ในแมชชีนเลิร์นนิงการปรับเสถียรด้วยแมนิโฟลด์ (Manifold Regularization)เป็นเทคนิคที่ใช้รูปร่างของชุดข้อมูลเพื่อจำกัดฟังก์ชันที่ควรเรียนรู้จากชุดข้อมูลนั้น ในปัญหาแมชชีนเลิร์นนิงหลายๆ ปัญหา ข้อมูลที่จะเรียนรู้ไม่ได้ครอบคลุมพื้นที่อินพุตทั้งหมด ตัวอย่างเช่นระบบจดจำใบหน้าอาจไม่จำเป็นต้องจำแนกภาพที่เป็นไปได้ทั้งหมด แต่เฉพาะชุดย่อยของภาพที่มีใบหน้าเท่านั้น เทคนิคการเรียนรู้ด้วยแมนิโฟลด์นั้นตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าชุดย่อยของข้อมูลที่เกี่ยวข้องมาจากแมนิโฟลด์ซึ่งเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่มีคุณสมบัติที่เป็นประโยชน์ เทคนิคนี้ยังตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าฟังก์ชันที่จะเรียนรู้นั้นราบเรียบ กล่าวคือ ข้อมูลที่มีป้ายกำกับต่างกันไม่น่าจะอยู่ใกล้กัน ดังนั้นฟังก์ชันการติดป้ายกำกับจึงไม่ควรเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วในบริเวณที่มีจุดข้อมูลจำนวนมาก เนื่องจากสมมติฐานนี้ อัลกอริทึมการปรับเสถียรด้วยแมนิโฟลด์จึงสามารถใช้ข้อมูลที่ไม่มีป้ายกำกับเพื่อบอกว่าฟังก์ชันที่เรียนรู้นั้นสามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างรวดเร็วในบริเวณใด และบริเวณใดที่ไม่ควรเปลี่ยนแปลง โดยใช้การขยายเทคนิคการปรับเสถียรแบบทิโคนอฟ (Tikhonov regularization ) อัลกอริทึมการปรับเสถียรภาพแบบแมนิโฟลด์สามารถขยาย อัลกอริทึม การเรียนรู้แบบมีผู้กำกับดูแลไปสู่การเรียนรู้แบบกึ่งมีผู้กำกับ ดูแล และการเรียนรู้แบบถ่ายทอดความรู้ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่มีข้อมูลที่ไม่มีป้ายกำกับ เทคนิคนี้ถูกนำไปใช้ในแอปพลิเคชันต่างๆ เช่น การถ่ายภาพทางการแพทย์ การถ่ายภาพทางภูมิศาสตร์ และการจดจำวัตถุ

การปรับเสถียรภาพแบบแม นิโฟลด์ (Manifold regularization) เป็นประเภทหนึ่งของการปรับเสถียรภาพ (Regularization) ซึ่งเป็นกลุ่มเทคนิคที่ช่วยลด ปัญหาการโอเวอร์ฟิตติ้ง (Overfitting) และทำให้มั่นใจได้ว่าปัญหาที่กำหนดนั้นมีความถูกต้อง (Well -posed problem) โดยการลงโทษคำตอบที่ซับซ้อน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การปรับเสถียรภาพแบบแมนิโฟลด์เป็นการขยายเทคนิคการปรับเสถียรภาพ แบบทิ โคนอฟ (Tikhonov regularization) ที่ใช้กับปริภูมิฮิล เบิร์ตแบบเคอร์เนลที่สร้างซ้ำได้ (Reproducing kernel Hilbert spaces: RKHSs) ภายใต้การปรับเสถียรภาพแบบทิโคนอฟ มาตรฐานบน RKHSs อัลกอริทึมการเรียนรู้จะพยายามเรียนรู้ฟังก์ชันจากปริภูมิสมมติฐานของฟังก์ชันต่างๆ ปริภูมิ สมมติฐาน นี้เป็น RKHS ซึ่งหมายความว่ามันเกี่ยวข้องกับเคอร์เนลดังนั้นฟังก์ชันผู้สมัครแต่ละฟังก์ชันจึงมีนอร์ม (norm ) ซึ่งแสดงถึงความซับซ้อนของฟังก์ชันผู้สมัครในปริภูมิสมมติฐาน เมื่ออัลกอริทึมพิจารณาฟังก์ชันผู้สมัคร มันจะคำนึงถึงนอร์มของฟังก์ชันนั้นเพื่อลงโทษฟังก์ชันที่ซับซ้อน ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \left\|f\right\|_{K}}$

ตามหลักการแล้ว เมื่อกำหนดชุดข้อมูลฝึกฝนที่มี ป้ายกำกับ และฟังก์ชันความสูญเสียแล้ว อัลกอริทึมการเรียนรู้ที่ใช้การปรับค่าแบบ Tikhonov จะพยายามแก้สมการดังกล่าว ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{\ell },y_{\ell })}$${\displaystyle x_{i}\in X,y_{i}\in Y}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\underset {f\in {\mathcal {H}}}{\arg \!\min }}{\frac {1}{\ell }}\sum _{i=1}^{\ell }V(f(x_{i}),y_{i})+\gamma \left\|f\right\|_{K}^{2}}$

โดยที่เป็นไฮเปอร์พารามิเตอร์ที่ควบคุมว่าอัลกอริทึมจะเลือกใช้ฟังก์ชันที่เรียบง่ายกว่ามากน้อยเพียงใด เมื่อเทียบกับฟังก์ชันที่เหมาะสมกับข้อมูลได้ดีกว่า ${\displaystyle \gamma }$

การทำให้เป็นระเบียบแบบแมนิโฟลด์จะเพิ่มเทอมการทำให้เป็นระเบียบที่สอง ซึ่งก็คือตัวทำให้เป็นระเบียบ ภายใน ให้กับตัวทำให้เป็นระเบียบโดยรอบที่ใช้ในการทำให้เป็นระเบียบแบบทิโคนอฟมาตรฐาน ภายใต้สมมติฐานแมนิโฟลด์ในการเรียนรู้ของเครื่อง ข้อมูลที่กล่าวถึงไม่ได้มาจากพื้นที่อินพุตทั้งหมดแต่มาจากแมนิโฟลด์ ที่ไม่เป็นเชิง เส้น เรขาคณิตของแมนิโฟลด์นี้ พื้นที่ภายใน จะถูกใช้เพื่อกำหนดบรรทัดฐานการทำให้เป็นระเบียบ^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle M\subset X}$

มีตัวเลือกมากมายสำหรับตัวควบคุมความเรียบภายใน (intrinsic regularizer ) ตัวเลือกที่เป็นธรรมชาติหลายอย่างเกี่ยวข้องกับเกรเดียนต์บนแมนิโฟลด์ซึ่งสามารถให้การวัดว่าฟังก์ชันเป้าหมายเรียบแค่ไหนฟังก์ชันที่เรียบควรเปลี่ยนแปลงช้าๆ ในบริเวณที่ข้อมูลอินพุตหนาแน่น กล่าวคือ เกรเดียนต์ควรมีค่าน้อยในบริเวณที่ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัล (marginal probability density ) ซึ่งเป็นความหนาแน่น ของความน่าจะเป็นของจุดข้อมูลที่สุ่มเลือกมาปรากฏที่จุดนั้นมีค่ามาก นี่จึงให้ตัวเลือกที่เหมาะสมหนึ่งอย่างสำหรับตัวควบคุมความเรียบภายใน: ${\displaystyle \left\|f\right\|_{I}}$${\displaystyle \nabla _{M}}$${\displaystyle \nabla _{M}f(x)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{X}(x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\|f\right\|_{I}^{2}=\int _{x\in M}\left\|\nabla _{M}f(x)\right\|^{2}\,d{\mathcal {P}}_{X}(x)}$

ในทางปฏิบัติ ค่ามาตรฐานนี้ไม่สามารถคำนวณได้โดยตรง เนื่องจากไม่ทราบการกระจายแบบมาร์จินัล แต่สามารถประมาณได้จากข้อมูลที่ให้มา ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{X}}$

เมื่อระยะห่างระหว่างจุดอินพุตถูกตีความว่าเป็นกราฟเมทริกซ์ลาปลาเซียนของกราฟสามารถช่วยประมาณการการกระจายแบบมาร์จินั ล ได้ สมมติว่าข้อมูลอินพุตประกอบด้วยตัวอย่างที่มีป้ายกำกับ (คู่ของอินพุตและป้ายกำกับ) และตัวอย่างที่ไม่มีป้ายกำกับ (อินพุตที่ไม่มีป้ายกำกับที่เกี่ยวข้อง) กำหนดให้เป็นเมทริกซ์ของน้ำหนักขอบสำหรับกราฟ โดยที่เป็นค่าความคล้ายคลึงที่สร้างขึ้นจากการวัดระยะห่างระหว่างจุดข้อมูลและ(ดังนั้นยิ่งใกล้กันมากเท่าไหร่ ก็ยิ่งหมายถึงค่า สูงขึ้นเท่านั้น) กำหนดให้เป็นเมทริกซ์แนวทแยงที่มีและให้เป็นเมทริกซ์ลาปลาเซียนจากนั้น เมื่อจำนวนจุดข้อมูลเพิ่มขึ้นจะลู่เข้าสู่ตัวดำเนินการลาปลาเซียน-เบลทรามีซึ่งเป็นการล divergenceของ gradient ^{[ 2 ] [ 3 ]}จากนั้น ถ้าเป็นเวกเตอร์ของค่าของที่ข้อมูลค่าบรรทัดฐานภายในสามารถประมาณได้: ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle u}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W_{ij}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle W_{ij}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D_{ii}=\sum _{j=1}^{\ell +u}W_{ij}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle DW}$${\displaystyle \ell +u}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \Delta _{M}}$${\displaystyle \nabla _{M}}$${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {f} =[f(x_{1}),\ldots ,f(x_{l+u})]^{\mathrm {T} }}$

${\displaystyle \left\|f\right\|_{I}^{2}={\frac {1}{(\ell +u)^{2}}}\mathbf {f} ^{\mathrm {T} }L\mathbf {f} }$

เมื่อจำนวนจุดข้อมูลเพิ่มขึ้น คำจำกัดความเชิงประจักษ์นี้จะลู่เข้าสู่คำจำกัดความเมื่อทราบ^{[ 1 ]}${\displaystyle \ell +u}$${\displaystyle \left\|f\right\|_{I}^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{X}}$

เมื่อใช้ค่าน้ำหนักสำหรับตัวควบคุมความสม่ำเสมอของสภาพแวดล้อมและภายในแล้ว สมการสุดท้ายที่จะต้องแก้จะเป็นดังนี้: ${\displaystyle \gamma _{A}}$${\displaystyle \gamma _{I}}$

${\displaystyle {\underset {f\in {\mathcal {H}}}{\arg \!\min }}{\frac {1}{\ell }}\sum _{i=1}^{\ell }V(f(x_{i}),y_{i})+\gamma _{A}\left\|f\right\|_{K}^{2}+{\frac {\gamma _{I}}{(\ell +u)^{2}}}\mathbf {f} ^{\mathrm {T} }L\mathbf {f} }$

เช่นเดียวกับวิธีการเคอร์เนล อื่นๆ อาจเป็นพื้นที่มิติอนันต์ ดังนั้นหากไม่สามารถแก้สมการการปรับค่าให้เป็นระเบียบได้อย่างชัดเจน ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะค้นหาคำตอบในพื้นที่ทั้งหมด ในทางกลับกัน ทฤษฎีบทตัวแทนแสดงให้เห็นว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการเกี่ยวกับการเลือกค่ามาตรฐานคำตอบที่เหมาะสมที่สุดจะต้องเป็นการรวมเชิงเส้นของเคอร์เนลที่อยู่ตรงกลางจุดอินพุตแต่ละจุด: สำหรับน้ำหนักบางค่า ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \left\|f\right\|_{I}}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$

${\displaystyle f^{*}(x)=\sum _{i=1}^{\ell +u}\alpha _{i}K(x_{i},x)}$

โดยใช้ผลลัพธ์นี้ สามารถค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดได้โดยการค้นหาในพื้นที่มิติจำกัดที่กำหนดโดยตัวเลือกที่เป็นไปได้ของ^{[ 1 ]}${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$

แนวคิดที่นอกเหนือไปจากกราฟลาปลาเซียนคือการใช้เพื่อนบ้านเพื่อประมาณค่าลาปลาเซียน วิธีนี้คล้ายกับวิธีการหาค่าเฉลี่ยเฉพาะที่ซึ่งเป็นที่ทราบกันดีว่าปรับขนาดได้ไม่ดีในปัญหาที่มีมิติสูง อันที่จริง กราฟลาปลาเซียนเป็นที่ทราบกันดีว่าประสบปัญหาจาก คำ สาปแห่งมิติ^{[ 2 ]} โชคดีที่สามารถใช้ประโยชน์จากความเรียบที่คาดหวังของฟังก์ชันเพื่อประมาณค่าได้ด้วยการวิเคราะห์ฟังก์ชันขั้นสูง วิธีนี้ประกอบด้วยการประมาณค่าตัวดำเนินการลาปลาเซียนโดยใช้อนุพันธ์ของเคอร์เนลที่อ่านว่าโดยที่แสดงถึงอนุพันธ์ย่อยตาม พิกัดที่ jของตัวแปรแรก^{[ 4 ]} แนวทางที่สองสำหรับบรรทัดฐานลาปลาเซียนนี้คือการสร้างความสัมพันธ์กับวิธีการแบบไร้ตาข่ายซึ่งแตกต่างจากวิธีการผลต่างจำกัดใน PDE ${\displaystyle \partial _{1,j}K(x_{i},x)}$${\displaystyle \partial _{1,j}}$

การปรับค่าแมนิโฟลด์สามารถขยายอัลกอริธึมต่างๆ ที่สามารถแสดงได้โดยใช้การปรับค่าทิโคนอฟ โดยการเลือกฟังก์ชันการสูญเสียและพื้นที่สมมติฐานที่ เหมาะสม ตัวอย่างที่ใช้กันทั่วไปสองตัวอย่างคือตระกูลของเครื่องเวกเตอร์สนับสนุนและ อัลกอริ ธึมกำลังสองน้อยที่สุดแบบปรับค่า (กำลังสองน้อยที่สุดแบบปรับค่ารวมถึงอัลกอริธึมการถดถอยแบบริดจ์ อัลกอริธึมที่เกี่ยวข้องของ LASSO และการปรับค่าแบบอีลาสติกเน็ตสามารถแสดงเป็นเครื่องเวกเตอร์สนับสนุนได้^{[ 5 ] [ 6 ]} ) เวอร์ชันที่ขยายของอัลกอริธึมเหล่านี้เรียกว่ากำลังสองน้อยที่สุดแบบปรับค่าลาปลาเซียน (ย่อว่า LapRLS) และเครื่องเวกเตอร์สนับสนุนลาปลาเซียน (LapSVM) ตามลำดับ^{[ 1 ]}${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุดแบบปรับค่า (Regularized Least Squares: RLS) เป็นกลุ่มของอัลกอริธึมการถดถอย : อัลกอริธึมที่ทำนายค่าสำหรับอินพุตโดยมีเป้าหมายเพื่อให้ค่าที่ทำนายได้ใกล้เคียงกับค่าจริงของข้อมูล โดยเฉพาะอย่างยิ่ง RLS ถูกออกแบบมาเพื่อลดค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยระหว่างค่าที่ทำนายได้และค่าจริง ภายใต้การปรับค่า การถดถอยแบบ Ridge เป็นรูปแบบหนึ่งของ RLS โดยทั่วไปแล้ว RLS ก็เหมือนกับการถดถอยแบบ Ridge ที่รวมกับวิธี การ เคอร์เนล ปัญหาของ RLS เกิดจากการเลือกฟังก์ชันความสูญเสียในการปรับค่าแบบ Tikhonov ให้เป็นค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ย: ${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle f^{*}={\underset {f\in {\mathcal {H}}}{\arg \!\min }}{\frac {1}{\ell }}\sum _{i=1}^{\ell }(f(x_{i})-y_{i})^{2}+\gamma \left\|f\right\|_{K}^{2}}$

ด้วยทฤษฎีตัวแทน (representer theorem)ทำให้สามารถเขียนคำตอบได้ในรูปผลรวมถ่วงน้ำหนักของเคอร์เนลที่ประเมิน ณ จุดข้อมูลต่างๆ:

${\displaystyle f^{*}(x)=\sum _{i=1}^{\ell }\alpha _{i}^{*}K(x_{i},x)}$

และเมื่อแก้สมการจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle \alpha ^{*}}$

${\displaystyle \alpha ^{*}=(K+\gamma \ell I)^{-1}Y}$

โดยที่ถูกกำหนดให้เป็นเมทริกซ์เคอร์เนล โดยมีและเป็นเวกเตอร์ของป้ายกำกับข้อมูล ${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{ij}=K(x_{i},x_{j})}$${\displaystyle Y}$

การเพิ่มเทอมลาปลาเซียนสำหรับการปรับเสถียรภาพของแมนิโฟลด์ทำให้ได้ข้อความ RLS แบบลาปลาเซียน:

${\displaystyle f^{*}={\underset {f\in {\mathcal {H}}}{\arg \!\min }}{\frac {1}{\ell }}\sum _{i=1}^{\ell }(f(x_{i})-y_{i})^{2}+\gamma _{A}\left\|f\right\|_{K}^{2}+{\frac {\gamma _{I}}{(\ell +u)^{2}}}\mathbf {f} ^{\mathrm {T} }L\mathbf {f} }$

ทฤษฎีตัวแทนสำหรับการทำให้เรียบของแมนิโฟลด์ให้ผลลัพธ์อีกครั้ง

${\displaystyle f^{*}(x)=\sum _{i=1}^{\ell +u}\alpha _{i}^{*}K(x_{i},x)}$

และผลลัพธ์ที่ได้คือนิพจน์สำหรับเวกเตอร์โดยให้เป็นเมทริกซ์เคอร์เนลดังข้างต้นให้ เป็นเวกเตอร์ของป้ายกำกับข้อมูล และให้ เป็นเมทริกซ์บล็อก: ${\displaystyle \alpha ^{*}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle J}$${\displaystyle (\ell +u)\times (\ell +u)}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{\ell }&0\\0&0_{u}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \alpha ^{*}={\underset {\alpha \in \mathbf {R} ^{\ell +u}}{\arg \!\min }}{\frac {1}{\ell }}(Y-JK\alpha )^{\mathrm {T} }(Y-JK\alpha )+\gamma _{A}\alpha ^{\mathrm {T} }K\alpha +{\frac {\gamma _{I}}{(\ell +u)^{2}}}\alpha ^{\mathrm {T} }KLK\alpha }$

ด้วยวิธีแก้ปัญหาของ

${\displaystyle \alpha ^{*}=\left(JK+\gamma _{A}\ell I+{\frac {\gamma _{I}\ell }{(\ell +u)^{2}}}LK\right)^{-1}Y}$^{[ 1 ]}

LapRLS ได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้กับปัญหาต่างๆ รวมถึงเครือข่ายเซ็นเซอร์^{[ 7 ]}การถ่ายภาพทางการแพทย์ [ ^{8 ] [ 9 ]} การตรวจจับวัตถุ^{[ 10 ]}สเปกโทรสโก ปี ^{[ 11 ]} การจำแนกเอกสาร^{[ 12 ] ปฏิสัมพันธ์ ระหว่าง} ยาและโปรตีน^{[ 13 ]} และการบีบอัดรูปภาพและวิดีโอ^{[ 14 ]}

เครื่องสนับสนุนเวกเตอร์ (SVM) เป็นกลุ่มของอัลกอริธึมที่มักใช้ในการจำแนกข้อมูลออกเป็นสองกลุ่มหรือมากกว่า หรือหลายคลาสโดยทั่วไปแล้ว SVM จะลากเส้นแบ่งระหว่างคลาสเพื่อให้ตัวอย่างที่มีป้ายกำกับที่อยู่ใกล้เส้นแบ่งมากที่สุดอยู่ห่างออกไปให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ซึ่งสามารถแสดงได้โดยตรงในรูปของโปรแกรมเชิงเส้นแต่ก็เทียบเท่ากับการปรับค่าแบบ Tikhonov ด้วยฟังก์ชันการสูญเสียแบบบานพับ : ${\displaystyle V(f(x),y)=\max(0,1-yf(x))}$

${\displaystyle f^{*}={\underset {f\in {\mathcal {H}}}{\arg \!\min }}{\frac {1}{\ell }}\sum _{i=1}^{\ell }\max(0,1-y_{i}f(x_{i}))+\gamma \left\|f\right\|_{K}^{2}}$^{[ 15 ] [ 16 ]}

การเพิ่มเทอมการปรับค่าภายใน (intrinsic regularization term) เข้าไปในนิพจน์นี้ จะได้คำอธิบายปัญหาของ LapSVM ดังนี้:

${\displaystyle f^{*}={\underset {f\in {\mathcal {H}}}{\arg \!\min }}{\frac {1}{\ell }}\sum _{i=1}^{\ell }\max(0,1-y_{i}f(x_{i}))+\gamma _{A}\left\|f\right\|_{K}^{2}+{\frac {\gamma _{I}}{(\ell +u)^{2}}}\mathbf {f} ^{\mathrm {T} }L\mathbf {f} }$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทฤษฎีตัวแทนช่วยให้สามารถแสดงคำตอบได้ในรูปของเคอร์เนลที่ประเมินค่า ณ จุดข้อมูล:

${\displaystyle f^{*}(x)=\sum _{i=1}^{\ell +u}\alpha _{i}^{*}K(x_{i},x)}$

${\displaystyle \alpha }$สามารถหาคำตอบได้โดยการเขียนปัญหาเป็นโปรแกรมเชิงเส้นและแก้ปัญหาคู่ขนาน โดยให้เป็นเมทริกซ์เคอร์เนล และเป็นเมทริกซ์บล็อกจะสามารถแสดงคำตอบได้ว่า ${\displaystyle K}$${\displaystyle J}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{\ell }&0\\0&0_{u}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \alpha =\left(2\gamma _{A}I+2{\frac {\gamma _{I}}{(\ell +u)^{2}}}LK\right)^{-1}J^{\mathrm {T} }Y\beta ^{*}}$

ทางออกของปัญหาสองประการนี้อยู่ ที่ไหน${\displaystyle \beta ^{*}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&&\beta ^{*}=\max _{\beta \in \mathbf {R} ^{\ell }}&\sum _{i=1}^{\ell }\beta _{i}-{\frac {1}{2}}\beta ^{\mathrm {T} }Q\beta \\&{\text{subject to}}&&\sum _{i=1}^{\ell }\beta _{i}y_{i}=0\\&&&0\leq \beta _{i}\leq {\frac {1}{\ell }}\;i=1,\ldots ,\ell \end{aligned}}}$

และถูกกำหนดโดย ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q=YJK\left(2\gamma _{A}I+2{\frac {\gamma _{I}}{(\ell +u)^{2}}}LK\right)^{-1}J^{\mathrm {T} }Y}$^{[ 1 ]}

LapSVM ได้ถูกนำไปใช้กับปัญหาต่างๆ รวมถึงการสร้างภาพทางภูมิศาสตร์^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} การสร้างภาพทางการแพทย์^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} การจดจำใบหน้า^{[ 23 ]} การบำรุงรักษาเครื่องจักร^{[ 24 ]} และ อินเทอร์เฟซระหว่างสมอง กับคอมพิวเตอร์^{[ 25 ]}

• การปรับความสม่ำเสมอของแมนิโฟลด์ถือว่าข้อมูลที่มีป้ายกำกับต่างกันไม่น่าจะอยู่ใกล้กัน ข้อสมมตินี้ทำให้เทคนิคนี้สามารถดึงข้อมูลจากข้อมูลที่ไม่มีป้ายกำกับได้ แต่ใช้ได้เฉพาะกับโดเมนปัญหาบางประเภทเท่านั้น ขึ้นอยู่กับโครงสร้างของข้อมูล อาจจำเป็นต้องใช้อัลกอริธึมการเรียนรู้แบบกึ่งกำกับดูแลหรือแบบทรานสดักทีฟที่แตกต่างกัน^{[ 26 ]}
• ในชุดข้อมูลบางชุด ค่าบรรทัดฐานภายในของฟังก์ชันอาจใกล้เคียงกับค่าบรรทัดฐานโดยรอบมากตัวอย่างเช่น หากข้อมูลประกอบด้วยสองคลาสที่อยู่บนเส้นตั้งฉาก ค่าบรรทัดฐานภายในจะเท่ากับค่าบรรทัดฐานโดยรอบ ในกรณีนี้ ข้อมูลที่ไม่มีป้ายกำกับจะไม่มีผลต่อโซลูชันที่เรียนรู้โดยการปรับค่าแบบแมนิโฟลด์ แม้ว่าข้อมูลจะตรงกับสมมติฐานของอัลกอริทึมที่ว่าตัวแยกควรเรียบก็ตาม แนวทางที่เกี่ยวข้องกับการฝึกร่วมกันได้รับการเสนอเพื่อแก้ไขข้อจำกัดนี้^{[ 27 ]}${\displaystyle \left\|f\right\|_{I}}$${\displaystyle \left\|f\right\|_{K}}$
• หากมีตัวอย่างที่ไม่มีป้ายกำกับจำนวนมาก เมทริกซ์เคอร์เนลจะมีขนาดใหญ่มาก และอัลกอริทึมการปรับความเรียบของแมนิโฟลด์อาจช้าเกินไปจนไม่สามารถคำนวณได้ อัลกอริทึมออนไลน์และการประมาณค่าแบบเบาบางของแมนิโฟลด์อาจช่วยได้ในกรณีนี้^{[ 28 ]}${\displaystyle K}$

• การเรียนรู้แบบหลากหลาย
• สมมติฐานหลายมิติ
• การเรียนรู้แบบกึ่งกำกับดูแล
• การแปลงสัญญาณ (การเรียนรู้ของเครื่องจักร)
• ทฤษฎีกราฟสเปกตรัม
• ปริภูมิฮิลเบิร์ตเคอร์เนลที่สร้างซ้ำ
• การปรับเสถียรภาพแบบทิโคนอฟ
• เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

• ไลบรารีManifoldLearnและไลบรารี Primal LapSVMนำเสนอ LapRLS และ LapSVM ในMATLAB
• ไลบรารีDlibสำหรับC++มีฟังก์ชันการปรับเสถียรภาพของแมนิโฟลด์เชิงเส้นอยู่ด้วย