ในความน่าจะเป็นและสถิติการกระจายแบบรักษาค่าเฉลี่ย ( MPS ) ^{[ 1 ]}คือการเปลี่ยนแปลงจากการกระจายความน่าจะเป็น A หนึ่งไปเป็นการกระจายความน่าจะเป็น B อีกหนึ่ง โดยที่ B ถูกสร้างขึ้นโดยการกระจายส่วนหนึ่งหรือมากกว่าของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นหรือฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น ของ A ออกไป ในขณะที่ค่าเฉลี่ย ( ค่าที่คาดหวัง ) ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ด้วยเหตุนี้ แนวคิดของการกระจายแบบรักษาค่าเฉลี่ยจึงให้ลำดับแบบสุ่มของการพนันที่มีค่าเฉลี่ยเท่ากัน (การกระจายความน่าจะเป็น) ตามระดับความเสี่ยงลำดับนี้เป็นแบบบางส่วนหมายความว่า ในบรรดาการพนันที่มีค่าเฉลี่ยเท่ากันสองแบบ ไม่จำเป็นเสมอไปที่แบบใดแบบหนึ่งจะเป็นการกระจายแบบรักษาค่าเฉลี่ยของอีกแบบหนึ่ง การกระจาย A กล่าวได้ว่าเป็นการหดตัวแบบรักษาค่าเฉลี่ยของ B ถ้า B เป็นการกระจายแบบรักษาค่าเฉลี่ยของ A

การจัดอันดับการพนันโดยใช้สเปรดที่รักษาค่าเฉลี่ยไว้เป็นกรณีพิเศษของการจัดอันดับการพนันโดยใช้การครอบงำเชิงสุ่ม ลำดับที่สอง กล่าวคือ กรณีพิเศษที่ค่าเฉลี่ยเท่ากัน: ถ้า B เป็นสเปรดที่รักษาค่าเฉลี่ยของ A แล้ว A จะครอบงำเชิงสุ่มลำดับที่สองเหนือ B และในทางกลับกันจะเป็นจริงถ้า A และ B มีค่าเฉลี่ยเท่ากัน

ถ้า B เป็นการกระจายแบบรักษาค่าเฉลี่ยของ A แล้ว B จะมีค่าความแปรปรวนสูงกว่า A และค่าคาดหวังของ A และ B จะเท่ากัน แต่โดยทั่วไปแล้วข้อความกลับกันจะไม่เป็นจริง เพราะค่าความแปรปรวนเป็นการเรียงลำดับที่สมบูรณ์ ในขณะที่การเรียงลำดับตามการกระจายแบบรักษาค่าเฉลี่ยเป็นการเรียงลำดับเพียงบางส่วนเท่านั้น

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าการกระจายที่รักษาค่าเฉลี่ยไว้ไม่จำเป็นต้องให้มวลความน่าจะเป็นทั้งหมดหรือส่วนใหญ่เคลื่อนตัวออกไปจากค่าเฉลี่ย^{[ 2 ]} ให้ A มีความน่าจะเป็นเท่ากัน${\displaystyle 1/100}$ในแต่ละผลลัพธ์${\displaystyle x_{Ai}}$, กับ${\displaystyle x_{Ai}=198}$สำหรับ${\displaystyle i=1,\dots ,50}$และ${\displaystyle x_{Ai}=202}$สำหรับ${\displaystyle i=51,\dots ,100}$และให้ B มีความน่าจะเป็นเท่ากัน${\displaystyle 1/100}$ในแต่ละผลลัพธ์${\displaystyle x_{Bi}}$, กับ${\displaystyle x_{B1}=100}$,${\displaystyle x_{Bi}=200}$สำหรับ${\displaystyle i=2,\dots ,99}$, และ${\displaystyle x_{B100}=300}$ในที่นี้ B ถูกสร้างขึ้นจาก A โดยการย้ายกลุ่มความน่าจะเป็น 1% จาก 198 ไปยัง 100 และย้ายกลุ่มความน่าจะเป็น 49 กลุ่มจาก 198 ไปยัง 200 จากนั้นย้ายกลุ่มความน่าจะเป็น 1 กลุ่มจาก 202 ไปยัง 300 และย้ายกลุ่มความน่าจะเป็น 49 กลุ่มจาก 202 ไปยัง 200 ลำดับของการกระจายที่รักษาค่าเฉลี่ยสองลำดับนี้เองก็เป็นการกระจายที่รักษาค่าเฉลี่ยเช่นกัน แม้ว่า 98% ของมวลความน่าจะเป็นจะเคลื่อนไปยังค่าเฉลี่ย (200) แล้วก็ตาม

อนุญาต${\displaystyle x_{A}}$และ${\displaystyle x_{B}}$ให้ A และ B เป็นตัวแปรสุ่มที่เกี่ยวข้องกับการพนัน แล้ว B เป็นการกระจายแบบรักษาค่าเฉลี่ยของ A ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle x_{B}{\โอเวอร์เซ็ต {d}{=}}(x_{A}+z)}$ สำหรับตัวแปรสุ่มบางตัว${\displaystyle z}$มี${\displaystyle E(z\mid x_{A})=0}$สำหรับค่าทั้งหมดของ${\displaystyle x_{A}}$. ที่นี่${\displaystyle {\overset {d}{=}}}$หมายความว่า " มีการกระจายตัวเท่ากับ " (นั่นคือ "มีการกระจายตัวแบบเดียวกันกับ")

การกระจายแบบรักษาค่าเฉลี่ยสามารถกำหนดได้โดยใช้ฟังก์ชันการกระจายสะสม เช่นกัน${\displaystyle F_{A}}$และ${\displaystyle F_{B}}$ของ A และ B ถ้า A และ B มีค่าเฉลี่ยเท่ากัน B จะเป็นการกระจายแบบรักษาค่าเฉลี่ยของ A ก็ต่อเมื่อพื้นที่ใต้ A${\displaystyle F_{A}}$จากลบอนันต์ถึง${\displaystyle x}$น้อยกว่าหรือเท่ากับค่าภายใต้${\displaystyle F_{B}}$จากลบอนันต์ถึง${\displaystyle x}$สำหรับจำนวนจริงทั้งหมด${\displaystyle x}$โดยมีความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวดในบางจุด${\displaystyle x}$.

นิยามทางคณิตศาสตร์ทั้งสองนี้จำลองนิยามของการครอบงำเชิงสุ่มอันดับสองสำหรับกรณีที่ค่าเฉลี่ยเท่ากัน

ถ้า B เป็นการกระจายตัวที่รักษาค่าเฉลี่ยของ A ไว้ได้ A จะเป็นที่ชื่นชอบของ ผู้ที่แสวงหา ประโยชน์สูงสุดโดยอาศัยค่าคาดหวังและมีฟังก์ชันอรรถประโยชน์แบบเว้าทั้งหมด และในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้า A และ B มีค่าเฉลี่ยเท่ากัน และ A เป็นที่โปรดปรานของผู้ที่แสวงหาประโยชน์สูงสุดโดยอาศัยค่าคาดหวังและมีฟังก์ชันอรรถประโยชน์แบบเว้าทั้งหมด B ก็เป็นการกระจายตัวที่รักษาค่าเฉลี่ยของ A ไว้ได้เช่นกัน

• ลำดับแบบสุ่ม
• ความเสี่ยง (สถิติ)
• พารามิเตอร์มาตราส่วน

• Mas-Colell, A. ; Whinston, MD; Green, JR (1995). ทฤษฎีเศรษฐศาสตร์จุลภาค . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. หน้า197–199 . ISBN  0-19-510268-1–ผ่านทางGoogle Books