^{2}V^{2}{\frac {1}{x^{4}}}={\frac {3\mu _{0}}{2\pi }}m_{1}m_{2}{\frac {1}{x^{4}}}}$$

ซึ่งตรงกับการแสดงออกของแรงระหว่างไดโพลแม่เหล็กสองตัว

นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส อองเดร มารี อัมแปร์ ค้นพบว่าสนามแม่เหล็กที่เกิดจากแม่เหล็กถาวรและสนามแม่เหล็กที่เกิดจากแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นสนามแม่เหล็กชนิดเดียวกัน ด้วยเหตุนี้ ความแรงของแม่เหล็กถาวรจึงสามารถแสดงได้ในหน่วยเดียวกับความแรงของแม่เหล็ก ไฟฟ้า

ความแรงของสนามแม่เหล็กของแม่เหล็กไฟฟ้าซึ่งเป็นลวดวงแบนที่มีกระแสไฟฟ้าไหลผ่านนั้น เมื่อวัดที่ระยะห่างมากเมื่อเทียบกับขนาดของวงลวด จะแปรผันตรงกับกระแสไฟฟ้าและแปรผันตรงกับพื้นที่ผิวของวงลวดนั้น

เพื่อให้สามารถแสดงความแรงของแม่เหล็กถาวรในแง่เดียวกับแม่เหล็กไฟฟ้าได้ จึงคิดว่าแม่เหล็กถาวรมีวงจรไฟฟ้าขนาดเล็กกระจายอยู่ทั่วปริมาตร และความแรงของแม่เหล็กนั้นจะแปรผันตรงกับกระแสไฟฟ้าในแต่ละวงจร (หน่วยเป็นแอมแปร์) แปรผันตรงกับพื้นที่ผิวของแต่ละวงจร (หน่วยเป็นตารางเมตร) และแปรผันตรงกับความหนาแน่นของวงจรไฟฟ้าในวัสดุ (หน่วยเป็นหน่วยต่อลูกบาศก์เมตร) ดังนั้น มิติของความแรงของแม่เหล็กถาวรจึงเป็นแอมแปร์คูณตารางเมตรต่อลูกบาศก์เมตร หรือแอมแปร์ต่อเมตร

นั่นคือเหตุผลที่แอมแปร์ต่อเมตรเป็นหน่วยที่ถูกต้องของสนามแม่เหล็ก แม้ว่าวงจรไฟฟ้ากระแสเล็ก ๆ เหล่านั้นจะไม่ได้ปรากฏอยู่จริงในแม่เหล็กถาวรก็ตาม

ความถูกต้องของแบบจำลองของแอมแปร์หมายความว่าเราสามารถคิดถึงวัสดุแม่เหล็กได้ราวกับว่ามันประกอบด้วยวงจรไฟฟ้า และผลรวมทั้งหมดคือผลรวมของผลของแต่ละวงจรไฟฟ้า ดังนั้นผลแม่เหล็กของแม่เหล็กจริงจึงสามารถคำนวณได้ว่าเป็นผลรวมของผลแม่เหล็กของชิ้นส่วนเล็กๆ ของวัสดุแม่เหล็กที่อยู่ห่างกันเป็นระยะทางมากเมื่อเทียบกับขนาดของแต่ละชิ้นส่วน

วิธีนี้มีประโยชน์มากสำหรับการคำนวณสนามแรงแม่เหล็กของแม่เหล็กจริง มันเกี่ยวข้องกับการรวมแรงเล็กๆ จำนวนมาก และคุณไม่ควรทำด้วยมือ แต่ควรให้คอมพิวเตอร์ทำแทน สิ่งที่โปรแกรมคอมพิวเตอร์ต้องการทราบก็คือแรงระหว่างแม่เหล็กขนาดเล็กที่อยู่ห่างกันมาก

ในการคำนวณดังกล่าว มักจะสันนิษฐานว่าชิ้นส่วนแม่เหล็กขนาดเล็กแต่ละชิ้น (ขนาดเท่ากัน) มีพลังแม่เหล็กเท่ากัน แต่ความจริงแล้วไม่เป็นเช่นนั้นเสมอไป แม่เหล็กที่วางอยู่ใกล้กับแม่เหล็กอีกชิ้นหนึ่งสามารถเปลี่ยนแปลงพลังแม่เหล็กของแม่เหล็กชิ้นนั้นได้ สำหรับแม่เหล็กถาวร การเปลี่ยนแปลงมักจะเล็กน้อย แต่ถ้าคุณมีแม่เหล็กไฟฟ้าที่ประกอบด้วยลวดพันรอบแกนเหล็ก และคุณนำแม่เหล็กถาวรมาใกล้กับแกนนั้น พลังแม่เหล็กของแกนนั้นอาจเปลี่ยนแปลงอย่างมาก (ตัวอย่างเช่น ถ้าไม่มีกระแสไฟฟ้าไหลผ่านลวด แม่เหล็กไฟฟ้าจะไม่เป็นแม่เหล็ก แต่เมื่อนำแม่เหล็กถาวรมาใกล้ แกนของแม่เหล็กไฟฟ้าก็จะกลายเป็นแม่เหล็ก)

ดังนั้นแบบจำลองแอมแปร์จึงเหมาะสมสำหรับการคำนวณสนามแรงแม่เหล็กของแม่เหล็กถาวร แต่สำหรับแม่เหล็กไฟฟ้า การใช้แนวทางวงจรแม่เหล็กอาจจะเหมาะสมกว่า

หากแม่เหล็กสองอันขึ้นไปมีขนาดเล็กพอหรืออยู่ห่างกันมากพอจนรูปร่างและขนาดไม่สำคัญ แม่เหล็กทั้งสองสามารถจำลองได้ว่าเป็นไดโพลแม่เหล็กที่มีโมเมนต์แม่เหล็กm ₁และm ₂ในกรณีของแม่เหล็กทรงกลมที่มีการเหนี่ยวนำแม่เหล็กอย่างสม่ำเสมอ แบบจำลองนี้มีความแม่นยำแม้ในขนาดและระยะห่างที่จำกัด เนื่องจากสนามภายนอกของแม่เหล็กดังกล่าวเป็นสนามไดโพลอย่างแท้จริง^{[ 8 ]}

สนามแม่เหล็กของไดโพลแม่เหล็กในรูปแบบเวกเตอร์คือ: โดยที่ $${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {m} ,\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left(3(\mathbf {m} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {m} \right)+{\frac {2\mu _{0}}{3}}\mathbf {m} \delta ^{3}(\mathbf {r} )}$$

• Bคือสนาม
• rคือเวกเตอร์จากตำแหน่งของไดโพลไปยังตำแหน่งที่กำลังวัดสนาม
• rคือค่าสัมบูรณ์ของr : ระยะห่างจากไดโพล
• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /r}$คือเวกเตอร์หน่วยที่ขนานกับr ;
• mคือโมเมนต์ไดโพล (เวกเตอร์)
• μ ₀คือค่าสภาพซึมผ่านของสุญญากาศ
• δ ³ คือ ฟังก์ชันเดลต้าสามมิติ^{[หมายเหตุ 2 ]}

นี่คือสนามของไดโพลจุดอย่างแท้จริงซึ่งตรงกับพจน์ไดโพลในการขยายมัลติโพลของสนามใดๆ และ เป็น สนาม โดยประมาณ ของโครงสร้างคล้ายไดโพลใดๆ ที่ระยะทางไกลๆ

ถ้าระบบพิกัดถูกเลื่อนเพื่อให้มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่m ₁และหมุนเพื่อให้แกน x ชี้ไปในทิศทางของm ₁แล้วสมการก่อนหน้านี้จะลดรูปเหลือ^{[ 9 ]} โดยที่ตัวแปรrและθถูกวัดในกรอบอ้างอิงที่มีจุดกำเนิดอยู่ที่m ₁และวางแนวเพื่อให้m ₁อยู่ที่จุดกำเนิดและชี้ไปในทิศทาง x กรอบนี้เรียกว่าพิกัดท้องถิ่นและแสดงในรูปทางด้านขวา $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{x}(\mathbf {r} )&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}m_{1}\left({\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{r^{3}}}\right)\\B_{y}(\mathbf {r} )&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}m_{1}\left({\frac {3\cos \theta \sin \theta }{r^{3}}}\right),\end{aligned}}}$$

แรงที่ไดโพลแม่เหล็กหนึ่งกระทำต่ออีกไดโพลหนึ่งนั้น หาได้โดยใช้สนามแม่เหล็กของไดโพลแรกที่ให้ไว้ข้างต้น และหาแรงเนื่องจากสนามแม่เหล็กที่กระทำต่อไดโพลที่สองโดยใช้สมการแรงที่ให้ไว้ข้างต้น โดยใช้สัญลักษณ์เวกเตอร์ แรงที่ไดโพลแม่เหล็กm ₁กระทำต่อไดโพลแม่เหล็กm ₂คือ: โดยที่rคือเวกเตอร์ระยะทางจากโมเมนต์ไดโพลm ₁ไปยังโมเมนต์ไดโพลm ₂โดยที่r = ‖ r ‖แรงที่กระทำต่อm ₁จะมีทิศทางตรงกันข้าม ตัวอย่างเช่น แรงแม่เหล็กสำหรับแม่เหล็กสองอันที่ชี้ไปในทิศทาง z และวางตัวอยู่บนแกน z โดยมีระยะห่าง z คือ: $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})={\frac {3\mu _{0}}{4\pi r^{5}}}\left[(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{2}+(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{1}+(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {r} -{\frac {5(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\คณิตศาสตร์ {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )}{r^{2}}}\mathbf {r} \right]}$$

${\displaystyle \mathbf {F} (z,m_{1},m_{2})=-{\frac {3\mu _{0}m_{1}m_{2}}{2\pi z^{4}}}}$ทิศทาง z

สูตรสุดท้ายแสดงไว้ถัดไป โดยแสดงอยู่ในระบบพิกัดสากล $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}(\mathbf {r} ,\alpha ,\beta )&=-{\frac {3\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {m_{2}m_{1}}{r^{4}}}\left[2\cos(\phi -\alpha )\cos(\phi -\beta )-\sin(\phi -\alpha )\sin(\phi -\beta )\right]\\F_{\phi }(\mathbf {r} ,\alpha ,\beta )&=-{\frac {3\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {m_{2}m_{1}}{r^{4}}}\sin(2\phi -\alpha -\beta )\end{aligned}}}$$

• มอเตอร์แม่เหล็ก