ในทางคณิตศาสตร์อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกเชิง วงรี คืออนุกรม Σ c n c n c n −1ฟังก์ชันเชิงวงรี ของn ซึ่งคล้ายคลึงกับอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไป ที่อัตราส่วนเป็นฟังก์ชันตรรกยะ ของn และอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกพื้นฐาน ที่อัตราส่วนเป็นฟังก์ชันคาบของจำนวนเชิงซ้อน n อนุกรม เหล่านี้ได้รับการแนะนำโดย Date-Jimbo-Kuniba-Miwa-Okado (1987) และFrenkel & Turaev (1997) ในการศึกษาเกี่ยวกับสัญลักษณ์ 6-j เชิง วงรี
สำหรับการสำรวจอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกวงรี โปรดดูGasper & Rahman (2004) , Spiridonov (2008) หรือRosengren (2016 )
คำจำกัดความ สัญลักษณ์q-Pochhammer ถูกกำหนดโดย
( เอ ; q ) n = ∏ เค = 0 n − 1 ( 1 − เอ q เค ) = ( 1 − เอ ) ( 1 − เอ q ) ( 1 − เอ q 2 ) ⋯ ( 1 − เอ q n − 1 ) . {\displaystyle \displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}).} ( เอ 1 , เอ 2 , … , เอ ม ; q ) n = ( เอ 1 ; q ) n ( เอ 2 ; q ) n … ( เอ ม ; q ) n . {\displaystyle \displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.} ฟังก์ชัน Jacobi theta ที่ดัดแปลงแล้ว โดยมีอาร์กิวเมนต์x และชื่อ p ถูกกำหนดโดย
θ ( x ; พี ) = ( x , พี / x ; พี ) ∞ {\displaystyle \displaystyle \theta (x;p)=(x,p/x;p)_{\infty }} θ ( x 1 , . . . , x ม ; พี ) = θ ( x 1 ; พี ) . . . θ ( x ม ; พี ) {\displaystyle \displaystyle \theta (x_{1},...,x_{m};p)=\theta (x_{1};p)...\theta (x_{m};p)} แฟกทอเรียลแบบเลื่อนวงรีถูกกำหนดโดย
( เอ ; q , พี ) n = θ ( เอ ; พี ) θ ( เอ q ; พี ) . . . θ ( เอ q n − 1 ; พี ) {\displaystyle \displaystyle (a;q,p)_{n}=\theta (a;p)\theta (aq;p)...\theta (aq^{n-1};p)} ( เอ 1 , . . . , เอ ม ; q , พี ) n = ( เอ 1 ; q , พี ) n ⋯ ( เอ ม ; q , พี ) n {\displaystyle \displaystyle (a_{1},...,a_{m};q,p)_{n}=(a_{1};q,p)_{n}\cdots (a_{m};q,p)_{n}} อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกทีต้าr +1 E r
ร + 1 อี ร ( เอ 1 , . . . เอ ร + 1 ; ข 1 , . . . , ข ร ; q , พี ; z ) = ∑ n = 0 ∞ ( เอ 1 , . . . , เอ ร + 1 ; q , พี ) n ( q , ข 1 , . . . , ข ร ; q , พี ) n z n {\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}E_{r}(a_{1},...a_{r+1};b_{1},...,b_{r};q,p;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},...,a_{r+1};q,p)_{n}}{(q,b_{1},...,b_{r};q,p)_{n}}}z^{n}} อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกเธต้าที่สมดุลอย่างดีเยี่ยมr +1 V r
ร + 1 วี ร ( เอ 1 ; เอ 6 , เอ 7 , . . . เอ ร + 1 ; q , พี ; z ) = ∑ n = 0 ∞ θ ( เอ 1 q 2 n ; พี ) θ ( เอ 1 ; พี ) ( เอ 1 , เอ 6 , เอ 7 , . . . , เอ ร + 1 ; q , พี ) n ( q , เอ 1 q / เอ 6 , เอ 1 q / เอ 7 , . . . , เอ 1 q / เอ ร + 1 ; q , พี ) n ( q z ) n {\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}V_{r}(a_{1};a_{6},a_{7},...a_{r+1};q,p;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\theta (a_{1}q^{2n};p)}{\theta (a_{1};p)}}{\frac {(a_{1},a_{6},a_{7},...,a_{r+1};q,p)_{n}}{(q,a_{1}q/a_{6},a_{1}q/a_{7},...,a_{1}q/a_{r+1};q,p)_{n}}}(qz)^{n}} อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกทีต้าแบบทวิภาคีr G r
ร จี ร ( เอ 1 , . . . เอ ร ; ข 1 , . . . , ข ร ; q , พี ; z ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( เอ 1 , . . . , เอ ร ; q , พี ) n ( ข 1 , . . . , ข ร ; q , พี ) n z n {\displaystyle \displaystyle {}_{r}G_{r}(a_{1},...a_{r};b_{1},...,b_{r};q,p;z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},...,a_{r};q,p)_{n}}{(b_{1},...,b_{r};q,p)_{n}}}z^{n}}
นิยามของอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกเชิงวงรีแบบบวก จำนวนเชิงวงรีถูกกำหนดโดย
[ เอ ; σ , τ ] = θ 1 ( π σ เอ , อี π ฉัน τ ) θ 1 ( π σ , อี π ฉัน τ ) {\displaystyle [a;\sigma ,\tau ]={\frac {\theta _{1}(\pi \sigma a,e^{\pi i\tau })}{\theta _{1}(\pi \sigma ,e^{\pi i\tau })}}} โดยที่ฟังก์ชันเธต้าของจาโคบี ถูกกำหนดโดย
θ 1 ( x , q ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q ( n + 1 / 2 ) 2 อี ( 2 n + 1 ) ฉัน x {\displaystyle \theta _{1}(x,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(n+1/2)^{2}}e^{(2n+1)ix}} แฟกทอเรียลแบบวงรีที่ปรับเปลี่ยนแล้วแบบบวกนั้นถูกกำหนดโดย
[ เอ ; σ , τ ] n = [ เอ ; σ , τ ] [ เอ + 1 ; σ , τ ] . . . [ เอ + n − 1 ; σ , τ ] {\displaystyle [a;\sigma ,\tau ]_{n}=[a;\sigma ,\tau ][a+1;\sigma ,\tau ]...[a+n-1;\sigma ,\tau ]} [ เอ 1 , . . . , เอ ม ; σ , τ ] = [ เอ 1 ; σ , τ ] . . . [ เอ ม ; σ , τ ] {\displaystyle [a_{1},...,a_{m};\sigma ,\tau ]=[a_{1};\sigma ,\tau ]...[a_{m};\sigma ,\tau ]} อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบบวกทีต้าr +1 e r
ร + 1 อี ร ( เอ 1 , . . . เอ ร + 1 ; ข 1 , . . . , ข ร ; σ , τ ; z ) = ∑ n = 0 ∞ [ เอ 1 , . . . , เอ ร + 1 ; σ , τ ] n [ 1 , ข 1 , . . . , ข ร ; σ , τ ] n z n {\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}e_{r}(a_{1},...a_{r+1};b_{1},...,b_{r};\sigma ,\tau ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[a_{1},...,a_{r+1};\sigma ,\tau ]_{n}}{[1,b_{1},...,b_{r};\sigma ,\tau ]_{n}}}z^{n}} อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกเธต้าที่สมดุลดีมากr +1 v r
ร + 1 วี ร ( เอ 1 ; เอ 6 , . . . เอ ร + 1 ; σ , τ ; z ) = ∑ n = 0 ∞ [ เอ 1 + 2 n ; σ , τ ] [ เอ 1 ; σ , τ ] [ เอ 1 , เอ 6 , . . . , เอ ร + 1 ; σ , τ ] n [ 1 , 1 + เอ 1 − เอ 6 , . . . , 1 + เอ 1 − เอ ร + 1 ; σ , τ ] n z n {\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}v_{r}(a_{1};a_{6},...a_{r+1};\sigma ,\tau ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[a_{1}+2n;\sigma ,\tau ]}{[a_{1};\sigma ,\tau ]}}{\frac {[a_{1},a_{6},...,a_{r+1};\sigma ,\tau ]_{n}}{[1,1+a_{1}-a_{6},...,1+a_{1}-a_{r+1};\sigma ,\tau ]_{n}}}z^{n}}
อ่านเพิ่มเติม Spiridonov, VP (2013). "แง่มุมของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกเชิงวงรี" ใน Berndt, Bruce C. (บรรณาธิการ). มรดกของศรีนิวาส รามานุจัน รายงานการประชุมนานาชาติเพื่อเฉลิมฉลองครบรอบ 125 ปีวันเกิดของรามานุจัน มหาวิทยาลัยเดลี 17-22 ธันวาคม 2012 ชุด บันทึกการบรรยาย ของ สมาคมคณิตศาสตร์รามานุจัน เล่ม ที่ 20 สมาคมคณิตศาสตร์รามานุจัน หน้า 347–361 arXiv : 1307.2876 Bibcode : 2013arXiv1307.2876S ISBN9789380416137 . Rosengren, Hjalmar (2016). "ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกเชิงวงรี". arXiv : 1608.06161 [ math.CA ]. 
![{\displaystyle [a;\sigma ,\tau ]={\frac {\theta _{1}(\pi \sigma a,e^{\pi i\tau })}{\theta _{1}(\pi \sigma ,e^{\pi i\tau })}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94d8d0bb1b97924ff5cb8dcb7862b623aa311ce)
![{\displaystyle [a;\sigma ,\tau ]_{n}=[a;\sigma ,\tau ][a+1;\sigma ,\tau ]...[a+n-1;\sigma ,\tau ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2da38081b9cc727134b56777757ea212d8d0ca)
![{\displaystyle [a_{1},...,a_{m};\sigma ,\tau ]=[a_{1};\sigma ,\tau ]...[a_{m};\sigma ,\tau ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b392b65337d21af3f4f57af588c903f192db9a35)
![{\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}e_{r}(a_{1},...a_{r+1};b_{1},...,b_{r};\sigma ,\tau ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[a_{1},...,a_{r+1};\sigma ,\tau ]_{n}}{[1,b_{1},...,b_{r};\sigma ,\tau ]_{n}}}z^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd468ae141e757305082831ba4220a53f78c5b5b)
![{\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}v_{r}(a_{1};a_{6},...a_{r+1};\sigma ,\tau ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[a_{1}+2n;\sigma ,\tau ]}{[a_{1};\sigma ,\tau ]}}{\frac {[a_{1},a_{6},...,a_{r+1};\sigma ,\tau ]_{n}}{[1,1+a_{1}-a_{6},...,1+a_{1}-a_{r+1};\sigma ,\tau ]_{n}}}z^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63ad1ba53fcbf4c2e9c7ba290172f33b9e441216)