ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะพีชคณิตเชิงเส้น ทฤษฎีบท ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของผลรวมของเมทริกซ์ผกผันAและผลคูณไดอะดิก u v ^Tของเวกเตอร์ คอลัมน์ u และเวก เตอร์แถวv ^{T [ 1 ] [ 2 ]}

สมมติว่าAเป็นเมทริกซ์จัตุรัส ที่ผกผันได้ และu , vเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์กล่าวว่า

${\displaystyle \det(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}})=(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} )\,\det(\mathbf {A} )\,.}$

ในที่นี้uv ^Tคือผลคูณภายนอกของเวกเตอร์uและv สอง ตัว

ทฤษฎีบทนี้สามารถกล่าวได้ในรูปของเมทริกซ์ผกผันของA เช่นกัน :

${\displaystyle \det(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}})=\det(\mathbf {A} )+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {u} \,,}$

ในกรณีนี้ หลักการดังกล่าวจะใช้ได้ไม่ว่าเมทริกซ์Aจะผกผันได้ หรือไม่ก็ตาม

ขั้นแรก การพิสูจน์กรณีพิเศษA = Iเป็นไปตามความเท่าเทียมกัน: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}&\mathbf {u} \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\-\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {u} \\0&1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} \end{pmatrix}}.}$

ดีเทอร์มิแนนต์ของฝั่งซ้ายคือผลคูณของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ทั้งสาม เนื่องจากเมทริกซ์แรกและเมทริกซ์ที่สามเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมที่มีเส้นทแยงมุมเป็นหนึ่ง ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ทั้งสองจึงเท่ากับ 1 ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ตรงกลางคือค่าที่เราต้องการ ดีเทอร์มิแนนต์ของฝั่งขวาคือ (1 + v ^T u ) ดังนั้นเราจึงได้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle \det(\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}})=1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} .}$

จากนั้นกรณีทั่วไปสามารถพบได้โดยการกำหนดให้uเป็นA ⁻¹ u :

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}})&=\det(\mathbf {A} )\det(\mathbf {I} +(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} )\mathbf {v} ^{\textsf {T}})\\&=\det(\mathbf {A} )\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} )\right).\end{aligned}}}$

หาก ทราบดีเทอร์มิแนนต์และอินเวอร์สของA แล้ว สูตรนี้จะให้วิธีการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของ Aที่แก้ไขโดยเมทริกซ์uv ^T ได้อย่างประหยัด การคำนวณค่อนข้างประหยัดเนื่องจากไม่จำเป็นต้องคำนวณ ดีเทอร์มิแนนต์ของ A + uv ^{T ตั้งแต่เริ่มต้น (ซึ่งโดยทั่วไปมีค่าใช้จ่ายสูง) การใช้} เวกเตอร์หน่วยสำหรับuและ/หรือvคอลัมน์ แถว หรือองค์ประกอบ^{[ 4 ]} แต่ละรายการ ของAอาจถูกจัดการและคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่อัปเดตตามไปด้วยได้อย่างประหยัดด้วยวิธีนี้

เมื่อใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ร่วมกับสูตรของเชอร์แมน-มอร์ริสันจะสามารถอัปเดตทั้งเมทริกซ์ผกผันและดีเทอร์มิแนนต์ไปพร้อมกันได้อย่างสะดวก

สมมติว่าAเป็นเมทริกซ์ผกผัน ขนาด n x nและUกับVเป็น เมทริกซ์ขนาด n x mแล้ว

${\displaystyle \det(\mathbf {A} +\mathbf {UV} ^{\textsf {T}})=\det(\mathbf {I_{m}} +\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} )\det(\mathbf {A} )}$

ในกรณีพิเศษนี้ นี่คือเอกลักษณ์ของ Weinstein– Aronszajn ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I_{n}} }$

นอกจากนี้ เมื่อกำหนด เมทริกซ์ผกผัน ขนาด m x m ชื่อ Wแล้ว ความสัมพันธ์นี้สามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle \det(\mathbf {A} +\mathbf {UWV} ^{\textsf {T}})=\det(\mathbf {W} ^{-1}+\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} )\det(\mathbf {W} )\det(\mathbf {A} )}$

• สูตร เชอร์แมน-มอร์ริสันซึ่งแสดงวิธีการอัปเดตอินเวอร์สA −1 ^{เพื่อ}ให้ได้ ( A + uv ^T ) ⁻¹
• สูตรWoodburyซึ่งแสดงวิธีการอัปเดตค่าผกผันA −1 ^{เพื่อ}ให้ได้ ( A + UCV ^T ) ⁻¹
• ทฤษฎีบทผกผันทวินามสำหรับ ( A + UCV ^T ) ⁻¹ .