ในวิชาความน่าจะเป็นและสถิติ คุณสมบัติ ไร้ความทรงจำ (memorylessness)คือคุณสมบัติของการแจกแจงความน่าจะเป็นซึ่งอธิบายถึงสถานการณ์ที่ความล้มเหลวหรือเวลาที่ผ่านไปก่อนหน้านี้ไม่ส่งผลกระทบต่อการทดลองในอนาคตหรือเวลาที่รอคอยต่อไป มีเพียงการแจกแจงแบบเรขาคณิตและ การแจกแจง แบบเอกซ์โปเนนเชียล เท่านั้น ที่เป็นคุณสมบัติไร้ความทรงจำ

ตัวแปรสุ่ม จะไม่มีความทรงจำหากโดยที่คือฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นหรือฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นเมื่อเป็นแบบไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่องตามลำดับ และและเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ^{[ 1 ] [ 2 ]}ในกรณีไม่ต่อเนื่อง คำจำกัดความนี้อธิบายถึงความสำเร็จครั้งแรกในลำดับอนันต์ของการทดลองแบบเบอร์นูลีที่เป็นอิสระและมีการกระจายเหมือนกัน เช่น จำนวนครั้งที่โยนเหรียญจนกว่าจะได้หัว^{[ 3 ]}ในสถานการณ์ต่อเนื่อง การไม่มีความทรงจำจำลองปรากฏการณ์สุ่ม เช่น เวลาที่อยู่ระหว่างแผ่นดินไหวสองครั้ง^{[ 4 ]}คุณสมบัติการไม่มีความทรงจำยืนยันว่าจำนวนการทดลองที่ล้มเหลวก่อนหน้านี้หรือเวลาที่ผ่านไปนั้นเป็นอิสระหรือไม่มีผลกระทบต่อการทดลองในอนาคตหรือระยะเวลานำหน้า ${\displaystyle X}$$${\displaystyle \Pr(X>t+s\mid X>s)=\Pr(X>t)}$$${\displaystyle \Pr }$${\displaystyle X}$${\displaystyle t}$${\displaystyle s}$

ความเท่าเทียมกันเป็นลักษณะ เฉพาะของการ แจกแจงทางเรขาคณิตและการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลในบริบทแบบไม่ต่อเนื่องและแบบต่อเนื่องตามลำดับ^{[ 1 ] [ 5 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวแปรสุ่มทางเรขาคณิตเป็นการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องที่ไม่มีหน่วยความจำเพียงอย่างเดียว และตัวแปรสุ่มแบบเอกซ์โพเนนเชียลเป็นการแจกแจงแบบต่อเนื่องที่ไม่มีหน่วยความจำเพียงอย่างเดียว

ในบริบทแบบไม่ต่อเนื่อง นิยามจะถูกเปลี่ยนแปลงเมื่อการแจกแจงเรขาคณิตเริ่มต้นที่แทนที่จะเป็นดังนั้นความเท่าเทียมกันจึงยังคงเป็นไปตามเงื่อนไข^{[ 6 ] [ 7 ]}${\textstyle \Pr(X>t+s\mid X\geq s)=\Pr(X>t)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$

ถ้าการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องไม่มีความจำ แสดงว่าการแจกแจงนั้นต้องเป็นการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล

จากคุณสมบัติไร้ความทรงจำนิยามของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเผยให้เห็นว่าการจัดเรียงความเท่าเทียมกันใหม่ด้วยฟังก์ชันการอยู่รอด , , ให้ผลลัพธ์ดังนี้ ซึ่งหมายความว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติ ใดๆ ในทำนองเดียวกัน โดยการหารอินพุตของฟังก์ชันการอยู่รอดและหาค่ารากที่ -th โดยทั่วไปแล้ว ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนตรรกยะ ใดๆ แทนเนื่องจากฟังก์ชันการอยู่รอดมีความต่อเนื่องและจำนวนตรรกยะมีความหนาแน่นในจำนวนจริง (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีจำนวนตรรกยะอยู่ใกล้กับจำนวนจริงใดๆ เสมอ) ความเท่าเทียมกันนี้จึงเป็นจริงสำหรับจำนวนจริงด้วย ส่งผลให้ โดยที่นี่คือฟังก์ชันการอยู่รอดของการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนน เชียล ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \Pr(X>t+s\mid X>s)=\Pr(X>t).}$$$${\displaystyle {\frac {\Pr(X>t+s)}{\Pr(X>s)}}=\Pr(X>t).}$$${\displaystyle S(t)=\Pr(X>t)}$$${\displaystyle S(t+s)=S(t)S(s).}$$${\displaystyle k}$$${\displaystyle S(kt)=S(t)^{k}.}$$${\displaystyle k}$$${\displaystyle S\left({\frac {t}{k}}\right)=S(t)^{\frac {1}{k}}.}$$${\displaystyle k}$$${\displaystyle S(t)=S(1)^{t}=e^{t\ln S(1)}=e^{-\lambda t}}$$${\displaystyle \lambda =-\ln S(1)\geq 0}$

ถ้าการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องไม่มีความจำ แสดงว่าการแจกแจงนั้นต้องเป็นการแจกแจงแบบเรขาคณิต

จากคุณสมบัติไร้ความทรงจำ นิยามของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเผยให้เห็นว่า จากนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยการอุปมานว่า จากนั้นจึงสรุปได้ว่า และถ้าเราให้ เราจะเห็นได้อย่างง่ายดายว่ามีการแจกแจงแบบเรขาคณิตด้วยพารามิเตอร์บางตัว กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ $${\displaystyle \Pr(X>t+s\mid X\geq s)=\Pr(X>t).}$$$${\displaystyle {\frac {\Pr(X>t+s)}{\Pr(X\geq s)}}=\Pr(X>t).}$$$${\displaystyle \Pr(X>k)=\Pr(X>1)^{k}.}$$$${\displaystyle f_{X}(x)=\Pr(X\leq x)=1-\Pr(X>x)=1-\Pr(X>1)^{x},}$$$${\displaystyle p:=1-\Pr(X>1)\in [0,1]}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle X\sim \operatorname {Geo} (p).}$$