Math 55 เป็นหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับปริญญา ตรีปี 1 ที่มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด ซึ่งเปิดสอนเป็นเวลา สองภาค การศึกษา ก่อตั้งโดยLynn LoomisและShlomo Sternbergชื่อหลักสูตรอย่างเป็นทางการคือStudies in Algebra and Group Theory (Math 55a) ^{[ 1 ]}และStudies in Real and Complex Analysis (Math 55b) ^{[ 2 ]}ก่อนหน้านี้ ชื่อหลักสูตรอย่างเป็นทางการคือHonors Advanced Calculus and Linear Algebra [ ^{3 ] หลักสูตร}นี้ได้รับชื่อเสียงในด้านความยากและจังหวะการเรียนที่รวดเร็ว

ในอดีต ภาควิชาคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ดเคยอธิบายวิชาคณิตศาสตร์ 55 ว่า "น่าจะเป็นวิชาคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรีที่ยากที่สุดในประเทศ" ^{[ 4 ]} เมื่อไม่นานมานี้ ศาสตราจารย์ เดนิส ออรูซ์อาจารย์ผู้สอนวิชาคณิตศาสตร์ 55 ในปี 2022 กล่าวถึงวิชาคณิตศาสตร์ 55 ในรูปแบบปัจจุบันว่า "ถ้าคุณเก่งคณิตศาสตร์พอสมควร รักมัน และมีเวลาเหลือเฟือที่จะทุ่มเทให้กับมัน วิชาคณิตศาสตร์ 55 ก็เหมาะสมกับคุณอย่างยิ่ง" ^{[ 5 ]}

ก่อนหน้านี้ นักเรียนจะเริ่มต้นปีการศึกษาด้วยวิชาคณิตศาสตร์ 25 (ซึ่งสร้างขึ้นในปี 1983 เป็นวิชาคณิตศาสตร์ 55 ระดับล่าง) และหลังจาก เรียน เรื่องโทโพโลยีเซตจุดและหัวข้อพิเศษเป็นเวลาสามสัปดาห์ (เช่น ในปี 1994 วิลฟรีด ชมิดสอนการวิเคราะห์p -adic ) นักเรียนจะต้องสอบย่อย ตั้งแต่ปี 2012 นักเรียนสามารถเลือกที่จะลงทะเบียนเรียนวิชาคณิตศาสตร์ 25 หรือคณิตศาสตร์ 55 ก็ได้ แต่ควรพิจารณาทั้งสองวิชาและมีเวลาห้าสัปดาห์ในการตัดสินใจเลือก^{[ 6 ]}

ขึ้นอยู่กับอาจารย์ผู้สอนในชั้นเรียน การสอบวินิจฉัยอาจยังคงจัดขึ้นหลังจากสามสัปดาห์เพื่อช่วยให้นักเรียนตัดสินใจได้ ในปี 1994 มีนักเรียน 89 คนเข้ารับการสอบวินิจฉัย นักเรียนที่ได้คะแนนมากกว่า 50% ในการสอบสามารถลงทะเบียนเรียนวิชา Math 55 ของ Schmid ได้ (15 คน) นักเรียนที่ได้คะแนนระหว่าง 10 ถึง 50% สามารถลงทะเบียนเรียน วิชา Math 25: Theoretical Linear Algebra and Real Analysis ของ Benedict Grossได้ (55 คน) และนักเรียนที่ได้คะแนนน้อยกว่า 10% ได้รับคำแนะนำให้ลงทะเบียนเรียนในหลักสูตรอื่น เช่น Math 21: Multivariable Calculus (19 คน) ^{[ 7 ]}

ในอดีตคาดว่าแบบฝึกหัด จะใช้เวลา 24 ถึง 60 ชั่วโมงต่อสัปดาห์จึงจะเสร็จสมบูรณ์ ^{[ 4 ]}แม้ว่าบางคนจะอ้างว่าใกล้เคียงกับ 20 ชั่วโมงมากกว่า^{[ 8 ]}ในปี 2022 โดยเฉลี่ยแล้ว นักเรียนใช้เวลา 20 ถึง 30 ชั่วโมงต่อสัปดาห์ในการเรียนวิชานี้ รวมทั้งการบ้านด้วย^{[ 5 ] [ 9 ]} การเรียนวิชาที่ท้าทายอื่นๆ และกิจกรรมนอกหลักสูตรจำนวนมากในภาคการศึกษาเดียวกันนั้นไม่ควรทำ^{[ 5 ]}

โดยทั่วไปนักเรียนจะจัดพิมพ์การบ้านของตนเองในLaTeXและเขียนตำราเรียนของตนเองสำหรับชั้นเรียน^{[ 3 ]}ซึ่งจบลงด้วย การสอบ ปลายภาคแบบทำที่บ้าน^{[ 10 ]}

ริชาร์ด สตอลล์แมนประเมินว่าในปี 1970 วิชาคณิตศาสตร์ 55 ครอบคลุมเนื้อหาหลักสูตรของภาควิชาเกือบสี่ปีภายในสองภาคการศึกษา ดังนั้นจึงดึงดูดเฉพาะนักศึกษาปริญญาตรีที่ขยันที่สุดเท่านั้น จากนักศึกษา 75 คนที่ลงทะเบียนเรียนในปี 1970 เมื่อสิ้นสุดหลักสูตร มีเพียง 20 คนเท่านั้นที่ยังคงเรียนต่อเนื่องจากเนื้อหาที่ยากและข้อจำกัดด้านเวลาที่นักศึกษาได้รับในการทำงาน^{[ 11 ]}เดวิด ฮาร์บาเตอร์ศาสตราจารย์คณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยเพนซิลเวเนียและนักศึกษาในวิชาคณิตศาสตร์ 55 รุ่นปี 1974 ที่ฮาร์วาร์ด เล่าถึงประสบการณ์ของเขาว่า "นักศึกษา 70 คนเริ่มเรียน 20 คนเรียนจบ และมีเพียง 10 คนเท่านั้นที่เข้าใจ" Scott D. Kominers ซึ่งคุ้นเคยกับอัตราการลาออกที่ระบุไว้สำหรับหลักสูตรนี้ ตัดสินใจจดบันทึกอย่างไม่เป็นทางการเกี่ยวกับการเดินทางของเขาผ่านภาคเรียนปี 2005: "...เรามีนักเรียน 51 คนในวันแรก 31 คนในวันที่สอง 24 คนในอีกสี่วันถัดมา 23 คนในอีกสองสัปดาห์ต่อมา และจากนั้น 21 คนสำหรับส่วนที่เหลือของภาคเรียนแรกหลังจากวันจันทร์ที่ห้า" (ต้นสัปดาห์ที่ห้าเป็นวันสุดท้ายที่นักเรียนต้องตัดสินใจว่าจะเรียนต่อในวิชาคณิตศาสตร์ 55 หรือย้ายไปเรียนวิชาคณิตศาสตร์ 25) ^{[ 3 ]}

จำนวนนักเรียนที่ลาออกส่วนหนึ่งเป็นผลมาจากแนวโน้มของนักศึกษาปริญญาตรีที่จะ "เลือกดู" วิชาที่เหมาะสมในช่วงเริ่มต้นของแต่ละภาคการศึกษา^{[ 5 ]}แม้แต่ผู้ที่สอบผ่านวิชาแคลคูลัสขั้นสูงและเป็นผู้เข้าแข่งขันในการแข่งขันโอลิมปิกคณิตศาสตร์ของสหรัฐอเมริกาก็อาจรู้สึกว่าวิชาคณิตศาสตร์ 55 ยากเกินไปที่จะรับมือได้^{[ 3 ]}

โดยสรุปแล้ว Math 55 ให้ภาพรวมของหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรีทั้งหมดภายในเวลาเพียงสองภาคการศึกษา และอาจรวมถึงหัวข้อระดับบัณฑิตศึกษาด้วย^{[ 3 ]}จนถึงปี 2549 อาจารย์ผู้สอนมีอิสระอย่างกว้างขวางในการเลือกเนื้อหาของหลักสูตร^{[ 12 ]}ในอดีต Math 55 ถือว่าผู้เรียนคุ้นเคยกับแคลคูลัส รวมถึงการอนุพันธ์ย่อยและพีชคณิตเชิงเส้น โดยนำเสนอการศึกษาแคลคูลัสอย่างเข้มงวด ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดและอนันต์ สมการเชิง อนุพันธ์สามัญ การอินทิเกรตแบบ รี มันน์ใน ปริภูมิ ยุคลิด (พร้อมการแปลงฟูริเยร์ในแบบฝึกหัด) เทนเซอร์แคลคูลัสบนแมนิโฟลด์และแคลคูลัสภายนอกขึ้นอยู่กับเวลาและดุลยพินิจของอาจารย์ผู้สอน หัวข้อเพิ่มเติมได้แก่ทฤษฎี Sturm–LiouvilleอนุกรมFourierเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ทฤษฎีศักย์ (พร้อมแคลคูลัสของเศษในชุดปัญหา) และกลศาสตร์คลาสสิก (พร้อมกับแคลคูลัสของการแปรผัน ) ^{[ 13 ]}ตัวอย่างเช่น ในปี 1970 นักศึกษาได้ศึกษาเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของBanach manifoldในภาคเรียนที่สองของวิชา Math 55 ^{[ 11 ]}ในทางตรงกันข้าม วิชา Math 25 Honors Multivariable Calculus and Linear Algebra มีขอบเขตที่แคบกว่า โดยปกติจะครอบคลุมการวิเคราะห์เชิงจริงในหลายตัวแปรหัวข้อมาตรฐานของพีชคณิตเชิงเส้น เทนเซอร์รูปแบบเชิงอนุพันธ์manifoldและทฤษฎีบทStokes ทั่วไป^{[ 14 ] [ 15 ]} แม้ว่าทั้งสองหลักสูตรจะเป็นหลักสูตรที่เข้มงวดซึ่งนำเสนอแคลคูลัสจาก มุมมอง ที่เข้มงวด และเน้นทฤษฎีและการเขียนพิสูจน์ แต่โดยทั่วไปแล้ว Math 55 จะมีจังหวะที่เร็วกว่า เป็นนามธรรมมากกว่า และต้องการระดับ ความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์ที่ สูงกว่า

ตำรา Advanced Calculusของ Loomis และ Sternberg ซึ่งเป็นการศึกษาแคลคูลัสเชิงนามธรรมในบริบทของปริภูมิเวกเตอร์บรรทัดฐานและบนแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้นั้น อิงตามหลักสูตร Math 55 ของผู้เขียนในช่วงทศวรรษ 1960 ^{[ 13 ]}และใช้เป็นตำราเรียนที่กำหนดไว้เป็นเวลาหลายปี อาจารย์ผู้สอนวิชาคณิตศาสตร์ 55 ^{[ 16 ] [ 17 ]}และคณิตศาสตร์ 25 ^{[ 14 ] [ 15 ]}ยังได้เลือก^{หนังสือ} Principles of Mathematical AnalysisของRudin ^{[ 18 ]} Complex AnalysisของAhlfors [ ^{19 ] Calculus} on ManifoldsของSpivak [ ^{20 ]} Linear Algebra Done RightของAxler [ ^{21 ] Naive} Set TheoryของHalmos ^{[ 22 ]}และFinite-Dimensional Vector Spaces ^{[ 23 ]} TopologyของMunkres [ ^{24 ]} AlgebraของArtin ^{[ 25 ]}และLinear Representations of Finite GroupsของSerre ^{[ 26 ]}เป็นตำราเรียนหรือหนังสืออ้างอิง ^ด้วย

ตั้งแต่ปี 2007 เป็นต้นมา ขอบเขตของหลักสูตร (รวมถึงหลักสูตร Math 25) ได้ถูกเปลี่ยนแปลงให้ครอบคลุมเนื้อหาของหลักสูตรสี่ภาคการศึกษาในสองภาคการศึกษาอย่างเคร่งครัดมากขึ้น ได้แก่ Math 25a (พีชคณิตเชิงเส้นและการวิเคราะห์เชิงจริง) และ Math 122 (ทฤษฎีกลุ่มและปริภูมิเวกเตอร์) ใน Math 55a และ Math 25b (การวิเคราะห์เชิงจริง) และ Math 113 (การวิเคราะห์เชิงซ้อน) ใน Math 55b นอกจากนี้ ชื่อหลักสูตรยังได้เปลี่ยนเป็น "พีชคณิตนามธรรมเกียรตินิยม" (Math 55a) และ "การวิเคราะห์เชิงจริงและเชิงซ้อนเกียรตินิยม" (Math 55b) ความคล่องแคล่วในการกำหนดและเขียนบทพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ถูกระบุว่าเป็นข้อกำหนดเบื้องต้นของหลักสูตร Math 55 ในขณะที่ประสบการณ์ดังกล่าวถือว่า "เป็นประโยชน์" แต่ไม่จำเป็นสำหรับ Math 25 ^{[ 4 ]}ในทางปฏิบัติ นักศึกษาของ Math 55 มักจะมีประสบการณ์มากมายในการเขียนบทพิสูจน์และคณิตศาสตร์เชิงนามธรรม โดยหลายคนเป็นผู้ชนะการแข่งขันโอลิมปิกคณิตศาสตร์ระดับชาติหรือระดับนานาชาติที่มีชื่อเสียง (เช่นUSAMOหรือIMO ) หรือผู้เข้าร่วมโครงการวิจัย (เช่นRSI ) นักศึกษาทั่วไปของ Math 25 ก็เคยมีประสบการณ์ในการเขียนบทพิสูจน์มาก่อนผ่านการแข่งขันทางคณิตศาสตร์หรือหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับมหาวิทยาลัย

นักเรียนจำนวนมากที่เรียนจบหลักสูตรนี้จะกลายเป็นอาจารย์ในสาขาเชิงปริมาณ^{[ 11 ]}ในบรรดาผู้ที่เรียนวิชาคณิตศาสตร์ 55 ได้แก่ นักคณิตศาสตร์จาก UC San Diego และอดีตคณบดีมหาวิทยาลัย ฮาร์วาร์ ด Benedict Gross ^{[ 5 ]}นักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัย ฮาร์วาร์ ดJoe Harris [ ^{5 ] นัก}ฟิสิกส์คณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยโคลัมเบียPeter Woit [ ^{27 ]}นักฟิสิกส์จากมหาวิทยาลัย ฮาร์วา ^ร์ด Lisa Randall [ ^{28 ] นัก} ธรณีฟิสิกส์ จากมหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ดRaymond Pierrehumbert [ ^{3 ]}นักเศรษฐศาสตร์จากมหาวิทยาลัยฮา ร์วาร์ด Andrei ShleiferและEric Maskin นักเศรษฐศาสตร์จากมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด Brad DeLong นักเศรษฐศาสตร์ ^จาก UC Berkeley ^{[ 29 ]}และนักประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์จากมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ดPeter Galison ^{[ 30 ] : 202} ศิษย์เก่าคนอื่นๆ ของวิชาคณิตศาสตร์ 55 ได้แก่ บิล เกตส์นักธุรกิจและโปรแกรมเมอร์คอมพิวเตอร์[ ^{31 ] [ 32 ]}ริชาร์ด สตอลแมนโปรแกรมเมอร์คอมพิวเตอร์และผู้ส่งเสริมซอฟต์แวร์เสรี[ ^{11 ] และ}อัล จีน นักเขียน ^บทโทรทัศน์และผู้อำนวยการสร้าง^{[ 33 ]}

บทความในThe Harvard Crimson ปี 2006 รายงานว่ามีผู้หญิงเพียง 17 คนเท่านั้นที่เรียนจบหลักสูตรระหว่างปี 1990 ถึง 2006 ^{[ 3 ]}และบทความในปี 2017 ระบุว่าจำนวนนักเรียนหญิงที่ลงทะเบียนเรียนมีน้อยกว่า 7% ในช่วงห้าปีที่ผ่านมา^{[ 34 ]}วิชา Math 25 มีนักเรียนหญิงมากกว่า: ในปี 1994–95 วิชา Math 55 ไม่มีนักเรียนหญิงเลย ในขณะที่วิชา Math 25 มีนักเรียนหญิงประมาณ 10 คนจากทั้งหมด 55 คน^{[ 7 ]} ในปี 2006 นักเรียนในชั้นเรียนเป็นชาวยิว 45% (5 คน) ชาวเอเชีย 18% (2 คน) และเป็นชาย 100% (11 คน) ^{[ 3 ]}

• พ.ศ. 2516–2517: John N. Mather ^{[ 30 ] : 189}
• 1981–1982: แอนดรูว์ เกลสัน
• พ.ศ. 2537-2538: วิลฟรีด ชมิด^{[ 35 ]}
• 1996–1997: อเล็กซานเดอร์ โปลิชชุก
• 1997–1999: พาเวล เอทิงอฟ
• 1999–2000: โนอัม เอลกีส์
• 2000–2001: วิลฟรีด ชมิด
• 2002–2003: Noam Elkies ^{[ 36 ] [ 37 ]}
• 2004–2005: Wilfried Schmid ^{[ 38 ]}
• 2005–2006: Noam Elkies ^{[ 39 ]}
• 2008–2010: Curtis T. McMullen ^{[ 40 ] [ 41 ]}
• 2010–2011: Noam Elkies ^{[ 42 ] [ 43 ]}
• 2011–2012: หยำตงซิว
• 2013–2015: เดนนิส เกตส์กอรี
• 2015–2016: Yum-Tong Siu ^{[ 44 ]}
• 2016–2018: Noam Elkies ^{[ 45 ] [ 46 ]}
• 2018–2020: โจ แฮร์ริส
• 2020–2022: เดนิส ออรูซ์
• 2022–2024: โจ แฮร์ริส
• 2024-2026: เดนิส โอรูซ์^{[ 16 ] [ 17 ]}

• การศึกษาคณิตศาสตร์ในสหรัฐอเมริกา
• การแข่งขันคณิตศาสตร์วิลเลียม โลเวลล์ พัตนัม
• ส่วนที่ 3 ของหลักสูตรคณิตศาสตร์ (Mathematical Tripos)

• ลูมิส, ลินน์ ; สเติร์นเบิร์ก, ชโลโม (1990) [1968]. แคลคูลัสขั้นสูง (ฉบับปรับปรุง). สำนักพิมพ์โจนส์ แอนด์ บาร์ตเลตต์ อิงค์ISBN 0-86720-122-3สืบค้นข้อมูลเมื่อวันที่ 9 ธันวาคม 2018
• "ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด อาคาร 21, 23, 25 หรือ 55?"เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 19 ตุลาคม 2017 เรียกดูเมื่อวันที่ 9 ธันวาคม 2018
• แบบฝึกหัดวิชาคณิตศาสตร์ 55 ปีการศึกษา 1999-2006
• 1983: "คณะกรรมการคณาจารย์คณิตศาสตร์เสนอให้ปรับปรุงหลักสูตร"เดอะฮาร์วาร์ด คริมสันสืบค้นเมื่อ13 กันยายน 2024
• 1999: "วิชาคณิตศาสตร์ 55: พิธีการผ่านพ้นช่วงยากลำบากสำหรับนักเรียนหัวกะทิของภาควิชา สร้างความหวาดหวั่นให้แก่นักเรียนจำนวนมาก"เดอะฮาร์วาร์ด คริมสันสืบค้นเมื่อ13 กันยายน 2024
• 2000: "นักศึกษาคณิตศาสตร์ 55 ได้มีเพศสัมพันธ์ ได้รับการพิจารณาให้ได้รับเหรียญฟิลด์ส" . เสียดสี V . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2010-12-29 . เรียกดูเมื่อ2010-09-12 .
• 2005: โนอัม เอลกีส์ " คณิตศาสตร์ 55a "
• 2009/10: วิชาคณิตศาสตร์ 55a , วิชาคณิตศาสตร์ 55b – อาจารย์ผู้สอน: เคอร์ติส แมคมัลเลน
• 2010/11: วิชาคณิตศาสตร์ 55a , วิชาคณิตศาสตร์ 55b – อาจารย์ผู้สอน: โนอัม เอลคีส์