ในทางเรขาคณิตแกนเอกของวงรีคือเส้นผ่านศูนย์กลาง ที่ยาวที่สุด : ส่วนของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางและจุดโฟกัส ทั้งสอง โดยมีปลายอยู่ที่จุดที่ห่างกันมากที่สุดสองจุดของเส้นรอบวงแกนกึ่งเอก ( แกนกึ่งเอก ) คือเส้นผ่านศูนย์กลางครึ่ง หนึ่งที่ยาวที่สุด หรือครึ่งหนึ่งของแกนเอก ดังนั้นจึงลากจากจุดศูนย์กลาง ผ่านจุดโฟกัสและไปยังเส้นรอบวงแกนกึ่งรอง ( แกนกึ่งรอง ) ของวงรีหรือไฮเปอร์โบลาคือส่วนของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกนกึ่งเอกและมีปลายด้านหนึ่งอยู่ที่จุดศูนย์กลางของภาคตัดกรวยสำหรับกรณีพิเศษของวงกลม ความยาวของแกนกึ่งทั้งสองจะเท่ากับรัศมีของวงกลม

ความยาวของแกนกึ่งเอกaของวงรีมีความสัมพันธ์กับความยาวของแกนกึ่งรองbโดยผ่านค่าความเยื้องศูนย์eและค่ากึ่งลาตัสเรกตัม ดังนี้: ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\\ell &=a(1-e^{2}),\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}$

แกนกึ่งเอกของไฮเปอร์โบลาขึ้นอยู่กับธรรมเนียมปฏิบัติ อาจเป็นค่าบวกหรือลบครึ่งหนึ่งของระยะห่างระหว่างปลายทั้งสองของไฮเปอร์โบลา ดังนั้นจึงหมายถึงระยะห่างจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดยอด ใดจุดหนึ่ง ของไฮเปอร์โบลา

พาราโบลาสามารถหาได้จากลิมิตของลำดับวงรี โดยที่จุดโฟกัสหนึ่งคงที่ ในขณะที่อีกจุดโฟกัสหนึ่งสามารถเคลื่อนที่ออกไปไกลเท่าใดก็ได้ในทิศทางเดียว โดยที่ค่า a และ b คงที่ดังนั้น a และ b จึง มีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์ โดยที่ a มีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์เร็วกว่าb${\displaystyle \ell }$

แกนเอกและแกนรองเป็นแกนสมมาตรของเส้นโค้ง: ในวงรี แกนรองคือแกนที่สั้นกว่า ในไฮเปอร์โบลา แกนรองคือแกนที่ไม่ตัดกับไฮเปอร์โบลา

สมการของวงรีคือ

${\displaystyle {\frac {(xh)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(yk)^{2}}{b^{2}}}=1,}$

โดยที่ ( h ,  k ) คือจุดศูนย์กลางของวงรีในพิกัดคาร์ทีเซียนซึ่งจุดใดๆ บนวงรีนั้นกำหนดโดย ( x ,  y )

แกนกึ่งเอกคือค่าเฉลี่ยของระยะทางสูงสุดและต่ำสุดของวงรีจากจุดโฟกัส กล่าวคือ ค่าเฉลี่ยของระยะทางจากจุดโฟกัสไปยังจุดปลายของแกนเอก ${\displaystyle r_{\text{max}}}$${\displaystyle r_{\text{min}}}$

${\displaystyle a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.}$

ในทางดาราศาสตร์ จุดสุดขั้วเหล่านี้เรียกว่าจุดใกล้สุดขั้ว^{[ 1 ]}

แกนกึ่งรองของวงรีคือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของระยะทางเหล่านี้:

${\displaystyle b={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}}.}$

ค่าความเยื้องศูนย์ของวงรีถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}},}$

ดังนั้น

${\displaystyle r_{\text{min}}=a(1-e),\quad r_{\text{max}}=a(1+e).}$

ทีนี้ลองพิจารณาสมการในพิกัดเชิงขั้วโดยมีจุดโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่จุดกำเนิด และอีกจุดหนึ่งอยู่ที่ทิศทาง: ${\displaystyle \theta =\pi }$

${\displaystyle r(1+e\cos \theta )=\ell .}$

ค่าเฉลี่ยของและสำหรับและคือ ${\displaystyle r=\ell /(1-e)}$${\displaystyle r=\ell /(1+e)}$${\displaystyle \theta =\pi }$${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle a={\frac {\ell }{1-e^{2}}}.}$

ในรูปวงรี แกนกึ่งเอกคือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดโฟกัสทั้งสองข้าง และระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังเส้นไดเรกทริกซ์ทั้งสองข้าง

แกนกึ่งเล็กของวงรีลากจากจุดศูนย์กลางของวงรี (จุดกึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัส ทั้งสองและอยู่บนเส้นตรง เดียวกัน) ไปยังขอบของวงรี แกนกึ่งเล็กมีความยาวเป็นครึ่งหนึ่งของแกนเล็ก แกนเล็กคือส่วนของเส้นตรงที่ยาวที่สุดที่ตั้งฉากกับแกนใหญ่และเชื่อมต่อจุดสองจุดบนขอบของวงรี

แกนกึ่งเล็กbสัมพันธ์กับแกนกึ่งใหญ่aผ่านค่าความเยื้องศูนย์eและเส้นลาตัสเรคตัมกึ่ง ดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}$

พาราโบลาสามารถหาได้จากลิมิตของลำดับวงรี โดยที่จุดโฟกัสหนึ่งคงที่ ในขณะที่อีกจุดโฟกัสหนึ่งสามารถเคลื่อนที่ออกไปไกลเท่าใดก็ได้ในทิศทางเดียว โดยที่ค่า a และ b คงที่ดังนั้น a และ b จึง มีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์ โดยที่ a มีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์เร็วกว่าb${\displaystyle \ell }$

ความยาวของแกนกึ่งเล็กสามารถหาได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle 2b={\sqrt {(p+q)^{2}-f^{2}}},}$

โดยที่fคือระยะห่างระหว่างจุดโฟกัส และ pกับqคือระยะห่างจากจุดโฟกัสแต่ละจุดไปยังจุดใดๆ ในวงรี

แกนกึ่งเอกของไฮเปอร์โบลาขึ้นอยู่กับธรรมเนียมปฏิบัติ โดยอาจเป็นค่าบวกหรือลบครึ่งหนึ่งของระยะห่างระหว่างสองสาขา หากค่านี้อยู่ ใน ทิศทาง x สมการจะเป็นดังนี้: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\frac {\left(xh\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(yk\right)^{2}}{b^{2}}}=1.}$

ในแง่ของเซมิ-ลาตัส เรคตัมและความเยื้องศูนย์ เรามี

${\displaystyle a={\ell \over e^{2}-1}.}$

แกนตามขวางของไฮเปอร์โบลาจะตรงกับแกนหลัก^{[ 4 ]}

ในไฮเปอร์โบลา แกนสังยุคหรือแกนรองที่มีความยาวเท่ากับแกนรองของวงรี สามารถลากตั้งฉากกับแกนตามขวางหรือแกนหลักได้ โดยแกนหลักจะเชื่อมจุดยอด ทั้งสอง (จุดเปลี่ยน) ของไฮเปอร์โบลา และแกนทั้งสองจะตัดกันที่จุดศูนย์กลางของไฮเปอร์โบลา จุดปลายของแกนรองจะอยู่ที่ระดับความสูงของเส้นกำกับเหนือ/ใต้จุดยอดของไฮเปอร์โบลา ครึ่งหนึ่งของแกนรองเรียกว่าแกนกึ่งรอง ซึ่งมีความยาวเท่ากับbโดยกำหนดให้ความยาวของแกนกึ่งหลัก (ระยะทางจากจุดศูนย์กลางถึงจุดยอด) เป็นaความยาวของแกนกึ่งรองและแกนกึ่งหลักจะปรากฏในสมการของไฮเปอร์โบลาที่สัมพันธ์กับแกนเหล่านี้ดังนี้: ${\displaystyle 2b}$${\displaystyle (0,\pm b)}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

แกนกึ่งเล็ก (Semi-minor axis) คือระยะห่างจากจุดโฟกัสจุดหนึ่งของไฮเปอร์โบลาไปยังเส้นกำกับ (asymptote) ซึ่งมักเรียกว่าพารามิเตอร์การกระทบ (Impact parameter ) มีความสำคัญในวิชาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ และใช้วัดระยะทางที่อนุภาคจะพลาดจุดโฟกัสไป หากการเดินทางของอนุภาคไม่ถูกรบกวนจากวัตถุที่จุดโฟกัส

แกนกึ่งไมเนอร์และแกนกึ่งเมเจอร์มีความสัมพันธ์กันผ่านค่าความเยื้องศูนย์ ดังนี้:

${\displaystyle b=a{\sqrt {e^{2}-1}}.}$^{[ 5 ]}

โปรดทราบว่าในไฮเปอร์โบลา^bอาจมีค่ามากกว่าa [ ^{6 ]}

ในพลศาสตร์ดาราศาสตร์คาบการโคจรTของวัตถุขนาดเล็กที่โคจรรอบวัตถุกลางในวงโคจรวงกลมหรือวงรีคือ: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},}$

ที่ไหน:

${\displaystyle \mu }$คือค่าพารามิเตอร์ความโน้มถ่วงมาตรฐานของวัตถุศูนย์กลาง

โปรดทราบว่าสำหรับวงรีทุกวงที่มีแกนกึ่งเอกที่กำหนดให้ คาบการโคจรจะเท่ากัน โดยไม่คำนึงถึงความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร

โมเมนตัมเชิงมุมจำเพาะhของวัตถุขนาดเล็กที่โคจรรอบวัตถุกลางในวงโคจรวงกลมหรือวงรีคือ^{[ 1 ]}

${\displaystyle h={\sqrt {a\mu (1-e^{2})}},}$

ที่ไหน:

และเป็นไปตามคำจำกัดความข้างต้น${\displaystyle \mu }$

ในทางดาราศาสตร์แกนกึ่งเอกเป็นหนึ่งในองค์ประกอบวงโคจร ที่สำคัญที่สุด ของวงโคจรควบคู่ไปกับคาบวงโคจรสำหรับ วัตถุ ในระบบสุริยะแกนกึ่งเอกมีความสัมพันธ์กับคาบวงโคจรโดยกฎข้อที่สามของเคปเลอร์ (เดิมที ได้มาจาก การสังเกตการณ์ ): ^{[ 1 ]}

${\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}$

โดยที่Tคือคาบ และaคือแกนกึ่งเอก รูปแบบนี้กลายเป็นรูปแบบที่เรียบง่ายของรูปแบบทั่วไปสำหรับปัญหาสองวัตถุ ตามที่ นิวตันกำหนดไว้: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3},}$

โดยที่Gคือค่าคงที่ความโน้มถ่วงMคือมวลของวัตถุศูนย์กลาง และmคือมวลของวัตถุที่โคจรรอบข้าง โดยทั่วไป มวลของวัตถุศูนย์กลางจะมากกว่ามวลของวัตถุที่โคจรรอบข้างมากจน สามารถละเลยค่า mได้ การสมมติเช่นนั้นและใช้หน่วยทางดาราศาสตร์ทั่วไปทำให้ได้รูปแบบที่เรียบง่ายกว่าที่เคปเลอร์ค้นพบ

เส้นทางโคจรของวัตถุรอบจุดศูนย์กลางมวลและเส้นทางสัมพันธ์กับวัตถุหลักต่างก็เป็นวงรี^{[ 1 ]}บางครั้งแกนกึ่งเอกถูกใช้ในทางดาราศาสตร์เป็นระยะทางระหว่างวัตถุหลักกับวัตถุรองเมื่ออัตราส่วนมวลของวัตถุหลักต่อวัตถุรองมีขนาดใหญ่มาก ( ); ดังนั้นพารามิเตอร์วงโคจรของดาวเคราะห์จึงกำหนดในแง่ของเฮลิโอเซนทริก ความแตกต่างระหว่างวงโคจรแบบไพรโมเซนทริกและวงโคจรแบบ "สัมบูรณ์" อาจแสดงให้เห็นได้ดีที่สุดโดยการพิจารณาระบบโลก-ดวงจันทร์ อัตราส่วนมวลในกรณีนี้คือ${\displaystyle M\gg m}$81.300 59ระยะทางลักษณะเฉพาะระหว่างโลกและดวงจันทร์ หรือกึ่งแกนเอกของวง โคจรดวง จันทร์แบบ จีโอเซนท ริก คือ 384,400 กม. (เมื่อพิจารณาค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจรดวงจันทร์e  = 0.0549 กึ่งแกนรองของวงโคจรดวงจันทร์คือ 383,800 กม. ดังนั้นวงโคจรของดวงจันทร์จึงเกือบเป็นวงกลม) ในทางกลับกัน วงโคจรดวง จันทร์แบบแบรีเซนทริก มีกึ่งแกนเอก 379,730 กม. โดยวงโคจรตรงข้ามของโลกกินพื้นที่ส่วนต่าง 4,670 กม. ความเร็วเฉลี่ยของวงโคจรแบบแบรีเซนทริกของดวงจันทร์คือ 1.010 กม./วินาที ในขณะที่ของโลกคือ 0.012 กม./วินาที ผลรวมของความเร็วเหล่านี้ทำให้ได้ความเร็วเฉลี่ยของวงโคจรดวงจันทร์แบบจีโอเซนทริกเท่ากับ 1.022 กม./วินาที ค่าเดียวกันนี้อาจได้มาจากการพิจารณาเฉพาะค่ากึ่งแกนเอกของระบบพิกัดโลกเท่านั้น

มักกล่าวกันว่าแกนกึ่งเอกคือระยะทาง "เฉลี่ย" ระหว่างจุดโฟกัสหลักของวงรีกับวัตถุที่โคจรอยู่ ซึ่งไม่ถูกต้องนัก เพราะขึ้นอยู่กับว่าค่าเฉลี่ยนั้นคำนวณจากอะไร ระยะทางเฉลี่ยตามเวลาและมุมของวัตถุที่โคจรอยู่สามารถแตกต่างจากแกนกึ่งเอกของวงโคจรได้ถึง 50-100% ขึ้นอยู่กับความเยื้องศูนย์^{[ 7 ]}

• การหาค่าเฉลี่ยของระยะทางเหนือความผิดปกติแบบวงรีส่งผลให้ได้แกนกึ่งเอก
• การหาค่าเฉลี่ยของค่าความผิดปกติที่แท้จริง (มุมวงโคจรที่แท้จริง ซึ่งวัด ณ จุดโฟกัส ) จะได้ค่าแกนกึ่งเล็ก${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}}$
• การหาค่าเฉลี่ยของค่าความผิดปกติเฉลี่ย (เศษส่วนของคาบการโคจรที่ผ่านไปนับตั้งแต่จุดใกล้ที่สุดของวงโคจร ซึ่งแสดงเป็นมุม) จะได้ค่าเฉลี่ยตามเวลา${\displaystyle a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)\,}$

ค่าเฉลี่ยตามเวลาของส่วนกลับของรัศมีคือ. ${\displaystyle r^{-1}}$${\displaystyle a^{-1}}$

ในวิชาดาราศาสตร์พลศาสตร์แกนกึ่งเอกaสามารถคำนวณได้จากเวกเตอร์สถานะวงโคจร :

${\displaystyle a=-{\frac {\mu }{2\varepsilon }}}$

สำหรับวงโคจรวงรีและขึ้นอยู่กับข้อตกลง อาจจะเป็นแบบเดียวกันหรือ

${\displaystyle a={\frac {\mu }{2\varepsilon }}}$

สำหรับวิถีโค้งไฮเปอร์โบลิกและ

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{|\mathbf {r} |}}}$

( พลังงานวงโคจรจำเพาะ ) และ

${\displaystyle \mu =GM,}$

( พารามิเตอร์ความโน้มถ่วงมาตรฐาน ) โดยที่:

vคือความเร็วเชิงวงโคจร ซึ่งได้มาจากเวกเตอร์ความเร็วของวัตถุที่โคจรอยู่

rคือเวกเตอร์ตำแหน่งคาร์ทีเซียน ของวัตถุที่โคจรอยู่ในระบบพิกัดของกรอบอ้างอิงที่จะใช้ในการคำนวณองค์ประกอบของวงโคจร (เช่น กรอบอ้างอิงศูนย์กลางโลกและเส้นศูนย์สูตรสำหรับวงโคจรรอบโลก หรือกรอบอ้างอิงศูนย์กลางดวงอาทิตย์และสุริยวิถีสำหรับวงโคจรรอบดวงอาทิตย์)

Gคือ ค่าคง ที่ความโน้มถ่วง

Mคือมวลของวัตถุที่ก่อให้เกิดแรงโน้มถ่วง และ

${\displaystyle \varepsilon }$คือพลังงานจำเพาะของวัตถุที่โคจรอยู่

โปรดทราบว่าสำหรับมวลรวมที่กำหนด ค่าพลังงานจำเพาะและแกนกึ่งเอกจะเท่ากันเสมอ ไม่ว่าค่าความเยื้องศูนย์หรืออัตราส่วนของมวลจะเป็นอย่างไรก็ตาม ในทางกลับกัน สำหรับมวลรวมและแกนกึ่งเอกที่กำหนด ค่าพลังงานวงโคจรจำเพาะ รวม จะเท่ากันเสมอ ข้อความนี้จะเป็นจริงเสมอภายใต้เงื่อนไขใดๆ ก็ตาม

วงโคจรของดาวเคราะห์มักถูกยกมาเป็นตัวอย่างสำคัญของรูปวงรี ( กฎข้อแรกของเคปเลอร์ ) อย่างไรก็ตาม ความแตกต่างเพียงเล็กน้อยระหว่างแกนกึ่งหลักและแกนกึ่งรองแสดงให้เห็นว่าวงโคจรเหล่านั้นมีลักษณะเกือบเป็นวงกลม ความแตกต่าง (หรืออัตราส่วน) นั้นขึ้นอยู่กับค่าความเยื้องศูนย์กลางและคำนวณได้จากสูตรซึ่งสำหรับค่าความเยื้องศูนย์กลางของดาวเคราะห์ทั่วไปจะได้ผลลัพธ์ที่น้อยมาก ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}}$

เหตุผลที่สันนิษฐานว่าวงโคจรเป็นรูปวงรีเด่นชัดนั้น น่าจะมาจากความแตกต่างที่มากระหว่างจุดไกลสุดจากดวงอาทิตย์ (aphelion) และจุดใกล้สุดจากดวงอาทิตย์ (perihelion) ความแตกต่าง (หรืออัตราส่วน) นั้นก็ขึ้นอยู่กับค่าความเยื้องศูนย์กลางเช่นกัน และคำนวณได้จากสูตรเนื่องจากความแตกต่างที่มากระหว่างจุดไกลสุดจากดวงอาทิตย์และจุดใกล้สุดจากดวงอาทิตย์ทำให้สามารถมองเห็น กฎข้อที่สองของเคปเลอร์ ได้อย่างชัดเจน${\displaystyle {\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}}$

1 หน่วยดาราศาสตร์ (AU) เท่ากับ 149.6 ล้านกิโลเมตร

• แกนกึ่งหลักและแกนกึ่งรองของวงรีพร้อมภาพเคลื่อนไหวแบบอินเทอร์แอคทีฟ