ในทางสถิติ ค่าของMallows [ ^{1 ] [ 2 ]}ซึ่งตั้งชื่อตามColin Lingwood Mallowsใช้ในการประเมินความเหมาะสมของแบบจำลองการถดถอย ที่ประมาณค่า โดยใช้กำลังสองน้อยที่สุดแบบธรรมดาโดยจะนำไปใช้ในบริบทของ^การเลือกแบบจำลอง ซึ่งมี ตัวแปรทำนายจำนวนหนึ่งสำหรับทำนายผลลัพธ์บางอย่าง และเป้าหมายคือการหาแบบจำลองที่ดีที่สุดโดยใช้ตัวแปรทำนายย่อยบางส่วน ค่าที่น้อยหมายความว่าแบบจำลองมีความแม่นยำค่อนข้างสูง ${\textstyle {\boldสัญลักษณ์ {C_{p}}}}$${\textstyle C_{p}}$

เกณฑ์ของ Mallows นั้น 'เทียบเท่าโดยพื้นฐาน' ^{[ 3 ]}กับเกณฑ์ข้อมูลของ Akaikeในกรณีของการถดถอยเชิงเส้น ความเท่าเทียมกันนี้เป็นเพียงเชิงอะซิมโทติกเท่านั้นAkaike ^{[ 4 ]}ตั้งข้อสังเกตว่าต้องอาศัยการตัดสินใจเชิงอัตวิสัยในการเลือกค่าประมาณความแปรปรวนที่เกี่ยวข้องกับการตอบสนองแต่ละรายการในแบบจำลองเชิงเส้น (โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์) ${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}$

งาน ของ Mallows กล่าวถึงปัญหาการโอเวอร์ฟิตติ้ง (overfitting ) ซึ่งสถิติการเลือกแบบจำลอง เช่น ผลรวมกำลังสองของค่าคลาดเคลื่อน (residual sum of squares) จะมีค่าน้อยลงเสมอเมื่อเพิ่มตัวแปรเข้าไปในแบบจำลองมากขึ้น ดังนั้น หากเราต้องการเลือกแบบจำลองที่ให้ผลรวมกำลังสองของค่าคลาดเคลื่อนน้อยที่สุด แบบจำลองที่รวมตัวแปรทั้งหมดก็จะถูกเลือกเสมอ แต่สถิติที่คำนวณจากข้อมูลตัวอย่าง จะประมาณค่าผล รวมกำลังสองของข้อผิดพลาดในการทำนาย (SSPE) เป็นเป้าหมาย ของ ประชากร${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle C_{p}}$

${\displaystyle E\sum _{i}({\hat {Y}}_{i}-E(Y_{i}\mid X_{i}))^{2}/\sigma ^{2},}$

โดยที่คือค่าที่ได้จากการประมาณจากแบบจำลองการถดถอยสำหรับกรณีที่i , E ( Y _i  |  X _i ) คือค่าที่คาดหวังสำหรับ กรณีที่ iและคือความแปรปรวนของข้อผิดพลาด (ถือว่าคงที่ในทุกกรณี) ค่าเฉลี่ยกำลังสองของข้อผิดพลาดในการทำนาย (MSPE) จะไม่ลดลงโดยอัตโนมัติเมื่อมีการเพิ่มตัวแปรมากขึ้น แบบจำลองที่เหมาะสมที่สุดภายใต้เกณฑ์นี้คือแบบจำลองประนีประนอมที่ได้รับอิทธิพลจากขนาดของกลุ่มตัวอย่างขนาดผลกระทบของตัวทำนายต่างๆ และระดับความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างตัวแปรเหล่านั้น ${\displaystyle {\หมวก {Y}__{i}}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

ถ้า เลือก ตัวแปรอิสระp ตัว จากชุด ตัวแปรอิสระ k ตัวโดยที่k > pค่าสถิติสำหรับชุดตัวแปรอิสระนั้นจะถูกกำหนดดังนี้: ${\displaystyle C_{p}}$

${\displaystyle C_{p}={SSE_{p} \over S^{2}}-N+2(p+1),}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle SSE_{p}=\sum _{i=1}^{N}(Y_{i}-{\hat {Y}}_{pi})^{2}}$คือผลรวมกำลังสองของความคลาดเคลื่อนสำหรับแบบจำลองที่มีตัวแปรอิสระp ตัว
• ${\displaystyle {\หมวก {Y}__{pi}}$คือ ค่า ที่คาดการณ์ได้ของ การสังเกตครั้งที่ iของYจากตัวแปรอิสระp ตัว
• S ²คือการประมาณค่าความแปรปรวนของค่าตกค้างหลังจากการถดถอยบนชุดตัวแปรอิสระk ^ตัว ที่สมบูรณ์ และสามารถประมาณค่าได้โดย [ ^{1 ]}${\displaystyle {1 \over Nk}\sum _{i=1}^{N}(Y_{i}-{\hat {Y}}_{i})^{2}}$
• และNคือขนาด ของกลุ่ม ตัวอย่าง

เมื่อพิจารณาแบบจำลองเชิงเส้น เช่น:

${\displaystyle Y=\beta _{0}+\beta _{1}X_{1}+\cdots +\beta _{p}X_{p}+\varepsilon }$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle \beta _{0},\ldots ,\beta _{p}}$คือค่าสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรทำนาย${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{p}}$
• ${\displaystyle \varepsilon }$แสดงถึงข้อผิดพลาด

เวอร์ชันอื่นของสามารถกำหนดได้ดังนี้: ^{[ 5 ]}${\displaystyle C_{p}}$

${\displaystyle C_{p}={\frac {1}{N}}(\operatorname {RSS} +2p{\hat {\sigma }}^{2})}$

ที่ไหน

• RSS คือผลรวมกำลังสองของค่าความคลาดเคลื่อนบนชุดข้อมูลฝึกฝน
• pคือจำนวนตัวแปรทำนาย
• และหมายถึงค่าประมาณของความแปรปรวนที่เกี่ยวข้องกับแต่ละการตอบสนองในแบบจำลองเชิงเส้น (ซึ่งประมาณจากแบบจำลองที่มีตัวแปรทำนายทั้งหมด)${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}$

โปรดทราบว่าเวอร์ชันนี้ไม่ได้ให้ค่าที่เทียบเท่ากับเวอร์ชันก่อนหน้า แต่แบบจำลองที่มีค่าต่ำที่สุดจากคำจำกัดความนี้จะเป็นแบบจำลองเดียวกันกับแบบจำลองที่มีค่าต่ำที่สุดจากคำจำกัดความก่อนหน้า ด้วย${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle C_{p}}$

เกณฑ์ดังกล่าวมีข้อจำกัดหลักสองประการ^{[ 6 ]}${\displaystyle C_{p}}$

1. การประมาณค่า นี้ใช้ได้เฉพาะกับขนาดตัวอย่างขนาดใหญ่เท่านั้น${\displaystyle C_{p}}$
2. ' ไม่สามารถจัดการกับชุดโมเดลที่ซับซ้อนได้ เช่น ในปัญหาการเลือกตัวแปร (หรือการเลือกคุณลักษณะ ) ^{[ 6 ]}${\displaystyle C_{p}}$

สถิติ นี้มักใช้เป็นกฎการหยุดสำหรับรูปแบบต่างๆ ของการถดถอยแบบทีละขั้นตอน Mallows เสนอสถิตินี้เป็นเกณฑ์สำหรับการเลือกการถดถอยย่อยทางเลือกมากมาย ภายใต้แบบจำลองที่ไม่ประสบปัญหาการขาดความเหมาะสม (อคติ) ที่เห็นได้ชัดจะมีค่าคาดหวังเกือบเท่ากับpมิฉะนั้น ค่าคาดหวังจะประมาณPบวกกับพจน์อคติที่เป็นบวก อย่างไรก็ตาม แม้ว่าจะมีค่าคาดหวังมากกว่าหรือเท่ากับp ^ก็ไม่มีอะไรที่จะป้องกันC _p < pหรือแม้แต่ในกรณีที่รุนแรง มีการแนะนำว่าควรเลือกชุดย่อยที่มีค่าเข้าใกล้p [ ^{7 ]}จากข้างต้น สำหรับรายการชุดย่อยที่เรียงลำดับตามp ที่เพิ่มขึ้น ในทางปฏิบัติ สามารถปรับอคติที่เป็นบวกได้โดยการเลือกแบบจำลองจากรายการชุดย่อยที่เรียงลำดับไว้เช่น ${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle C_{p}<0}$${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle C_{p}<2p}$

เนื่องจากสถิติที่ได้จากตัวอย่างเป็นการประมาณค่า MSPE การนำไปใช้ในการเลือกแบบจำลองจึงไม่ได้ป้องกันการเกิดภาวะโอเวอร์ฟิตติ้งได้อย่างสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น เป็นไปได้ว่าแบบจำลองที่เลือกจะเป็นแบบจำลองที่ค่าตัวอย่างต่ำกว่าความเป็นจริงอย่างมากเมื่อเทียบกับค่า MSPE ${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle C_{p}}$

โดยทั่วไป แล้ว สถิติการเลือกแบบจำลองจะไม่ถูกนำมาใช้โดยไม่พิจารณาอย่างรอบคอบ แต่จะมีการพิจารณาข้อมูลเกี่ยวกับสาขาการประยุกต์ใช้ วัตถุประสงค์การใช้งานของแบบจำลอง และอคติที่ทราบในข้อมูล ในกระบวนการเลือกแบบจำลองด้วย ${\displaystyle C_{p}}$

• ความเหมาะสมของแบบจำลอง: การวิเคราะห์การถดถอย
• ค่าสัมประสิทธิ์การกำหนด

• Chow, Gregory C. (1983). เศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณ . นิวยอร์ก: McGraw-Hill. หน้า  291–293 . ISBN 978-0-07-010847-9.
• Hocking, RR (1976). "การวิเคราะห์และการเลือกตัวแปรในการถดถอยเชิงเส้น". Biometrics . 32 (1): 1– 50. CiteSeerX  10.1.1.472.4742 . doi : 10.2307/2529336 . JSTOR  2529336 .
• Judge, George G.; Griffiths, William E.; Hill, R. Carter; Lee, Tsoung-Chao (1980). ทฤษฎีและการปฏิบัติของเศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณ . นิวยอร์ก: Wiley. หน้า  417–423 . ISBN 978-0-471-05938-7.