The material point method (MPM) is a numerical technique used to simulate the behavior of solids, liquids, gases, and any other continuum material. Especially, it is a robust spatial discretization method for simulating multi-phase (solid-fluid-gas) interactions. In the MPM, a continuum body is described by a number of small Lagrangian elements referred to as 'material points'. These material points are surrounded by a background mesh/grid that is used to calculate terms such as the deformation gradient. Unlike other mesh-based methods like the finite element method, finite volume method or finite difference method, the MPM is not a mesh based method and is instead categorized as a meshless/meshfree or continuum-based particle method, examples of which are smoothed particle hydrodynamics and peridynamics. Despite the presence of a background mesh, the MPM does not encounter the drawbacks of mesh-based methods (high deformation tangling, advection errors etc.) which makes it a promising and powerful tool in computational mechanics.

The MPM was originally proposed, as an extension of a similar method known as FLIP (a further extension of a method called PIC) to computational solid dynamics, in the early 1990 by Professors Deborah L. Sulsky, Zhen Chen and Howard L. Schreyer at University of New Mexico. After this initial development, the MPM has been further developed both in the national labs as well as the University of New Mexico, Oregon State University, University of Utah and more across the US and the world. Recently the number of institutions researching the MPM has been growing with added popularity and awareness coming from various sources such as the MPM's use in the Disney film Frozen.

An MPM simulation consists of the following stages:

(Prior to the time integration phase)

1. Initialization of grid and material points.
   1. A geometry is discretized into a collection of material points, each with its own material properties and initial conditions (velocity, stress, temperature, etc.)
   2. The grid, being only used to provide a place for gradient calculations is normally made to cover an area large enough to fill the expected extent of computational domain needed for the simulation.

(During the time integration phase - explicit formulation)

1. Material point quantities are extrapolated to grid nodes.
   1. มวลจุดของวัสดุ ( ), โมเมนตัม ( ), ความเค้น ( ) และแรงภายนอก ( ) จะถูกขยายไปยังโหนดที่มุมของเซลล์ซึ่งจุดของวัสดุตั้งอยู่ โดยทั่วไปแล้วจะทำโดยใช้ฟังก์ชันรูปร่างเชิงเส้นมาตรฐาน ( ) ซึ่งเป็นฟังก์ชันเดียวกับที่ใช้ใน FEM${\textstyle m_{mp}}$${\textstyle {\vec {P_{mp}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\bar {\bar {\sigma }}}}_{mp}}$${\displaystyle {\vec {b}}}$${\textstyle N_{nd-mp}}$
   2. ตารางใช้ค่าจุดวัสดุเพื่อสร้างมวล ( ), ความเร็ว ( ), เวกเตอร์แรงภายในและภายนอก ( , ) สำหรับโหนด:${\textstyle M_{node}}$${\textstyle {\vec {V_{โหนด}}}}$${\textstyle {\vec {F_{node}^{\mathsf {ภายใน}}}}}$${\textstyle {\vec {F_{node}^{\mathsf {ภายนอก}}}}}$$${\displaystyle M_{node}=\sum _{mp}m_{mp}~~N_{mp-nd}}$$$${\displaystyle {\vec {V_{node}}}={1 \over M_{node}}~~\sum _{mp}{\vec {P_{mp}}}~~N_{mp-nd}}$$${\displaystyle {\vec {F_{node}^{\mathsf {internal}}}}=\sum _{mp}~~{\bar {\bar {\sigma }}}_{mp}~~\nabla N_{mp-nd}}$$${\displaystyle {\vec {F_{node}^{\mathsf {external}}}}=\sum _{mp}{\vec {b}}~~N_{mp-nd}}$$
2. สมการการเคลื่อนที่ถูกแก้บนตารางกริด
   1. กฎข้อที่ 2 ของนิวตันได้รับการแก้ไขเพื่อให้ได้ความเร่งที่จุดต่อ ( )${\displaystyle {\vec {A_{โหนด}}}}$$${\displaystyle {\vec {A_{node}}}={\vec {F_{node}^{external}+{\vec {F_{node}^{internal}}} \over M_{node}}}}$$
   2. พบความเร็วของโหนดใหม่ ( )${\displaystyle {\tilde {\vec {V_{node}}}}}$$${\displaystyle {\tilde {\vec {V_{node}}}}={\vec {V_{node}}}+{\vec {A_{node}}}\mathrm {d} t}$$
3. เงื่อนไขอนุพันธ์จะถูกขยายกลับไปยังจุดสำคัญ
   1. ความเร่งของจุดวัสดุ ( ), ความชันของการเปลี่ยนรูป ( ) (หรืออัตราความเครียด ( ) ขึ้นอยู่กับทฤษฎีความเครียดที่ใช้) จะถูกขยายจากโหนดโดยรอบโดยใช้ฟังก์ชันรูปร่างที่คล้ายกับก่อนหน้านี้ ( )${\displaystyle {\vec {a_{mp}}}}$${\displaystyle {\mathcal {\bar {\bar {F_{mp}}}}}}$${\displaystyle {\bar {\bar {{\dot {\varepsilon }}_{mp}}}}}$${\displaystyle N_{nd-mp}}$$${\displaystyle {\vec {a_{mp}}}=\sum _{nd}{\vec {A_{node}}}~~N_{nd-mp}}$$${\displaystyle {\bar {\bar {{\dot {\varepsilon }}_{mp}}}}=\sum _{nd}~{1 \over 2}~~[{\vec {V_{node}}}\nabla N_{nd-mp}+(V_{node}\nabla N_{nd-mp})^{T}]}$
   2. จากนั้น ตัวแปร ณ จุดต่างๆ ของวัสดุ เช่น ตำแหน่ง ความเร็ว ความเครียด ความเค้น ฯลฯ จะได้รับการปรับปรุงด้วยอัตราเหล่านี้ โดยขึ้นอยู่กับรูปแบบการบูรณาการที่เลือกและแบบจำลองเชิงโครงสร้าง ที่เหมาะสม
4. กำลังรีเซ็ตกริด

   เมื่อจุดข้อมูลสำคัญได้รับการอัปเดตอย่างสมบูรณ์ในขั้นตอนเวลาถัดไปแล้ว ตารางจะถูกรีเซ็ตเพื่อให้สามารถเริ่มต้นขั้นตอนเวลาถัดไปได้

PIC ถูกคิดค้นขึ้นเพื่อแก้ปัญหาในพลศาสตร์ของไหล และได้รับการพัฒนาโดยHarlowที่ห้องปฏิบัติการแห่งชาติ Los Alamosในปี 1957 ^{[ 1 ]}หนึ่งในโค้ด PIC แรกๆ คือโปรแกรม Fluid-Implicit Particle (FLIP) ซึ่งสร้างโดย Brackbill ในปี 1986 ^{[ 2 ]}และได้รับการพัฒนาอย่างต่อเนื่องนับตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา จนกระทั่งถึงช่วงปี 1990 วิธี PIC ถูกนำมาใช้เป็นหลักในพลศาสตร์ของไหล

ด้วยแรงจูงใจจากความต้องการการจำลองปัญหาการแทรกซึมในพลศาสตร์ของของแข็งที่ดีขึ้น Sulsky, Chen และ Schreyer จึงเริ่มปรับปรุง PIC และพัฒนา MPM ในปี 1993 โดยได้รับการสนับสนุนทางการเงินจาก Sandia National Laboratories ^{[ 3 ]}จากนั้น MPM ดั้งเดิมก็ได้รับการขยายเพิ่มเติมโดย Bardenhagen et al.เพื่อรวมการสัมผัสแบบเสียดทาน^{[ 4 ]}ซึ่งทำให้สามารถจำลองการไหลของเม็ด^{[ 5 ]}และโดย Nairn เพื่อรวมรอยแตกที่ชัดเจน^{[ 6 ]}และการแพร่กระจายของรอยแตก (ที่รู้จักกันในชื่อ CRAMP)

เมื่อเร็วๆ นี้ การใช้งาน MPM ที่อิงตามคอนติเนียม Cosserat ไมโครโพลาร์^{[ 7 ]}ได้ถูกนำมาใช้เพื่อจำลองการไหลของเม็ดวัสดุที่มีแรงเฉือนสูง เช่น การระบายออกจากไซโล การใช้งาน MPM ได้ขยายไปสู่ด้านวิศวกรรมธรณีเทคนิคด้วยการพัฒนาล่าสุดของตัวแก้ MPM แบบกึ่งสถิตและโดยปริยาย ซึ่งให้การวิเคราะห์ที่มีเสถียรภาพเชิงตัวเลขสำหรับปัญหาการเสียรูปขนาดใหญ่ในกลศาสตร์ดิน^{[ 8 ]}

มีการจัดประชุมเชิงปฏิบัติการประจำปีเกี่ยวกับการใช้ MPM ในสถานที่ต่างๆ ทั่วสหรัฐอเมริกา การประชุมเชิงปฏิบัติการ MPM ครั้งที่ 5 จัดขึ้นที่มหาวิทยาลัยแห่งรัฐโอเรกอนในเมืองคอร์วัลลิส รัฐโอเรกอนเมื่อวันที่ 2 และ 3 เมษายน พ.ศ. 2552

การประยุกต์ใช้ระเบียบวิธี PIC หรือ MPM สามารถแบ่งออกได้เป็นสองประเภทใหญ่ๆ คือ ประเภทแรก มีการประยุกต์ใช้มากมายในด้านพลศาสตร์ของไหล ฟิสิกส์พลาสมา พลศาสตร์ของแม่เหล็กไฟฟ้า และการประยุกต์ใช้ในระบบหลายเฟส ประเภทที่สอง ครอบคลุมปัญหาในด้านกลศาสตร์ของแข็ง

วิธี PIC ถูกนำมาใช้เพื่อจำลองปฏิสัมพันธ์ระหว่างของเหลวและของแข็งที่หลากหลาย รวมถึงพลศาสตร์ของน้ำแข็งทะเล^{[ 9 ]}การแทรกซึมของเนื้อเยื่ออ่อนทางชีวภาพ^{[ 10 ]}การแตกตัวของกระป๋องบรรจุก๊าซ^{[ 11 ]}การกระจายตัวของมลพิษในบรรยากาศ^{[ 12 ]}การจำลองแบบหลายสเกลที่เชื่อมโยงพลศาสตร์โมเลกุลกับ MPM ^{[ 13 ] [ 14 ]}และปฏิสัมพันธ์ระหว่างของเหลวและเยื่อหุ้มเซลล์^{[ 15 ]}นอกจากนี้ รหัส FLIP ที่ใช้ PIC ยังถูกนำไปใช้ในเครื่องมือแม่เหล็กไฟฟ้าและการประมวลผลพลาสมา และการจำลองในฟิสิกส์ดาราศาสตร์และการไหลของพื้นผิวอิสระ^{[ 16 ]}

จากความร่วมมือระหว่างภาควิชาคณิตศาสตร์ของ UCLA และWalt Disney Animation Studios ทำให้ MPM ถูกนำมาใช้จำลองหิมะในภาพยนตร์แอนิเมชั่นเรื่องFrozenใน ปี 2013 ได้สำเร็จ ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}

MPM ยังถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางในกลศาสตร์ของแข็ง เพื่อจำลองการกระแทก การเจาะ การชน และการกระดอน รวมถึงการแพร่กระจายของรอยแตก^{[ 20 ] [ 21 ]} MPM ยังกลายเป็นวิธีการที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในสาขากลศาสตร์ดิน โดยถูกนำมาใช้เพื่อจำลองการไหลของเม็ด การทดสอบความเร็วของดินเหนียวที่ไวต่อการเปลี่ยนแปลง^{[ 22 ]}การถล่มของดิน^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}การระบายไซโล การตอกเสาเข็ม การทดสอบกรวยตก^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]}การเติมถัง และความล้มเหลวของวัสดุ และเพื่อจำลองการกระจายความเค้นของดิน^{[ 30 ]}การอัดแน่น และการแข็งตัว ปัจจุบันมีการนำไปใช้ในปัญหาทางกลศาสตร์ของไม้ เช่น การจำลองการบีบอัดตามขวางในระดับเซลล์ รวมถึงการสัมผัสของผนังเซลล์^{[ 31 ]}งานนี้ยังได้รับรางวัล George Marra Award สำหรับบทความแห่งปีจาก Society of Wood Science and Technology อีกด้วย^{[ 32 ]}

วิธีการเชิงตัวเลขกลุ่มหนึ่งคือวิธีการไร้ตาข่าย (Meshfree methods ) ซึ่งนิยามว่า เป็นวิธีการที่ "ไม่จำเป็นต้องใช้ตาข่ายที่กำหนดไว้ล่วงหน้า อย่างน้อยก็ในการประมาณค่าตัวแปรในฟิลด์" ในอุดมคติแล้ว วิธีการไร้ตาข่ายจะไม่ใช้ตาข่าย "ตลอดกระบวนการแก้ปัญหาที่ควบคุมโดยสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย บนโดเมนที่กำหนดโดยพลการ ภายใต้เงื่อนไขขอบเขตทุกประเภท" แม้ว่าวิธีการที่มีอยู่จะไม่สมบูรณ์แบบและล้มเหลวอย่างน้อยหนึ่งด้านก็ตาม วิธีการไร้ตาข่าย ซึ่งบางครั้งเรียกว่า วิธีการอนุภาค (Particle methods) มี "คุณลักษณะร่วมกันคือ การติดตามประวัติของตัวแปรสถานะที่จุด (อนุภาค) ซึ่งไม่ได้เชื่อมต่อกับตาข่ายองค์ประกอบใดๆ การบิดเบือนของตาข่ายเป็นแหล่งที่มาของปัญหาเชิงตัวเลข" ดังที่เห็นได้จากการตีความที่แตกต่างกันเหล่านี้ นักวิทยาศาสตร์บางคนถือว่า MPM เป็นวิธีการไร้ตาข่าย ในขณะที่คนอื่นๆ ไม่เห็นด้วย อย่างไรก็ตาม ทุกคนเห็นพ้องต้องกันว่า MPM เป็นวิธีการอนุภาค

วิธีการ Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) เป็นอีกกลุ่มย่อยหนึ่งของวิธีการเชิงตัวเลข ซึ่งรวมถึง MPM ด้วย วิธีการแบบ Lagrangian บริสุทธิ์ ใช้กรอบการทำงานที่แบ่งพื้นที่ออกเป็นปริมาตรย่อยเริ่มต้น จากนั้นจึงกำหนดเส้นทางการไหลในปริมาตรย่อยเหล่านั้นตามเวลา ในทาง กลับกัน วิธีการแบบ Eulerian บริสุทธิ์ ใช้กรอบการทำงานที่อธิบายการเคลื่อนที่ของวัสดุโดยสัมพันธ์กับตาข่ายที่คงที่ในพื้นที่ตลอดการคำนวณ ดังที่ชื่อบ่งบอก วิธีการ ALE ผสมผสานกรอบอ้างอิงแบบ Lagrangian และ Eulerian เข้าด้วยกัน

วิธีการ PIC อาจใช้การจัดเรียงจุดแบบเข้มงวด (strong form collocation) หรือการแบ่งส่วนแบบอ่อน (weak form discretisation) ของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE) พื้นฐานก็ได้ วิธีการที่ใช้การจัดเรียงจุดแบบเข้มงวดเรียกว่าวิธีการ PIC แบบปริมาตรจำกัด (finite-volume PIC methods) ส่วนวิธีการที่ใช้การแบ่งส่วนแบบอ่อนของ PDE อาจเรียกว่า PIC หรือ MPM ก็ได้

ตัวแก้ปัญหา MPM สามารถจำลองปัญหาในมิติเชิงพื้นที่หนึ่ง สอง หรือสามมิติ และยังสามารถจำลองปัญหาแบบสมมาตรตาม แกนได้อีกด้วย MPM สามารถนำไปใช้เพื่อแก้สม การการเคลื่อนที่ แบบกึ่งคงที่หรือแบบไดนามิก ขึ้นอยู่กับประเภทของปัญหาที่จะจำลอง MPM หลายเวอร์ชันประกอบด้วย วิธีจุดวัสดุการแทรกสอดแบบทั่วไป^{[ 33 ]}วิธีการแทรกสอดโดเมนอนุภาคแบบเคลื่อนที่^{[ 34 ]}วิธีการแทรกสอดกำลังสองน้อยที่สุดของอนุภาคแบบเคลื่อนที่^{[ 35 ]}

การรวมเวลาที่ใช้ใน MPM อาจเป็นการรวมแบบชัดแจ้งหรือแบบไม่ชัดแจ้ง ก็ได้ ข้อดีของการรวมแบบไม่ชัดแจ้งคือความเสถียรที่รับประกันได้ แม้สำหรับช่วงเวลาขนาดใหญ่ ในทางกลับกัน การรวมแบบชัดแจ้งทำงานได้เร็วกว่ามากและง่ายต่อการใช้งาน

แตกต่างจากFEM , MPM ไม่จำเป็นต้องมีขั้นตอนการสร้างตาข่ายใหม่เป็นระยะและการแมปตัวแปรสถานะใหม่ ดังนั้นจึงเหมาะสมกว่าสำหรับการจำลองการเสียรูปของวัสดุขนาดใหญ่ ใน MPM อนุภาคไม่ใช่จุดตาข่ายที่เก็บข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับสถานะของการคำนวณ ดังนั้นจึงไม่มีข้อผิดพลาดทางตัวเลขเกิดขึ้นจากการที่ตาข่ายกลับไปยังตำแหน่งเดิมหลังจากแต่ละรอบการคำนวณ และไม่จำเป็นต้องใช้อัลกอริทึมการสร้างตาข่ายใหม่

พื้นฐานอนุภาคของ MPM ช่วยให้สามารถจัดการกับการแพร่กระจายของรอยแตกและความไม่ต่อเนื่องอื่นๆ ได้ดีกว่า FEM ซึ่งเป็นที่ทราบกันดีว่ากำหนดทิศทางการวางแนวของตาข่ายต่อการแพร่กระจายของรอยแตกในวัสดุ นอกจากนี้ วิธีการอนุภาคยังจัดการกับแบบจำลองโครงสร้างที่ขึ้นอยู่กับประวัติได้ดีกว่าด้วย

เนื่องจากใน MPM โหนดต่างๆ ยังคงอยู่กับที่บนตารางปกติ การคำนวณค่าความชันจึงทำได้ง่ายมาก

ในการจำลองที่มีสองเฟสขึ้นไป การตรวจจับการสัมผัสระหว่างเอนทิตีนั้นค่อนข้างง่าย เนื่องจากอนุภาคสามารถโต้ตอบกันผ่านตารางกริดกับอนุภาคอื่น ๆ ในตัวเดียวกัน กับวัตถุแข็งอื่น ๆ และกับของเหลวได้

MPM มีค่าใช้จ่ายด้านการจัดเก็บสูงกว่าวิธีการอื่น ๆ เนื่องจาก MPM ใช้ทั้งข้อมูลตาข่ายและข้อมูลอนุภาค MPM มีค่าใช้จ่ายในการคำนวณสูงกว่า FEM เนื่องจากต้องรีเซ็ตกริดเมื่อสิ้นสุดขั้นตอนการคำนวณ MPM แต่ละขั้นตอนและเริ่มต้นใหม่ในตอนต้นของขั้นตอนถัดไป การแกว่งที่ไม่พึงประสงค์อาจเกิดขึ้นเมื่ออนุภาคข้ามขอบเขตของตาข่ายใน MPM แม้ว่าผลกระทบนี้สามารถลดลงได้โดยใช้วิธีการประมาณค่าแบบทั่วไป (GIMP) ใน MPM เช่นเดียวกับใน FEM ขนาดและการวางแนวของตาข่ายสามารถส่งผลกระทบต่อผลลัพธ์ของการคำนวณได้ ตัวอย่างเช่น ใน MPM การกระจายความเครียดเป็นที่ทราบกันดีว่ามีความไวต่อการปรับตาข่ายให้ละเอียดเป็นพิเศษ ปัญหาเสถียรภาพอย่างหนึ่งใน MPM ที่ไม่เกิดขึ้นใน FEM คือข้อผิดพลาดในการข้ามเซลล์และข้อผิดพลาดในพื้นที่ว่าง^{[ 36 ]}เนื่องจากจำนวนจุดการรวม (จุดวัสดุ) ไม่คงที่ในเซลล์

• ศูนย์จำลองเหตุการณ์เพลิงไหม้และการระเบิดโดยอุบัติเหตุ – มีโค้ด MPM ให้ใช้งานแล้ว
• NairnMPM – โอเพนซอร์ส
• MPM3D - ซอฟต์แวร์โอเพนซอร์ส (MPM3D-F90) และเวอร์ชันทดลองใช้งานฟรี (MPM3D)
• Taichi - ไลบรารีกราฟิกคอมพิวเตอร์แบบอิงหลักการทางฟิสิกส์ – มีโค้ด MPM แบบโอเพนซอร์สให้ใช้งานได้
• Anura3D ซอฟต์แวร์โอเพนซอร์สสำหรับแก้ปัญหาทางธรณีเทคนิคและปฏิสัมพันธ์ระหว่างดิน น้ำ และโครงสร้าง พัฒนาโดยชุมชนวิจัย Anura3D MPM