เรขาคณิตจุดมวลหรือที่เรียกกันทั่วไปว่าจุดมวลเป็นเทคนิคการแก้ปัญหาในเรขาคณิตที่ใช้หลักการทางฟิสิกส์ของจุดศูนย์กลางมวลกับปัญหาทางเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมและเซเวียนที่ ตัดกัน ^{[ 1 ]} ปัญหาทั้งหมดที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้เรขาคณิตจุดมวล สามารถแก้ไขได้โดยใช้รูปสามเหลี่ยมคล้ายกันเวกเตอร์หรืออัตราส่วนพื้นที่^{[ 2 ]}แต่นักเรียนหลายคนชอบใช้จุดมวล แม้ว่าเรขาคณิตจุดมวลสมัยใหม่จะได้รับการพัฒนาขึ้นในช่วงทศวรรษ 1960 โดยนักเรียนมัธยมปลายในนิวยอร์ก^{[ 3 ]} แต่ แนวคิดนี้พบว่าถูกนำมาใช้ตั้งแต่ปี 1827 โดยออกัสต์ เฟอร์ดินานด์ โมเบียสในทฤษฎีพิกัดเอกพันธุ์ ของเขา ^{[ 4 ]}

ทฤษฎีของจุดมวลถูกกำหนดตามคำจำกัดความต่อไปนี้: ^{[ 5 ]}

• จุดมวล - จุดมวลคือคู่ของจุด ( หรือเขียนอีกแบบว่า) ที่ประกอบด้วยมวล ( ) และจุดธรรมดาบนระนาบ${\displaystyle (m,P)}$${\displaystyle mP}$${\displaystyle m}$${\displaystyle P}$
• ความบังเอิญ - เรากล่าวว่าจุดสองจุดและตรงกันก็ต่อเมื่อและเท่านั้น${\displaystyle mP}$${\displaystyle nQ}$${\displaystyle m=n}$${\displaystyle P=Q}$
• การบวก - ผลรวมของจุดมวลสองจุดและมีมวลและจุดโดยที่เป็นจุด บนกราฟที่ทำให้ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือจุดหมุนที่สมดุลจุดและ อย่าง สมบูรณ์ ตัวอย่างของการบวกจุดมวลแสดงอยู่ทางด้านขวา การบวกจุดมวลเป็นเซตปิดเซตสลับที่และเซตจัดกลุ่มได้${\displaystyle mP}$${\displaystyle nQ}$${\displaystyle m+n}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle PQ}$${\displaystyle PR:RQ=n:m}$${\displaystyle R}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$
• การคูณด้วยสเกลาร์ - เมื่อกำหนดจุดมวล และ สเกลาร์จริงบวกเรากำหนดการคูณให้เป็นการคูณจุดมวลกับสเกลาร์นั้นมี คุณสมบัติการกระจาย ตัวเหนือการบวกจุดมวล${\displaystyle mP}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k(m,P)=(km,P)}$

ขั้นแรก กำหนดมวลให้กับจุดแต่ละจุด (ส่วนใหญ่จะเป็นจำนวนเต็ม แต่ขึ้นอยู่กับโจทย์) ในลักษณะเดียวกับที่มวลอื่นๆ ก็เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน หลักการคำนวณคือ ฐานของเส้นโค้งเซเวียน (cevian) คือผลรวม (ที่นิยามไว้ข้างต้น) ของจุดยอดทั้งสอง (ซึ่งเป็นจุดปลายของด้านที่ฐานอยู่) สำหรับเส้นโค้งเซเวียนแต่ละเส้น จุดร่วมคือผลรวมของจุดยอดและฐาน จากนั้นจึงสามารถคำนวณอัตราส่วนความยาวแต่ละค่าได้จากมวลที่จุดเหล่านั้น ดูตัวอย่างได้ในโจทย์ข้อที่หนึ่ง

การแบ่งมวลเป็นวิธีการที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย ซึ่งจำเป็นเมื่อโจทย์มีเส้นตัดขวางนอกเหนือจากเซเวียน จุดยอดใดๆ ที่อยู่ทั้งสองด้านของเส้นตัดขวางจะมีมวลที่แบ่งแล้วจุดที่มีมวลที่แบ่งแล้วอาจถือได้ว่าเป็นจุดมวลปกติ ยกเว้นว่ามันมีมวลสามค่า: ค่าหนึ่งใช้สำหรับแต่ละด้านที่มันอยู่ และอีกค่าหนึ่งเป็นผลรวมของ มวล ที่แบ่งแล้ว อีกสอง ค่าและใช้สำหรับเซเวียนใดๆ ที่มันอาจมี ดูตัวอย่างในโจทย์ข้อที่สอง

• ทฤษฎีบทของรูธ - ปัญหาหลายข้อที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมที่มีเซเวียนมักจะถามถึงพื้นที่ และจุดมวลไม่ได้ให้วิธีการคำนวณพื้นที่ อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทของรูธซึ่งควบคู่ไปกับจุดมวล ใช้สัดส่วนของความยาวในการคำนวณอัตราส่วนของพื้นที่ระหว่างสามเหลี่ยมกับสามเหลี่ยมที่เกิดจากเซเวียนสามตัว
• เซเวียนพิเศษ - เมื่อกำหนดเซเวียนที่มีคุณสมบัติพิเศษ เช่น เส้นแบ่งครึ่งมุมหรือเส้นความสูงอาจใช้ทฤษฎีบทอื่นควบคู่ไปกับเรขาคณิตจุดมวลเพื่อกำหนดอัตราส่วนความยาว ทฤษฎีบทที่ใช้กันทั่วไปอย่างหนึ่งคือทฤษฎีบทเส้นแบ่งครึ่งมุม
• ทฤษฎีบทของสจ๊วต - เมื่อไม่ได้ถามถึงอัตราส่วนของความยาว แต่ถามถึงความยาวจริง ๆทฤษฎีบทของสจ๊วตสามารถใช้เพื่อกำหนดความยาวของส่วนทั้งหมดได้ จากนั้นจึงใช้จุดมวลเพื่อกำหนดอัตราส่วนและด้วยเหตุนี้จึงกำหนดความยาวที่จำเป็นของส่วนต่าง ๆ ได้
• มิติที่สูงกว่า - วิธีการที่ใช้ในเรขาคณิตจุดมวลไม่ได้จำกัดอยู่แค่สองมิติเท่านั้น วิธีการเดียวกันนี้อาจใช้ในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า หรือแม้แต่รูปทรงที่มีมิติสูงกว่า แม้ว่าจะเป็นเรื่องยากที่จะพบปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสี่มิติขึ้นไปที่ต้องใช้จุดมวลก็ตาม

โจทย์.ในรูปสามเหลี่ยมอยู่บนโดยที่และอยู่บนโดยที่ถ้าและตัดกันที่และเส้นตรงตัดกันที่จงคำนวณและ. ${\displaystyle ABC}$${\displaystyle E}$${\displaystyle AC}$${\displaystyle CE=3AE}$${\displaystyle F}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle BF=3AF}$${\displaystyle BE}$${\displaystyle CF}$${\displaystyle O}$${\displaystyle AO}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle D}$${\displaystyle {\tfrac {OB}{OE}}}$${\displaystyle {\tfrac {OD}{OA}}}$

วิธีแก้ปัญหาเราอาจกำหนดมวลของจุดให้เป็น โดยพลการ โดยใช้สัดส่วนของความยาว มวลที่และต้องเป็น ทั้งคู่โดยการรวมมวล มวลที่และต้องเป็น ทั้งคู่ยิ่งไปกว่านั้น มวลที่คือทำให้มวลที่ต้องเป็น ดังนั้นและดูแผนภาพทางด้านขวา ${\displaystyle A}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle O}$${\displaystyle 4+1=5}$${\displaystyle D}$${\displaystyle 5-3=2}$${\displaystyle {\tfrac {OB}{OE}}}$${\displaystyle =4}$${\displaystyle {\tfrac {OD}{OA}}={\tfrac {3}{2}}}$

โจทย์.ในรูปสามเหลี่ยม, , , และอยู่บนเส้น ตรง , , และตามลำดับ โดยที่, , และ. ถ้าและตัดกันที่จุดจงคำนวณและ. ${\displaystyle ABC}$${\displaystyle D}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle CA}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle AE=AF=CD=2}$${\displaystyle BD=CE=3}$${\displaystyle BF=5}$${\displaystyle DE}$${\displaystyle CF}$${\displaystyle O}$${\displaystyle {\tfrac {OD}{OE}}}$${\displaystyle {\tfrac {OC}{OF}}}$

วิธีแก้ปัญหาเนื่องจากปัญหานี้เกี่ยวข้องกับเส้นตัดขวาง เราจึงต้องใช้มวลที่แบ่งที่จุดเราอาจกำหนดมวลของจุดให้เป็น โดยพลการ โดยใช้สัดส่วนของความยาว มวลที่ต้องเป็นและมวลที่จะถูกแบ่งไปทางและไปทางเมื่อรวมมวล เราจะได้มวลที่, , และเป็น, , และตามลำดับ ดังนั้นและ. ${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 15}$${\displaystyle B}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle C}$${\displaystyle 10}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 9}$${\displaystyle B}$${\displaystyle D}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle 15}$${\displaystyle 25}$${\displaystyle 21}$${\displaystyle {\tfrac {OD}{OE}}={\tfrac {25}{15}}={\tfrac {5}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {OC}{OF}}={\tfrac {21}{10+9}}={\tfrac {21}{19}}}$

โจทย์ในรูปสามเหลี่ยมจุดและอยู่บนด้านและตามลำดับ และจุดและอยู่บนด้านโดยที่อยู่ระหว่างและเส้น ตัดกันที่จุดและเส้นตัดกันที่จุดถ้า, , และจงคำนวณ ${\displaystyle ABC}$${\displaystyle D}$${\displaystyle E}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle CA}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle B}$${\displaystyle BE}$${\displaystyle CF}$${\displaystyle O_{1}}$${\displaystyle BE}$${\displaystyle DG}$${\displaystyle O_{2}}$${\displaystyle FG=1}$${\displaystyle AE=AF=DB=DC=2}$${\displaystyle BG=CE=3}$${\displaystyle {\tfrac {O_{1}O_{2}}{BE}}}$

วิธีแก้ปัญหาปัญหานี้เกี่ยวข้องกับจุดตัดกลางสองจุด คือและดังนั้นเราต้องใช้ระบบหลายระบบ ${\displaystyle O_{1}}$${\displaystyle O_{2}}$

• ระบบที่หนึ่งสำหรับระบบแรก เราจะเลือกเป็นจุดศูนย์กลาง และด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถละเว้นส่วนและจุด, , และได้ เราอาจกำหนดมวลที่ให้เป็น โดยพลการ และโดยอัตราส่วนของความยาว มวลที่และจะเป็นและตามลำดับ เมื่อรวมมวล เราจะได้มวลที่, , และเป็น 10, 9 และ 13 ตามลำดับดังนั้นและ${\displaystyle O_{1}}$${\displaystyle DG}$${\displaystyle D}$${\displaystyle G}$${\displaystyle O_{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle O_{1}}$${\displaystyle {\tfrac {EO_{1}}{BO_{1}}}={\tfrac {3}{10}}}$${\displaystyle {\tfrac {EO_{1}}{BE}}={\tfrac {3}{13}}}$
• ระบบที่สองสำหรับระบบที่สอง เราจะเลือกเป็นจุดศูนย์กลาง และด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถละเว้นส่วนของเส้นตรงและจุดและได้ เนื่องจากระบบนี้เกี่ยวข้องกับเส้นตัดขวาง เราจึงต้องใช้มวลที่แบ่งไว้ที่จุดเราอาจกำหนดมวลที่ให้เป็น โดยพลการ และโดยอัตราส่วนของความยาว มวลที่คือและมวลที่ จะ ถูกแบ่งไปทางและ 2 ไปทางโดยการรวมมวล เราจะได้มวลที่, , และเป็น 4, 6 และ 10 ตามลำดับ ดังนั้นและ${\displaystyle O_{2}}$${\displaystyle CF}$${\displaystyle F}$${\displaystyle O_{1}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle C}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle B}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle G}$${\displaystyle O_{2}}$${\displaystyle {\tfrac {BO_{2}}{EO_{2}}}={\tfrac {5}{3+2}}=1}$${\displaystyle {\tfrac {BO_{2}}{BE}}={\tfrac {1}{2}}}$
• ระบบดั้งเดิมตอนนี้เรารู้สัดส่วนทั้งหมดที่จำเป็นในการประกอบสัดส่วนที่เราต้องการแล้ว คำตอบสุดท้ายสามารถพบได้ดังนี้:$${\displaystyle {\tfrac {O_{1}O_{2}}{BE}}={\tfrac {BE-BO_{2}-EO_{1}}{BE}}=1-{\tfrac {BO_{2}}{BE}}-{\tfrac {EO_{1}}{BE}}=1-{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {3}{13}}={\tfrac {7}{26}}.}$$

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตจุดมวลในวิกิมีเดียคอมมอนส์