ในทางคณิตศาสตร์ระนาบมินคอฟสกี (ตั้งชื่อตามเฮอร์มันน์ มินคอฟสกี ) เป็นหนึ่งในระนาบเบนซ์ (ระนาบอื่นๆ ได้แก่ระนาบโมเบียสและระนาบลากูแอร์ )

เมื่อใช้ระยะทางแบบซูโด-ยูคลิดกับจุดสองจุด(แทนที่จะใช้ระยะทางแบบยูคลิด) เราจะได้เรขาคณิตของไฮเปอร์โบลาเนื่องจากวงกลมแบบซูโด-ยูคลิดเป็นไฮเปอร์โบลาที่มีจุดกึ่งกลางอยู่ที่ ⁠ ⁠${\displaystyle d(P_{1},P_{2})=(x'_{1}-x'_{2})^{2}-(y'_{1}-y'_{2})^{2}}$${\displaystyle P_{i}=(x'_{i},y'_{i})}$${\displaystyle \{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid d(P,M)=r\}}$${\displaystyle M}$

โดยการแปลงพิกัด⁠ ⁠${\displaystyle x_{i}=x'_{i}+y'_{i}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle y_{i}=x'_{i}-y'_{i}}$ระยะทางแบบซูโด-ยูคลิดสามารถเขียนใหม่ได้เป็น⁠ ⁠${\displaystyle d(P_{1},P_{2})=(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})}$จากนั้นไฮเปอร์โบลาจะมีเส้นกำกับขนานกับแกนพิกัดที่ไม่มีเครื่องหมายไพรม์

การเติมเต็มต่อไปนี้ (ดูระนาบโมเบียสและลากูร์) ทำให้ เรขาคณิตของไฮเปอร์โบลา เป็นเนื้อเดียวกัน :

• ชุดของจุด :$${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\left(\mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}\right)^{2}=\mathbb {R} ^{2}\cup \left(\left\{\infty \right\}\times \mathbb {R} \right)\cup \left(\mathbb {R} \times \left\{\infty \right\}\right)\ \cup \left\{\left(\infty ,\infty \right)\right\}\ ,\ \infty \notin \mathbb {R} ,}$$
• ชุดของวัฏจักร$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}:={}&\left\{\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=ax+b\right\}\cup \left\{\left(\infty ,\infty \right)\right\}\mid a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}\\&\quad \cup \left\{\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y={\frac {a}{xb}}+c,x\neq b\right\}\cup \left\{\left(b,\infty \right),\left(\infty ,c\right)\right\}\mid a,b,c\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}.\end{aligned}}}$$

โครงสร้างการเกิดเหตุการณ์ นี้เรียกว่า ระนาบมินคอฟสกีแบบคลาสสิ ก ที่แท้จริง${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$

เซตของจุดประกอบด้วย⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , สำเนาสองชุดของและจุด⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (\infty ,\infty )}$

เส้นตรงใดๆจะสมบูรณ์ด้วยจุด⁠ ⁠ส่วนไฮเปอร์โบลาใดๆ จะสมบูรณ์ ด้วยจุดสองจุด(ดูรูปประกอบ) ${\displaystyle y=ax+b,a\neq 0}$${\displaystyle (\infty ,\infty )}$${\displaystyle y={\frac {a}{x-b}}+c,a\neq 0}$${\displaystyle (b,\infty ),(\infty ,c)}$

จุดสองจุดไม่สามารถเชื่อมต่อกันด้วยวงจรได้ก็ต่อ เมื่อหรือเท่านั้น${\displaystyle (x_{1},y_{1})\neq (x_{2},y_{2})}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$${\displaystyle y_{1}=y_{2}}$

เรากำหนดว่า จุดสองจุด, ขนานกัน (+)ถ้าและขนานกัน( − )ถ้าความสัมพันธ์ทั้งสอง นี้เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนเซตของ จุด${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{1}\parallel _{+}P_{2}}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$${\displaystyle P_{1}\parallel _{-}P_{2}}$${\displaystyle y_{1}=y_{2}}$

จุดสองจุดเรียกว่าขนานกัน ( ⁠ ⁠ ) ถ้า หรือ⁠ ⁠ . ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$${\displaystyle P_{1}\parallel P_{2}}$${\displaystyle P_{1}\parallel _{+}P_{2}}$${\displaystyle P_{1}\parallel _{-}P_{2}}$

จากคำจำกัดความข้างต้น เราพบว่า:

บทพิสูจน์ย่อย:

• สำหรับจุดสองจุดที่ไม่ขนานกันจะมี${\displaystyle A}$จุดเพียงจุดเดียวเท่านั้นที่มี⁠ ⁠${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A\parallel _{+}C\parallel _{-}B}$
• สำหรับจุดใดๆและวัฏจักรใดๆจะมีจุดสองจุดพอดีที่มีค่า⁠ ⁠ .${\displaystyle P}$${\displaystyle z}$${\displaystyle A,B\in z}$${\displaystyle A\parallel _{+}P\parallel _{-}B}$
• สำหรับจุดสามจุดใดๆ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle B}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle C}$ , ที่ไม่ขนานกันเป็นคู่ๆ จะมีวงจรเพียงวงเดียวเท่านั้นที่ประกอบด้วย⁠ ⁠ .${\displaystyle z}$${\displaystyle A,B,C}$
• สำหรับวัฏจักรใดๆจุดใด${\displaystyle z}$ๆและจุดใดๆและจะมีวัฏจักรเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นที่ทำให้กล่าวคือสัมผัสที่จุด${\displaystyle P\in z}$${\displaystyle Q,P\not \parallel Q}$${\displaystyle Q\notin z}$${\displaystyle z'}$${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z'}$${\displaystyle P}$

เช่นเดียวกับระนาบโมเบียสและลากูร์แบบคลาสสิก ระนาบมินคอฟสกีสามารถอธิบายได้ว่าเป็นเรขาคณิตของระนาบตัดของควอดริกที่เหมาะสม แต่ในกรณีนี้ ควอดริกนั้นอยู่ในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ 3 มิติ: ระนาบมินคอฟสกีจริงแบบคลาสสิกนั้นสมมาตรกับเรขาคณิตของระนาบตัดของไฮเปอร์โบโลอิดที่มีแผ่นเดียว (ไม่ใช่ควอดริกที่เสื่อมสภาพที่มีดัชนี 2)

ให้เป็นโครงสร้างเหตุการณ์ที่มีเซตของจุด เซตของวัฏจักร และความสัมพันธ์สมมูลสองแบบ((+)-ขนาน) และ((−)-ขนาน) บนเซตสำหรับเรากำหนด: และชั้นสมมูลหรือเรียกว่า(+)-ตัวสร้างและ(−)-ตัวสร้าง ตามลำดับ (สำหรับแบบจำลองพื้นที่ของระนาบมินคอฟสกี แบบ คลาสสิก ตัวสร้างคือเส้นตรงบนไฮเปอร์โบโลอิด) จุดสองจุดเรียกว่าขนานกัน ( ) ถ้าหรือ${\displaystyle \left({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in \right)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$${\displaystyle \parallel _{+}}$${\displaystyle \parallel _{-}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\overline {P}}_{+}:=\left\{Q\in {\mathcal {P}}\mid Q\parallel _{+}P\right\}}$${\displaystyle {\overline {P}}_{-}:=\left\{Q\in {\mathcal {P}}\mid Q\parallel _{-}P\right\}}$${\displaystyle {\overline {P}}_{+}}$${\displaystyle {\overline {P}}_{-}}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle A\parallel B}$${\displaystyle A\parallel _{+}B}$${\displaystyle A\parallel _{-}B}$

โครงสร้างเหตุการณ์เรียกว่าระนาบมินคอฟสกีถ้าสัจพจน์ต่อไปนี้เป็นจริง:${\displaystyle {\mathfrak {M}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )}$

• C1 : สำหรับจุดสองจุดที่ไม่ขนานกันจะมีจุดเพียงจุดเดียวเท่านั้นที่มีคุณสมบัติ.${\displaystyle A,B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A\parallel _{+}C\parallel _{-}B}$
• C2 : สำหรับจุดใดๆและวัฏจักรใดๆจะมีจุดสองจุดพอดีที่มีค่า.${\displaystyle P}$${\displaystyle z}$${\displaystyle A,B\in z}$${\displaystyle A\parallel _{+}P\parallel _{-}B}$
• C3 : สำหรับจุดสามจุดใดๆที่ไม่ขนานกันเป็นคู่ๆ จะมีวงจรเพียงวงเดียวเท่านั้นที่ประกอบด้วย จุด เหล่า นั้น${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle z}$${\displaystyle A,B,C}$
• C4 : สำหรับวัฏจักรใดๆจุดใดๆและจุดใดๆและจะมีวัฏจักรเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นที่ทำให้ นั่นคือสัมผัสที่จุด${\displaystyle z}$${\displaystyle P\in z}$${\displaystyle Q,P\not \parallel Q}$${\displaystyle Q\notin z}$${\displaystyle z'}$${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z'}$${\displaystyle P}$
• C5 : วงจรใดๆ ก็ตามจะมีจุดอย่างน้อย 3 จุด และอย่างน้อยหนึ่งวงจรและจุดจะไม่อยู่ในนั้น${\displaystyle z}$${\displaystyle P}$${\displaystyle z}$

สำหรับการตรวจสอบ ข้อความต่อไปนี้เกี่ยวกับคลาสคู่ขนาน (เทียบเท่ากับ C1 และ C2 ตามลำดับ) จะเป็นประโยชน์

• C1′ : สำหรับจุดสองจุดใดๆเราจะได้⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$.${\displaystyle B}$${\displaystyle \left|{\overline {A}}_{+}\cap {\overline {B}}_{-}\right|=1}$
• C2′ : สำหรับจุดใดๆและวัฏจักรใดๆเรามี: ⁠ ⁠ .${\displaystyle P}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \left|{\overline {P}}_{+}\cap z\right|=1=\left|{\overline {P}}_{-}\cap z\right|}$

ผลที่ตามมาประการแรกของสัจพจน์คือ

ในทำนองเดียวกันกับระนาบโมเบียสและลากูร์ เราจะพบความเชื่อมโยงกับเรขาคณิตเชิงเส้นผ่านทางเศษเหลือ

สำหรับระนาบมินคอฟสกีเรากำหนดโครงสร้างเฉพาะที่ และเรียกมันว่าส่วนที่เหลือ ณ จุด P ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )}$${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$$${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{P}:=({\mathcal {P}}\setminus {\overline {P}},\{z\setminus \{{\overline {P}}\}\mid P\in z\in {\mathcal {Z}}\}\cup \{E\setminus {\overline {P}}\mid E\in {\mathcal {E}}\setminus \{{\overline {P}}_{+},{\overline {P}}_{-}\}\},\in )}$$

สำหรับระนาบมินคอฟสกีแบบคลาสสิกนั้นก็ คือระนาบแอฟฟินที่แท้จริงนั่นเอง${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{(\infty ,\infty )}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

ผลสืบเนื่องโดยตรงจากสัจพจน์ C1 ถึง C4 และ C1′, C2′ คือทฤษฎีบทสองข้อต่อไปนี้

แบบจำลองขั้นต่ำของระนาบมินคอฟสกีสามารถสร้างขึ้นได้จากเซตขององค์ประกอบสามอย่าง: ${\displaystyle {\overline {K}}:=\{0,1,\infty \}}$$${\displaystyle {\mathcal {P}}:={\overline {K}}^{2}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}:\!&=\left\{\{(a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),(a_{3},b_{3})\}\mid \{a_{1},a_{2},a_{3}\}=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}={\overline {K}}\right\}\\&=\{\{(0,0),(1,1),(\infty ,\infty )\},\;\{(0,0),(1,\infty ),(\infty ,1)\},\\&\qquad \{(0,1),(1,0),(\infty ,\infty )\},\;\{(0,1),(1,\infty ),(\infty ,0)\},\\&\qquad \{(0,\infty ),(1,1),(\infty ,0)\},\;\{(0,\infty ),(1,0),(\infty ,1)\}\}\end{aligned}}}$$

จุดขนาน:

• ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\parallel _{+}(x_{2},y_{2})}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$
• ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\parallel _{-}(x_{2},y_{2})}$ก็ต่อเมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle y_{1}=y_{2}}$ .

ดังนั้นและ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \left|{\mathcal {P}}\right|=9}$${\displaystyle \left|{\mathcal {Z}}\right|=6}$

สำหรับระนาบมิงโกวสกีแบบจำกัด เราจะได้จาก C1′, C2′:

สิ่งนี้ทำให้เกิดนิยาม ที่ ว่า : สำหรับระนาบมินคอฟสกีแบบจำกัดและวัฏจักรของเราเรียกจำนวนเต็มว่าอันดับของ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$${\displaystyle n=\left|z\right|-1}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$

การพิจารณาเชิงการจัดเรียงอย่างง่ายให้ผลลัพธ์ดังนี้

เราได้ตัวอย่างที่สำคัญที่สุดของระนาบมินคอฟสกีโดยการขยายแบบจำลองจริงแบบคลาสสิก: เพียงแค่ แทนที่ด้วย ฟิลด์ใดๆเราก็จะได้ระนาบมิ นคอฟสกีในทุกกรณี${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )}$

ในทำนองเดียวกันกับระนาบโมเบียสและลากูร์ ทฤษฎีบทของมิเกลเป็นคุณสมบัติเฉพาะของระนาบมินคอ ฟสกี${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$

ทฤษฎีบท (มิเกล):สำหรับระนาบมินคอฟสกีข้อความต่อไปนี้เป็นจริง: ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$

ถ้าหากมีจุด 8 จุดใดๆ ที่ไม่ขนานกันเป็นคู่ๆซึ่งสามารถกำหนดให้กับจุดยอดของลูกบาศก์ได้ โดยที่จุดบนหน้าทั้ง 5 หน้าสอดคล้องกับกลุ่มจุดสี่จุดที่อยู่บนวงกลมเดียวกันแล้ว กลุ่มจุดสี่จุดที่หกก็จะอยู่บนวงกลมเดียวกันด้วยเช่นกัน${\displaystyle P_{1},...,P_{8}}$

(เพื่อให้เห็นภาพรวมได้ชัดเจนยิ่งขึ้น ในภาพจึงวาดเป็นวงกลมแทนเส้นไฮเปอร์โบลา)

ทฤษฎีบท (เฉิน):มีเพียงระนาบมินคอฟสกีเท่านั้นที่สอดคล้องกับทฤษฎีบทของมิเกล ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$

เนื่องจากทฤษฎีบทสุดท้ายเรียกว่าระนาบมิเกเลียนมิงโกวสกี ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$

หมายเหตุ:แบบจำลองขั้นต่ำของระนาบมินคอฟสกีคือระนาบมิเกเลียน

มันสมมาตรกับระนาบมินคอฟสกีที่มี(ฟิลด์⁠ ⁠ )${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$${\displaystyle K=\operatorname {GF} (2)}$${\displaystyle \{0,1\}}$

ผลลัพธ์ที่น่าทึ่งคือ

ทฤษฎีบท (ไฮเซ): ระนาบมินคอฟสกีใดๆ ที่มี อันดับ คู่ ล้วนเป็นระนาบมิเกเลียน

หมายเหตุ: การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกที่เหมาะสมแสดงให้เห็นว่า: มีสมมาตรกับเรขาคณิตของระนาบตัดบนไฮเปอร์โบโลอิดหนึ่งแผ่น ( ควอดริกดัชนี 2) ในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ 3 มิติเหนือฟิลด์ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$${\displaystyle K}$

หมายเหตุ:มีระนาบมินคอฟสกีจำนวนมากที่ไม่ใช่ระนาบมิเกเลียน (ดูลิงก์ด้านล่าง) แต่ไม่มีระนาบมินคอฟสกี "รูปไข่" ซึ่งแตกต่างจากระนาบโมเบียสและลากูร์ เพราะเซตกำลังสอง ใดๆ ที่มีดัชนี 2 ในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ 3 มิติ เป็นเซตกำลังสอง (ดูเซตกำลังสอง )

• เรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มอล

• เครื่องบินเบนซ์ในสารานุกรมคณิตศาสตร์
• เอกสารประกอบการบรรยายเรขาคณิตวงกลมระนาบ : บทนำสู่ระนาบโมเบียส ระนาบลากูแอร์ และระนาบมินคอฟสกี