ในทฤษฎีสนามควอนตัมช่องว่างมวลคือความแตกต่างของพลังงานระหว่างสถานะพลังงาน ต่ำสุด คือ สุญญากาศ และสถานะพลังงานถัดไปที่ต่ำที่สุด พลังงานของสุญญากาศเป็นศูนย์ตามนิยาม และสมมติว่าสถานะพลังงานทั้งหมดสามารถมองได้ว่าเป็นอนุภาคในคลื่นระนาบ ช่องว่างมวลจึงเป็นมวลของอนุภาคที่เบาที่สุด

เนื่องจากพลังงานของสถานะ พลังงานที่แน่นอน (กล่าวคือ ไม่ใช่แบบรบกวน) กระจายออกไปและดังนั้นจึงไม่ใช่สถานะพลังงานที่แท้จริง คำจำกัดความที่แม่นยำกว่าคือ ช่องว่างมวลคือขอบล่างสูงสุดของพลังงานของสถานะใดๆ ที่ตั้งฉากกับสุญญากาศ

ปรากฏการณ์ที่เทียบเคียงได้กับช่องว่างมวลในฟิสิกส์หลายอนุภาคบนโครงตาข่าย แบบไม่ต่อเนื่อง เกิดขึ้นจาก แฮมิ ล โทเนียนที่มีช่องว่าง

สำหรับสนามควอนตัมค่าจริงที่กำหนดโดยที่เราสามารถกล่าวได้ว่าทฤษฎีนั้นมีช่องว่างมวล ถ้าฟังก์ชันสองจุดมีคุณสมบัติดังกล่าว ${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle x=({\boldsymbol {x}},t)}$

$${\displaystyle \langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)}$$

โดยเป็นค่าพลังงานต่ำสุดในสเปกตรัมของแฮมิลโทเนียน และด้วยเหตุนี้จึงเป็นช่องว่างมวล ปริมาณนี้ง่ายต่อการขยายไปสู่ฟิลด์อื่น ๆ และโดยทั่วไปจะวัดในการคำนวณแลตทิซ พิสูจน์ได้ด้วยวิธีนี้ว่าทฤษฎี Yang–Millsพัฒนาช่องว่างมวลบนแลตทิซ^{[ 1 ] [ 2 ]}ค่าที่เรียงลำดับตามเวลาที่ สอดคล้องกัน ตัวแพร่จะมีคุณสมบัติ ${\displaystyle \Delta _{0}>0}$

$${\displaystyle \lim _{p\rightarrow 0}\Delta (p)=\mathrm {constant} }$$

โดยที่ค่าคงที่นั้นมีค่าจำกัด ตัวอย่างทั่วไปคืออนุภาคที่มีมวลอิสระ และในกรณีนี้ ค่าคงที่จะมีค่าเท่ากับ 1/ m²ในขีดจำกัดเดียวกัน ตัวแพร่สำหรับอนุภาคไร้มวลจะมีค่าเอก ^ฐาน

ตัวอย่างของช่องว่างมวลที่เกิดขึ้นสำหรับทฤษฎีไร้มวล แม้ในระดับคลาสสิก สามารถพบได้ในการแตกสมมาตรโดยธรรมชาติหรือกลไกฮิกส์ในกรณีแรก เราต้องรับมือกับการปรากฏตัวของอนุภาคกระตุ้นไร้มวล โบซอนโกลด์สโตนซึ่งถูกกำจัดไปในกรณีหลังเนื่องจากความเป็นอิสระของเกจ การควอน ตัม ช่วยรักษาสมบัติความเป็นอิสระของเกจนี้ไว้

ทฤษฎีสนามสเกลาร์ไร้มวลระดับควอติกพัฒนาช่องว่างมวลขึ้นมาแล้วที่ระดับคลาสสิก พิจารณาสมการต่อไปนี้

$${\displaystyle \Box \phi +\lambda \phi ^{3}=0.}$$

สมการนี้มีคำตอบที่แน่นอน

$${\displaystyle \phi (x)=\mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{\frac {1}{4}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,-1\right)}$$ —โดยที่และเป็นค่าคงที่ของการอินทิเกรต และ sn เป็นฟังก์ชันเชิงวงรีของจาโคบี —โดยมีเงื่อนไขว่า ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle p^{2}=\mu ^{2}{\sqrt {\frac {\lambda }{2}}}.}$$

ในระดับคลาสสิก ช่องว่างมวลปรากฏขึ้น ในขณะที่ในระดับควอนตัม จะมีหอคอยแห่งการกระตุ้นและคุณสมบัติของทฤษฎีนี้ยังคงอยู่หลังจากการควอนตัมในขีดจำกัดของโมเมนตัมที่เข้าใกล้ศูนย์^{[ 3 ]}

แม้ว่าการคำนวณแบบแลตติซจะชี้ให้เห็นว่าทฤษฎีของหยาง-มิลส์มีช่องว่างมวลและลำดับชั้นของการกระตุ้นอยู่จริง แต่ก็ยังขาดหลักฐานเชิงทฤษฎีอยู่ นี่เป็นหนึ่งในปัญหาแห่งสหัสวรรษ ของ สถาบันเคลย์ และยังคงเป็นปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข สถานะดังกล่าวสำหรับทฤษฎีของหยาง-มิลส์ควรเป็นสถานะทางกายภาพที่เรียกว่ากลูบอลและควรสังเกตได้ในห้องปฏิบัติการ

หากการแสดงสเปกตรัมของ Källén–Lehmannเป็นจริง ในขั้นตอนนี้เราจะไม่รวมทฤษฎีเกจฟังก์ชันความหนาแน่นสเปกตรัมสามารถมีรูปแบบที่เรียบง่ายมาก โดยมีสเปกตรัมแบบไม่ต่อเนื่องเริ่มต้นด้วยช่องว่างมวล

$${\displaystyle \rho (\mu ^{2})=\sum _{n=1}^{N}Z_{n}\delta (\mu ^{2}-m_{n}^{2})+\rho _{c}(\mu ^{2})}$$

โดยเป็นการมีส่วนร่วมจากส่วนของสเปกตรัมที่มีอนุภาคหลายตัว ในกรณีนี้ ตัวแพร่กระจายจะมีรูปแบบที่เรียบง่าย ${\displaystyle \rho _{c}(\mu ^{2})}$

$${\displaystyle \Delta (p)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {Z_{n}}{p^{2}-m_{n}^{2}+i\epsilon }}+\int _{4m_{N}^{2}}^{\infty }d\mu ^{2}\rho _{c}(\mu ^{2}){\frac {1}{p^{2}-\mu ^{2}+i\epsilon }}}$$

โดยประมาณแล้ว ถือเป็นจุดเริ่มต้นของภาคส่วนอนุภาคหลายตัว ทีนี้ มาใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า ${\displaystyle 4m_{N}^{2}}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})=1}$$

เราจึงได้ข้อสรุปต่อไปนี้สำหรับค่าคงที่ในความหนาแน่นสเปกตรัม

$${\displaystyle 1=\sum _{n=1}^{N}Z_{n}+\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho _{c}(\mu ^{2})}$$.

สิ่งนี้ไม่น่าจะเป็นจริงในทฤษฎีเกจตรงกันข้าม ต้องพิสูจน์ว่าการแสดงแทนแบบ Källén–Lehmann สำหรับตัวแพร่กระจายนั้นใช้ได้กับกรณีนี้ด้วย การไม่มีส่วนประกอบของอนุภาคหลายตัวหมายความว่าทฤษฎีนั้นเป็นทฤษฎีที่ไม่สำคัญเนื่องจากไม่มีสถานะผูกพันปรากฏในทฤษฎี ดังนั้นจึงไม่มีปฏิสัมพันธ์ แม้ว่าทฤษฎีจะมีช่องว่างมวลก็ตาม ในกรณีนี้ เราจะได้ตัวแพร่กระจายที่กำหนด ค่า ในสูตรข้างต้น ได้ทันที${\displaystyle \rho _{c}(\mu ^{2})=0}$

• ทฤษฎีบทโคลแมน-แมนดูลา
• ทฤษฎีสนามสเกลาร์

• Sadun, Lorenzo. Yang-Mills และช่องว่างมวล.วิดีโอบรรยายสรุปเกี่ยวกับลักษณะของปัญหาช่องว่างมวลภายในสูตร Yang-Mills. เก็บถาวรเมื่อ 2020-11-05 ที่Wayback Machine
• ช่องว่างมวลสำหรับทฤษฎีสนามสเกลาร์ใน Dispersive Wiki
• "การบรรยายของวิทเทนเกี่ยวกับปัญหาช่องว่างมวลในทฤษฎีควอนตัมยัง-มิลส์ 3 มิติ" YouTube ฟรานซิส วิลลาโตโร 1 สิงหาคม 2555