ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทมาร์คอฟให้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเปีย สองอัน ที่จะมีการปิดที่เทียบเท่ากับปมหรือการเชื่อมโยงเงื่อนไขเหล่านี้ระบุไว้ในแง่ของ โครงสร้าง กลุ่มบนเปีย

เส้นถักเป็นวัตถุพีชคณิตที่อธิบายด้วยแผนภาพ ความสัมพันธ์กับโทโพโลยีกำหนดโดยทฤษฎีบทของอเล็กซานเดอร์ซึ่งระบุว่าปมหรือเส้นเชื่อม ทุกเส้นใน ปริภูมิยูคลิดสามมิติเป็นส่วนปิดของเส้นถักทฤษฎีบทของมาร์คอฟซึ่งพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียAndrei Andreevich Markov Jr. ^{[ 1 ]}อธิบายการเคลื่อนไหวพื้นฐานที่สร้างความสัมพันธ์สมมูลบนเส้นถักที่กำหนดโดยความสมมูลของส่วนปิดของเส้นถักเหล่านั้น

ทฤษฎีบทของ Markov สามารถระบุได้อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นดังนี้: ^{[ 2 ] [ 3 ]}กำหนดให้ถักเปียสองเส้นที่แสดงด้วยองค์ประกอบ${\displaystyle \beta _{n},\beta _{m}'}$ในกลุ่มถักเปีย${\displaystyle B_{n},B_{m}}$การปิดของพวกมันจะเป็นการเชื่อมโยงที่เทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \beta _{m}'}$สามารถขอรับได้จากการสมัคร${\displaystyle \beta _{n}}$ลำดับของการดำเนินการดังต่อไปนี้:

1. การผันคำ${\displaystyle \beta _{n}}$ใน${\displaystyle B_{n}}$;
2. แทนที่${\displaystyle \beta _{n}}$โดย${\displaystyle \beta _{n}\sigma _{n}^{\pm 1}\in B_{n+1}}$(ที่นี่${\displaystyle \sigma _{i}}$เส้นเหล่านี้เป็นตัวสร้างมาตรฐานของกลุ่มถักเปีย ในทางเรขาคณิตแล้วหมายความว่าต้องเพิ่มเส้นใยทางด้านขวาของแผนภาพถักเปีย แล้วบิดเส้นใยนั้นหนึ่งครั้งกับเส้นใยสุดท้าย (ก่อนหน้านี้)
3. การดำเนินการผกผันของการดำเนินการก่อนหน้า (ถ้า${\displaystyle \beta _{n}=\beta _{n-1}\sigma _{n-1}^{\pm 1}}$กับ${\displaystyle \beta _{n-1}\in B_{n-1}}$แทนที่ด้วย${\displaystyle \beta _{n-1}}$)

ในปี พ.ศ. 2517 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันJoan Birmanได้ตีพิมพ์เอกสารทางวิชาการชื่อBraids, Links, and Mapping Class Groupsซึ่งอิงจากหลักสูตรระดับบัณฑิตศึกษาที่เธอสอนในฐานะอาจารย์รับเชิญที่มหาวิทยาลัยพรินซ์ตันในปี พ.ศ. 2514–2515 หนังสือเล่มนี้ประกอบด้วยการพิสูจน์ทฤษฎีบท Markov อย่างสมบูรณ์เป็นครั้งแรก^{[ 4 ]}