ในวิชาโทโพโลยี ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์แมนิโฟลด์Mสามารถแบ่งหรือแยกออกได้โดยการเขียนMในรูปของชิ้นส่วนเล็กๆ หลายชิ้น เมื่อทำเช่นนั้น จะต้องระบุทั้งชิ้นส่วนเหล่านั้นคืออะไร และนำมาประกอบกันอย่างไรจึงจะได้M ขึ้น มา

การแยกส่วนแมนิโฟลด์^{[ 1 ]}ทำงานได้สองทิศทาง: สามารถเริ่มต้นด้วยชิ้นส่วนที่เล็กกว่าและสร้างแมนิโฟลด์ขึ้นมา หรือเริ่มต้นด้วยแมนิโฟลด์ขนาดใหญ่และแยกส่วนมัน วิธีหลังนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นวิธีที่มีประโยชน์มากในการศึกษาแมนิโฟลด์: หากไม่มีเครื่องมือเช่นการแยกส่วน บางครั้งการทำความเข้าใจแมนิโฟลด์ก็เป็นเรื่องยากมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีประโยชน์ในการพยายามจำแนกแมนิโฟลด์ 3 มิติ และยังใช้ในการพิสูจน์ สมมติฐานปวงกาเรในมิติที่สูงกว่าด้วย

ตารางด้านล่างนี้สรุปเทคนิคการแยกส่วนแมนิโฟลด์แบบต่างๆ คอลัมน์ที่ระบุว่า " M " แสดงประเภทของแมนิโฟลด์ที่สามารถแยกส่วนได้ คอลัมน์ที่ระบุว่า "วิธีการแยกส่วน" แสดงวิธีการแยกส่วนแมนิโฟลด์ออกเป็นชิ้นเล็กๆ โดยเริ่มจากแมนิโฟลด์ขนาดใหญ่ คอลัมน์ที่ระบุว่า "ชิ้นส่วน" แสดงว่าชิ้นส่วนเหล่านั้นอาจเป็นอะไรได้บ้าง และคอลัมน์ที่ระบุว่า "วิธีการรวมชิ้นส่วน" แสดงวิธีการรวมชิ้นส่วนเล็กๆ เหล่านั้นเข้าด้วยกันเพื่อสร้างแมนิโฟลด์ขนาดใหญ่

• ทฤษฎีการผ่าตัด