เพ็กโซลิแทร์

Q: เล่น

การเดินหมากที่ถูกต้องคือ การกระโดด ข้าม หมากที่อยู่ติดกันไปยังรูที่อยู่ห่างออกไปสองตำแหน่ง แล้วจึงนำหมากที่กระโดดข้ามไปนั้นออก

เกมไพ่ โซลิแทร์ (Peg solitaire) , โซโลโนเบิล (Solo noble) , โซโลโกไล (Solo goli) , มาร์เบิลโซลิแทร์ (Marble solitaire) หรือเรียกสั้นๆ ว่า โซลิแทร์ ( Solitaire ) เป็นเกมกระดานสำหรับผู้เล่นคนเดียว โดยใช้การเคลื่อนย้ายหมุดบนกระดานที่มีรู บางชุดอาจใช้ลูกแก้วบนกระดานที่มีร่อง เกมนี้รู้จักกันในชื่อโซลิแทร์ในสหราชอาณาจักร และชื่อเพ็กโซลิแทร์ในสหรัฐอเมริกา ซึ่งคำว่า 'โซลิแทร์' ในที่นี้หมายถึงกลุ่มเกมไพ่ชนิดหนึ่ง

หลักฐานแรกของเกมนี้สามารถสืบย้อนไปได้ถึงราชสำนักของพระเจ้าหลุยส์ที่ 14โดยเฉพาะอย่างยิ่งในปี 1697 จากภาพแกะสลักที่ทำขึ้นสิบปีต่อมาโดยโคลด ออกุสต์ เบเรย์ ซึ่งแสดงภาพเจ้าหญิง แอนน์ เดอ โรฮาน-ชาโบต์แห่งซูบิส พร้อมกับปริศนาเกมนี้อยู่ข้างกาย นอกจากนี้ ฉบับเดือนสิงหาคม ปี 1697 ของนิตยสารวรรณกรรม ฝรั่งเศส Mercure galantยังมีคำอธิบายเกี่ยวกับกระดานเกม กฎ และตัวอย่างโจทย์ นี่คือการอ้างอิงถึงเกมนี้ในสิ่งพิมพ์ครั้งแรกที่รู้จักกัน

เกมมาตรฐานจะวางหมุดเต็มกระดาน ยกเว้นรูตรงกลาง เป้าหมายคือ การเดินหมากที่ถูกต้อง เพื่อทำให้กระดานว่างเปล่า ยกเว้นหมุดเพียงตัวเดียวในรูตรงกลาง

กระดาน

เกมกระดานเพ็กโซลิแทร์ภาษาอังกฤษ

กระดานเล่นไพ่โซลิแทร์แบบยุโรป

มีกระดานแบบดั้งเดิมสองแบบ ('⚫' เป็นหมุดตัวแรก '⚪' เป็นรูตัวแรก):

ภาษาอังกฤษ	ยุโรป
กระดานเกมไพ่โซลิแทร์แบบอังกฤษ	กระดานเกมไพ่โซลิแทร์แบบยุโรป

เล่น

การเดินหมากที่ถูกต้องคือ การกระโดดข้ามหมากที่อยู่ติดกันไปยังรูที่อยู่ห่างออกไปสองตำแหน่ง แล้วจึงนำหมากที่กระโดดข้ามไปนั้นออก

ในแผนภาพต่อไปนี้ ⚪ แสดงถึงรูว่าง และ ⚫ แสดงถึงหมุดที่อยู่ในรู ซึ่งจะถูกวงกลมสีดำเมื่อกำลังจะถูกเคลื่อนย้าย และวงกลมสีแดงเมื่อเพิ่งเคลื่อนย้ายเสร็จ รูที่เพิ่งเคลื่อนย้ายออกมาจะเป็นสีฟ้าอ่อน และรูสีแดงที่มีเครื่องหมาย X สีแดงกำกับอยู่ แสดงถึงรูของหมุดที่ถูกข้ามไปและถูกนำออกไป

ดังนั้น การเคลื่อนที่ที่ถูกต้องในแต่ละทิศทางตั้งฉากทั้งสี่ทิศทางมีดังนี้:

ก่อน
→
ข้ามไปทางขวา
ก่อน
→
ข้ามไปทางซ้าย
ก่อน
→
กระโดดลง
ก่อน
→
กระโดดขึ้น

ในกระดานหมากรุกแบบอังกฤษ การเดินหมากสามตาแรกอาจเป็นดังนี้:

เริ่ม

→

หลังจากเดินหมากครั้งที่ 1

→

หลังจากเดินหมากครั้งที่ 2

→

หลังจากเดินหมากครั้งที่ 3

กลยุทธ์

มีวิธีแก้ปัญหามาตรฐานหลายวิธี และสัญลักษณ์หนึ่งที่ใช้ในการอธิบายวิธีเหล่านั้นคือการกำหนดตัวอักษรให้กับช่องว่าง (แม้ว่าอาจใช้ตัวเลขได้เช่นกัน):

ภาษาอังกฤษ	ยุโรป
เอบีซี ดีเอฟ จีเอช ไอเจเคแอลเอ็ม n o p x P O N เอ็มแอลเค จีไอเอชจี เฟด ซีบีเอ กระดานภาษาอังกฤษ	เอบีซี y d e f z จีเอช ไอเจเคแอลเอ็ม n o p x P O N เอ็มแอลเค จีไอเอชจี Z F E D Y ซีบีเอ สัญกรณ์กระดานยุโรป

การใช้สัญลักษณ์ภาพสะท้อนนี้มีเหตุผลหลายประการ หนึ่งในนั้นคือ บนกระดานหมากรุกแบบยุโรป เกมทางเลือกชุดหนึ่งคือการเริ่มต้นด้วยหลุมที่ตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่ง และจบลงด้วยหมุดเดี่ยวในตำแหน่งสะท้อน ในขณะที่บนกระดานหมากรุกแบบอังกฤษ เกมทางเลือกที่เทียบเท่ากันคือการเริ่มต้นด้วยหลุมและจบลงด้วยหมุดที่ตำแหน่งเดียวกัน

ไม่มีวิธีแก้ปัญหาสำหรับกระดานหมากรุกแบบยุโรปที่มีรูเริ่มต้นอยู่ตรงกลาง หากอนุญาตให้เดินหมากในแนวตั้งฉากเท่านั้น สามารถเห็นได้ง่ายๆ ดังนี้ โดยใช้เหตุผลของฮันส์ ซานเทมาแบ่งตำแหน่งของกระดานออกเป็นตำแหน่ง A, B และ C ดังนี้ (แต่ละ 'แนวทแยง' จะได้รับตัวอักษรเดียวกัน และวนซ้ำตามลำดับ ABC):

เอบีซี

เอบีซีเอบี

เอบีซีเอบีซีเอ

บีซีเอบีซีเอบี

ซีเอบีซีเอบีซี

บีซีเอบีซี

เอบีซี

การแบ่งประเภทคณะกรรมการยุโรปออกเป็นตำแหน่ง A, B และ C

ในตอนเริ่มต้น มีเพียงตำแหน่งตรงกลางที่ว่างอยู่ จำนวนตำแหน่ง A ที่ถูกปิดคือ 12 ตำแหน่ง จำนวนตำแหน่ง B ที่ถูกปิดคือ 12 ตำแหน่ง และจำนวนตำแหน่ง C ที่ถูกปิดก็คือ 12 ตำแหน่งเช่นกัน หลังจากทุกการขยับ จำนวนตำแหน่ง A ที่ถูกปิดจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงหนึ่งตำแหน่ง และเช่นเดียวกันสำหรับจำนวนตำแหน่ง B ที่ถูกปิดและจำนวนตำแหน่ง C ที่ถูกปิด ดังนั้นหลังจากจำนวนการขยับที่เป็นเลขคู่ ตัวเลขทั้งสามนี้จะเป็นเลขคู่ และหลังจากจำนวนการขยับที่เป็นเลขคี่ ตัวเลขทั้งสามนี้จะเป็นเลขคี่ ดังนั้น ตำแหน่งสุดท้ายที่มีหมุดเพียงตัวเดียวจึงเป็นไปไม่ได้ เพราะนั่นหมายความว่าตัวเลขหนึ่งในนั้นเป็นหนึ่ง (ตำแหน่งของหมุด ซึ่งเป็นเลขคี่) ในขณะที่ตัวเลขอีกสองตัวเป็นศูนย์ ซึ่งเป็นเลขคู่

อย่างไรก็ตาม ยังมีรูปแบบอื่นๆ อีกหลายแบบที่สามารถลดรูเริ่มต้นเพียงรูเดียวให้เหลือเพียงเดือยเดียวได้

กลยุทธ์หนึ่งที่สามารถใช้ได้คือการแบ่งกระดานออกเป็นกลุ่มละสามชิ้น แล้วกำจัด (เอาออก) กลุ่มเหล่านั้นทั้งหมดโดยใช้หมุดพิเศษหนึ่งตัว ซึ่งก็คือตัวเร่งปฏิกิริยา ที่กระโดดออกมาแล้วกระโดดกลับเข้าไปใหม่ในตัวอย่างด้านล่าง เครื่องหมาย*คือตัวเร่งปฏิกิริยา:

เริ่ม

→

Catalyst กระโดดออกมา

→

การชำระล้างระดับกลาง

→

Catalyst กระโดดกลับ

เทคนิคนี้สามารถใช้ได้กับแถวที่มี 3 ตัว บล็อกที่มี 2.3 ตัว และรูปตัว L ที่มี 6 ตัว โดยมีฐานยาว 3 และส่วนตั้งตรงยาว 4

เกมทางเลือกอื่นๆ ได้แก่ การเริ่มต้นด้วยหลุมว่างสองหลุมและจบด้วยการปักหมุดสองตัวในหลุมเหล่านั้น หรือการเริ่มต้นด้วยหลุมหนึ่งหลุมตรงนี้และจบด้วยการปักหมุดหนึ่งตัวตรงนั้นบนกระดานหมากรุกแบบอังกฤษ หลุมสามารถอยู่ได้ทุกที่ และหมุดตัวสุดท้ายสามารถปักได้เฉพาะในตำแหน่งที่เป็นพหุคูณของสามเท่านั้น ดังนั้น หลุมที่ตำแหน่งaจะเหลือหมุดเพียงตัวเดียวที่ตำแหน่งa , p , OหรือCเท่านั้น

การศึกษาเกี่ยวกับเกมไพ่โซลิแทร์แบบใช้หมุด

การวิเคราะห์เกมอย่างละเอียดเป็นที่ทราบกันดี^{[ 1 ]} การวิเคราะห์นี้ได้นำเสนอแนวคิดที่เรียกว่าฟังก์ชันเจดีย์ซึ่งเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการแสดงให้เห็นถึงความเป็นไปไม่ได้ของปัญหาการเล่นไพ่เดี่ยวแบบทั่วไปที่กำหนด

วิธีแก้ปัญหาสำหรับการค้นหาฟังก์ชันเจดีย์ ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความเป็นไปไม่ได้ของปัญหาที่กำหนด จะถูกกำหนดเป็น ปัญหา การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นและสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม^{[ 2 ]}

บทความในปี พ.ศ. 2533 ได้กล่าวถึงปัญหา Hi-Q ทั่วไปซึ่งเทียบเท่ากับปัญหาการเล่นไพ่โซลิแทร์แบบใช้หมุด และแสดงให้เห็นถึง ความสมบูรณ์ ของNP ^{[ 3 ]}

เอกสารฉบับปี 1996 ได้กำหนดปัญหาการเล่นไพ่โซลิแทร์แบบใช้หมุดเป็น ปัญหา การเพิ่มประสิทธิภาพเชิงการจัดเรียงและได้อภิปรายคุณสมบัติของพื้นที่ที่เป็นไปได้ที่เรียกว่า 'กรวยโซลิแทร์' ^{[ 4 ]}

ในปี พ.ศ. 2542 เกมเพ็กโซลิแทร์ได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์บนคอมพิวเตอร์โดยใช้การค้นหาอย่างละเอียดถี่ถ้วนในทุกรูปแบบที่เป็นไปได้ ซึ่งทำได้โดยใช้ประโยชน์จากสมมาตร การจัดเก็บกลุ่มกระดานอย่างมีประสิทธิภาพ และการแฮช^{[ 5 ]}

ในปี พ.ศ. 2544 ได้มีการพัฒนาวิธีการที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาเกม Peg Solitaire ^{[ 2 ]}

งานวิจัยที่ยังไม่ได้ตีพิมพ์ในปี 1989 เกี่ยวกับเกมเวอร์ชันทั่วไปบนกระดานหมากรุกแบบอังกฤษ แสดงให้เห็นว่าปัญหาที่เป็นไปได้แต่ละข้อในเกมเวอร์ชันทั่วไปมีวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกัน 2⁹ ^วิธีโดยไม่รวมความสมมาตร เนื่องจากกระดานหมากรุกแบบอังกฤษประกอบด้วยช่องย่อย 3×3 ที่แตกต่างกัน 9 ช่อง ผลที่ตามมาจากการวิเคราะห์นี้คือการกำหนดขอบเขตล่างของขนาดของปัญหา "ตำแหน่งกลับด้าน" ที่เป็นไปได้ ซึ่งช่องที่ถูกครอบครองในตอนแรกจะว่างเปล่า และในทางกลับกัน วิธีแก้ปัญหาใดๆ สำหรับปัญหาดังกล่าวจะต้องมีอย่างน้อย 11 การเคลื่อนไหว โดยไม่คำนึงถึงรายละเอียดที่แน่นอนของปัญหา

สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้พีชคณิตนามธรรมว่ามีตำแหน่งกระดานคงที่เพียง 5 ตำแหน่งเท่านั้นที่เกมสามารถจบลงได้สำเร็จโดยมีหมุดเพียงตัวเดียว^{[ 6 ]}

เฉลยเกมภาษาอังกฤษ

วิธีแก้ปัญหาที่สั้นที่สุดสำหรับเกมหมากรุกภาษาอังกฤษมาตรฐานนั้นใช้การเดินหมาก 18 ครั้ง โดยนับการกระโดดหลายครั้งเป็นการเดินหมากครั้งเดียว:

วิธีแก้ปัญหาที่สั้นที่สุดสำหรับเกม English peg solitaire
อดีต แอลเจ ck พีเอฟ ดีพี GI เจเอช เอ็มจีไอ อิก จี แอลเจเอชแอลเจเอช ซีเค พีเอฟ แอก เอ็มจีไอ ackI dpFDPp วัว ลำดับของการเดินหมากบางครั้งสามารถสลับกันได้ โปรดทราบว่า หากคุณคิดว่า ⚫ เป็นรู และ ⚪ เป็นหมุด คุณสามารถแก้ปริศนาได้โดยทำตามวิธีแก้แบบย้อนกลับ เริ่มจากภาพสุดท้ายไปยังภาพแรก อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ต้องใช้การเดินหมากมากกว่า 18 ครั้ง

วิธีแก้ปัญหานี้ถูกค้นพบในปี พ.ศ. 2455 โดย Ernest Bergholt และได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นวิธีที่สั้นที่สุดโดย John Beasley ในปี พ.ศ. 2507 ^{[ 7 ]}

วิธีแก้ปัญหาอื่นๆ ได้แก่ รายการต่อไปนี้ โดยใช้สัญลักษณ์ดังนี้

รายชื่อหลุมเริ่มต้น
พันเอก
รายการหมุดเป้าหมายสุดท้าย
เครื่องหมายเท่ากับ
จุดเริ่มต้นและจุดปลายทาง (ส่วนจุดที่ถูกข้ามไปนั้น ปล่อยให้ผู้อ่านลองคิดเอง)
หรือ / ( ใช้เครื่องหมายทับเพื่อแยก 'ส่วน' เช่น การล้างหกส่วน )

x:x=อดีต,lj,ck,Pf,DP,GI,JH,mG,GI,ik,gi,LJ,JH,Hl,lj,jh,CK,pF,AC,CK,Mg,gi,ac,ck,kI,dp,pF,FD,DP,Pp,ox x:x=ex,lj,xe/hj,Ki,jh/ai,ca,fd,hj,ai,jh/MK,gM,hL,Fp,MK,pF/CK,DF,AC,JL,CK,LJ/PD,GI,mG,JH,GI,DP/Ox j:j=lj,Ik,jl/hj,Ki,jh/mk,Gm,Hl,fP,mk,Pf/ai,ca,fd,hj,ai,jh/MK,gM,hL,Fp,MK,pF/CK,DF,AC,JL,CK,LJ/Jj i:i=ki,Jj,ik/lj,Ik,jl/AI,FD,CA,HJ,AI,JH/mk,Hl,Gm,fP,mk,Pf/ai,ca,fd,hj,ai,jh/gi,Mg,Lh,pd,gi,dp/Ki e:e=xe/lj,Ik,jl/ck,ac,df,lj,ck,jl/GI,lH,mG,DP,GI,PD/AI,FD,CA,JH,AI,HJ/pF,MK,gM,JL,MK,Fp/hj,ox,xe d:d=fd,xe,df/lj,ck,ac,Pf,ck,jl/DP,KI,PD/GI,lH,mG,DP,GI,PD/CK,DF,AC,LJ,CK,JL/MK,gM,hL,pF,MK,Fp/pd b:b=jb,lj/ck,ac,Pf,ck/DP,GI,mG,JH,GI,PD/LJ,CK,JL/MK,gM,hL,pF,MK,Fp/xo,dp,ox/xe/AI/BJ,JH,Hl,lj,jb b:x=jb,lj/ck,ac,Pf,ck/DP,GI,mG,JH,GI,PD/LJ,CK,JL/MK,gM,hL,pF,MK,Fp/xo,dp,ox/xe/AI/BJ,JH,Hl,lj,อดีต มี:a=ca,jb,ac/lj,ck,jl/Ik,pP,KI,lj,Ik,jl/GI,lH,mG,DP,GI,PD/CK,DF,AC,LJ,CK,JL/dp,gi,pd,Mg,Lh,gi/ia มี:p=ca,jb,ac/lj,ck,jl/Ik,pP,KI,lj,Ik,jl/GI,lH,mG,DP,GI,PD/CK,DF,AC,LJ,CK,JL/dp,gi,pd,Mg,Lh,gi/dp

การโจมตีด้วยกำลังอย่างโหดเหี้ยมต่อเกมไพ่โซลิแทร์แบบอังกฤษมาตรฐาน

จุดเดียวที่เป็นไปได้ที่จะมีหมุดเดี่ยวอยู่คือตรงกลาง หรือตรงกลางของขอบด้านใดด้านหนึ่ง ในการกระโดดครั้งสุดท้าย จะมีตัวเลือกให้เลือกเสมอว่าจะไปจบที่ตรงกลางหรือที่ขอบ

ต่อไปนี้เป็นตารางแสดงจำนวน ( ตำแหน่งกระดานที่เป็นไปได้) ของตำแหน่งกระดานที่เป็นไปได้หลังจากกระโดดn ครั้ง และความเป็นไปได้ที่หมุดตัวเดิมจะถูกย้ายเพื่อกระโดดต่อไป ( ไม่มีการกระโดดเพิ่มเติม ) สิ่งที่น่าสนใจคือ วิธีที่สั้นที่สุดที่จะทำให้เกมล้มเหลวคือในหก ตาเดิน และคำตอบ (นอกเหนือจากการหมุนและการสะท้อน) นั้นมีเพียงหนึ่งเดียว ตัวอย่างเช่น: 4 → 16; 23 → 9; 14 → 16; 17 → 15; 19 → 17; 31 → 23 (ในสัญลักษณ์นี้ หมุดจะถูกนับจากซ้ายไปขวา เริ่มจาก 0 และเลื่อนลงไปตามแต่ละแถวและไปทางซ้ายสุดเมื่อแต่ละแถวถูกทำเครื่องหมายแล้ว)

หมายเหตุ: หากตำแหน่งบนกระดานหนึ่งสามารถหมุนและ/หรือพลิกไปเป็นตำแหน่งอื่นได้ ตำแหน่งบนกระดานทั้งสองจะถือว่าเหมือนกัน

n	พีบีพี	เอ็นเอฟเจ
1	1	0
2	2	0
3	8	0
4	39	0
5	171	0
6	719	1
7	2,757	0
8	9,751	0
9	31,312	0
10	89,927	1

n	พีบีพี	เอ็นเอฟเจ
11	229,614	1
12	517,854	0
13	1,022,224	5
14	1,753,737	10
15	2,598,215	7
16	3,312,423	27
17	3,626,632	47
18	3,413,313	121
19	2,765,623	373
20	1,930,324	925

n	พีบีพี	เอ็นเอฟเจ
21	1,160,977	1,972
22	600,372	3,346
23	265,865	4,356
24	100,565	4,256
25	32,250	3,054
26	8,688	1,715
27	1,917	665
28	348	182
29	50	39
30	7	6

n	พีบีพี	เอ็นเอฟเจ
31	2	2

เนื่องจากมีการกระโดดได้เพียง 31 ครั้ง คอมพิวเตอร์สมัยใหม่จึงสามารถตรวจสอบตำแหน่งเกมทั้งหมดได้อย่างง่ายดายในเวลาที่เหมาะสม^{[ 8 ]}

ลำดับ "PBP" ข้างต้นถูกป้อนเป็นA112737ในOEISโปรดทราบว่าจำนวนตำแหน่งบนกระดานที่เข้าถึงได้ทั้งหมด (ผลรวมของลำดับ) คือ 23,475,688 ในขณะที่จำนวนตำแหน่งบนกระดานที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 8,589,934,590 (33 บิต-1) (2^33) ดังนั้นจึงมีเพียงประมาณ 2.2% ของตำแหน่งบนกระดานที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่านั้นที่สามารถเข้าถึงได้โดยเริ่มจากตำแหน่งตรงกลางว่างเปล่า

นอกจากนี้ยังสามารถสร้างตำแหน่งบนกระดานทั้งหมดได้ด้วย ผลลัพธ์ด้านล่างนี้ได้มาจากการใช้ ชุดเครื่องมือ mCRL2 (ดูตัวอย่าง peg_solitaire ในเอกสารประกอบ)

n	พีบีพี
1	1
2	4
3	12
4	60
5	296
6	1,338
7	5,648
8	21,842

n	พีบีพี
9	77,559
10	249,690
11	717,788
12	1,834,379
13	4,138,302
14	8,171,208
15	14,020,166
16	20,773,236

n	พีบีพี
17	26,482,824
18	28,994,876
19	27,286,330
20	22,106,348
21	15,425,572
22	9,274,496
23	4,792,664
24	2,120,101

n	พีบีพี
25	800,152
26	255,544
27	68,236
28	14,727
29	2,529
30	334
31	32
32	5

ผลลัพธ์ด้านล่างนี้ได้แสดงตำแหน่งบนกระดานทั้งหมดที่ เกมเล่น ได้จริงโดยเริ่มจากตำแหน่งตรงกลางว่างเปล่าและจบลงที่รูตรงกลาง

n	จริง
1	1
2	4
3	12
4	60
5	292
6	1,292
7	5,012
8	16,628

n	จริง
9	49,236
10	127,964
11	285,740
12	546,308
13	902,056
14	1,298,248
15	1,639,652
16	1,841,556

n	จริง
17	1,841,556
18	1,639,652
19	1,298,248
20	902,056
21	546,308
22	285,740
23	127,964
24	49,236

n	จริง
25	16,628
26	5,012
27	1,292
28	292
29	60
30	12
31	4
32	1

แนวทางการแก้ปัญหาเกมยุโรป

มีตำแหน่งเริ่มต้นที่ไม่สอดคล้องกัน 3 ตำแหน่งที่มีคำตอบ^{[ 9 ]}ได้แก่:

1)

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

5

6

ตำแหน่งเริ่มต้นที่สามารถแก้ไขได้ของยุโรป 1

วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้: [2:2-0:2, 2:0-2:2, 1:4-1:2, 3:4-1:4, 3:2-3:4, 2:3-2:1, 5:3-3:3, 3:0-3:2, 5:1-3:1, 4:5-4:3, 5:5-5:3, 0:4-2:4, 2:1-4:1, 2:4-4:4, 5:2-5:4, 3:6-3:4, 1:1-1:3, 2:6-2:4, 0:3-2:3, 3:2-5:2, 3:4-3:2, 6:2-4:2, 3:2-5:2, 4:0-4:2, 4:3-4:1, 6:4-6:2, 6:2-4:2, 4:1-4:3, 4:3-4:5, 4:6-4:4, 5:4-3:4, 3:4-1:4, 1:5-1:3, 2:3-0:3, 0:2-0:4]

2)

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

5

6

ตำแหน่งเริ่มต้นที่สามารถแก้ไขได้ของยุโรป 2

วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้: [1:1-1:3, 3:2-1:2, 3:4-3:2, 1:4-3:4, 5:3-3:3, 4:1-4:3, 2:1-4:1, 2:6-2:4, 4:4-4:2, 3:4-1:4, 3:2-3:4, 5:1-3:1, 4:6-2:6, 3:0-3:2, 4:5-2:5, 0:2-2:2, 2:6-2:4, 6:4-4:4, 3:4-5:4, 2:3-2:1, 2:0-2:2, 1:4-3:4, 5:5-5:3, 6:3-4:3, 4:3-4:1, 6:2-4:2, 3:2-5:2, 4:0-4:2, 5:2-3:2, 3:2-1:2, 1:2-1:4, 0:4-2:4, 3:4-1:4, 1:5-1:3, 0:3-2:3]

3)

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

5

6

ตำแหน่งเริ่มต้นที่สามารถแก้ไขได้ของยุโรป 3

วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้: [2:1-2:3, 0:2-2:2, 4:1-2:1, 4:3-4:1, 2:3-4:3, 1:4-1:2, 2:1-2:3, 0:4-0:2, 4:4-4:2, 3:4-1:4, 6:3-4:3, 1:1-1:3, 4:6-4:4, 5:1-3:1, 2:6-2:4, 1:4-1:2, 0:2-2:2, 3:6-3:4, 4:3-4:1, 6:2-4:2, 2:3-2:1, 4:1-4:3, 5:5-5:3, 2:0-2:2, 2:2-4:2, 3:4-5:4, [4:3-4:1, 3:0-3:2, 6:4-4:4, 4:0-4:2, 3:2-5:2, 5:2-5:4, 5:4-3:4, 3:4-1:4, 1:5-1:3]

บอร์ดรุ่นต่างๆ

เกม Peg solitaire สามารถเล่นบนกระดานขนาดอื่นได้เช่นกัน แม้ว่าสองขนาดที่กล่าวมาข้างต้นจะเป็นที่นิยมมากที่สุดก็ตาม นอกจากนี้ยังสามารถเล่นบนกระดานสามเหลี่ยมได้ โดยอนุญาตให้กระโดดได้ในทุกทิศทางทั้ง 3 ทิศทาง ตราบใดที่รูปแบบนั้นมี “ความเท่าเทียมกัน” ที่เหมาะสมและมีขนาดใหญ่พอ ก็อาจจะสามารถแก้ได้ ในปี 2025 ยูทูบเบอร์Michael Stevensได้วางรูปแบบต่างๆ เหล่านี้ไว้บนกระดานเดียว เขาเรียกมันว่า “Omnijump” ^{[ 10 ]}

รูปแบบสามเหลี่ยมทั่วไปมีหมุดห้าตัวอยู่ด้านละห้าตัว วิธีแก้ปัญหาที่หมุดตัวสุดท้ายไปตกอยู่ในรูว่างเริ่มต้นนั้นเป็นไปไม่ได้สำหรับรูที่อยู่ตรงกลางสามตำแหน่ง การจัดวางรูว่างที่มุมสามารถแก้ไขได้ในสิบตาเดิน และการจัดวางรูว่างตรงกลางด้านสามารถแก้ไขได้ในเก้าตาเดิน (เบลล์ 2008)

วิธีแก้ปัญหาที่สั้นที่สุดสำหรับรูปแบบสามเหลี่ยม
เริ่ม 11-13 14-12 4-13 1-4 3-8 10-3 7-2 12-14 15-13-6-1-4-13 วิธีแก้ปัญหาที่สั้นที่สุดสำหรับรูปแบบสามเหลี่ยม

วิดีโอเกม

เมื่อวันที่ 26 มิถุนายน 1992 เกมวิดีโอที่ดัดแปลงมาจากเกมไพ่โซลิแทร์ (Peg Solitaire) ได้วางจำหน่ายสำหรับเครื่องGame Boyโดยใช้ชื่อว่าSolitaireพัฒนาโดยบริษัท Hect ส่วนในอเมริกาเหนือ บริษัท DTMC ได้วางจำหน่ายในชื่อLazlos' Leap

เกม Professor Layton and the Diabolical Boxมีปริศนาหกข้อที่ขอให้ผู้เล่นแก้กระดานหมากรุกแบบอังกฤษจากตำแหน่งเริ่มต้นที่แตกต่างกัน โดยข้อสุดท้ายจะเป็นรูปแบบดั้งเดิม

ในวัฒนธรรมสมัยนิยม

เกมShivers บนพีซี เป็นเกมไขปริศนาแบบชี้และคลิกในธีมสยองขวัญ มีปริศนา/เกมมากมายให้ผู้เล่นได้ไข ปริศนาที่เรียกว่า " หมากรุกจีน " นั้น แท้จริงแล้วคือเกมเรียงตัวหมากแบบเดี่ยว

ร้าน Cracker Barrelมีเกมนี้ให้บริการที่ทุกโต๊ะในทุกสาขา กระดานเกมเป็นรูปสามเหลี่ยม มีทั้งหมด 15 หลุม

ในภาพยนตร์ Cowboy Bebop: The Movieตัวร้ายหลักอย่าง วินเซนต์ โวลาฮู ใช้เวลาว่างส่วนใหญ่เล่นเกมไพ่เพ็กโซลิแทร์ โดยตัวนำพาแผนการ ก่อการร้าย ทางชีวภาพ ของเขา ซึ่งเป็น นาโนบอทชนิดหนึ่งถูกเก็บไว้ในลูกแก้วของเกมไพ่เพ็กโซลิแทร์

อ่านเพิ่มเติม

บีสลีย์, จอห์น ดี. (1985), รายละเอียดปลีกย่อยของเกมไพ่ Peg Solitaire , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด , ISBN 978-0198532033
Bell, GI (2008), "การแก้ปัญหาเกมไพ่สามเหลี่ยมแบบโซลิแทร์", Journal of Integer Sequences , 11 : บทความ 08.4.8, arXiv : math.CO/0703865 , Bibcode : 2007math......3865B.
Bruijn, NG de (1972), "เกมเล่นคนเดียวและความสัมพันธ์กับฟิลด์จำกัด" (PDF) , Journal of Recreational Mathematics , 5 : 133– 137, เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อ 2022-10-09
Cross, DC (1968), "เกมไพ่โซลิแทร์สี่เหลี่ยมและรูปแบบต่างๆ", วารสารคณิตศาสตร์เพื่อการพักผ่อนหย่อนใจ , 1 : 121– 123
การ์ดเนอร์, เอ็ม. , "เกมคณิตศาสตร์", ไซเอนทิสติก อเมริกัน206 (6): 156–166, มิถุนายน 2505; 214 (2): 112–113, กุมภาพันธ์ 2509; 214 (5): 127, พฤษภาคม 2509
Jefferson, Chris และ คณะ (ตุลาคม 2549), "การสร้างแบบจำลองและการแก้ปัญหา English Peg Solitaire", Computers & Operations Research , 33 (10): 2935– 2959, CiteSeerX 10.1.1.5.7805 , doi : 10.1016/j.cor.2005.01.018

ลิงก์ภายนอก

Bogomolny, Alexander, "Peg Solitaire and Group Theory" , Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles , สืบค้นเมื่อ7 กันยายน 2018
White Pixels (24 ตุลาคม 2017), Peg Solitaire: วิธีแก้แบบสมมาตรที่จำง่าย (วิดีโอ), YouTube, เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2021-12-11

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

เพ็กโซลิแทร์

กระดาน

เล่น

กลยุทธ์

การศึกษาเกี่ยวกับเกมไพ่โซลิแทร์แบบใช้หมุด

เฉลยเกมภาษาอังกฤษ

การโจมตีด้วยกำลังอย่างโหดเหี้ยมต่อเกมไพ่โซลิแทร์แบบอังกฤษมาตรฐาน

แนวทางการแก้ปัญหาเกมยุโรป

บอร์ดรุ่นต่างๆ

วิดีโอเกม

ในวัฒนธรรมสมัยนิยม

อ่านเพิ่มเติม

ลิงก์ภายนอก

ข้อมูลสำคัญจากบทความ