ในการวิเคราะห์อนุกรมเวลาโมเดลค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ ( โมเดล MA ) หรือที่เรียกว่ากระบวนการค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่เป็นแนวทางมาตรฐานสำหรับการสร้างแบบจำลองอนุกรมเวลาแบบตัวแปรเดียว^{[ 1 ] [ 2 ]}

แบบจำลองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ (MA) แสดงค่าปัจจุบันของอนุกรมเวลาเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของค่าสุ่มในปัจจุบันและในอดีต (พจน์ความคลาดเคลื่อน) โดยมีช่วงเวลาล่าช้าที่จำกัด แตกต่างจากแบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟซึ่งถดถอยตัวแปรกับค่าในอดีต แบบจำลองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่อาศัยโครงสร้างความสัมพันธ์ของพจน์ความคลาดเคลื่อนเพียงอย่างเดียว

เมื่อรวมกับแบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟ (AR)แบบจำลองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ถือเป็นกรณีพิเศษและองค์ประกอบสำคัญของแบบจำลอง ARMA และ ARIMA ทั่วไป^{ของอนุกรมเวลา [} 3 ] ซึ่งมีโครงสร้างสุ่ม^{ที่ซับซ้อน}กว่า ตรงกันข้ามกับแบบจำลอง AR แบบจำลอง MA แบบจำกัดจะคงที่เสมอ

แบบจำลองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ไม่ควรสับสนกับค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ซึ่งเป็นแนวคิดที่แตกต่างกัน แม้จะมีบางส่วนที่คล้ายคลึงกันก็ตาม^{[ 4 ]}

สัญลักษณ์ MA( q ) หมายถึงแบบจำลองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ลำดับq :

${\displaystyle X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\theta _{1}\varepsilon _{t-1}+\cdots +\theta _{q}\varepsilon _{tq}=\mu +\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{ti}+\varepsilon _{t},}$

โดยที่คือค่าเฉลี่ยของอนุกรม คือสัมประสิทธิ์ของแบบจำลอง และคือพจน์ความคลาดเคลื่อน ค่าของqเรียกว่าลำดับของแบบจำลอง MA ซึ่งสามารถเขียนได้เทียบเท่าในรูปของตัวดำเนินการ backshift Bดังนี้^{[ 5 ]}${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \theta _{1},...,\theta _{q}}$${\displaystyle \varepsilon _{t},\varepsilon _{t-1},...,\varepsilon _{tq}}$

${\displaystyle X_{t}=\mu +(1+\theta _{1}B+\cdots +\theta _{q}B^{q})\varepsilon _{t}.}$

ดังนั้น แบบจำลองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่จึงเป็นแบบจำลองการถดถอยเชิงเส้นของค่าปัจจุบันของอนุกรมเทียบกับค่าความคลาดเคลื่อนแบบไวท์นอยส์หรือค่าสุ่มที่เกิดขึ้นในปัจจุบันและก่อนหน้า (ที่สังเกตได้) โดยถือว่าค่าสุ่มที่เกิดขึ้นในแต่ละจุดเป็นอิสระต่อกันและมาจากการแจกแจงเดียวกัน ซึ่งโดยทั่วไป คือ การแจกแจงแบบปกติโดยมีตำแหน่งอยู่ที่ศูนย์และมีขนาดคงที่

แบบจำลองค่าเฉลี่ย เคลื่อนที่ (Moving-Average Model: MA) โดยพื้นฐานแล้วคือ ตัวกรอง การตอบสนองแบบอิมพัลส์จำกัด (Finite Impulse Response Filter) ที่ใช้กับสัญญาณรบกวนสีขาว (White Noise) โดยมีการตีความเพิ่มเติมบางอย่าง บทบาทของค่าช็อกแบบสุ่มในแบบจำลอง MA แตกต่างจากบทบาท ในแบบจำลองอัตถารีเกรสซี ฟ (Autoregressive Model: AR)ในสองประการ ประการแรก ค่าช็อกเหล่านี้จะถูกส่งต่อไปยังค่าในอนาคตของอนุกรมเวลาโดยตรง ตัวอย่างเช่นปรากฏโดยตรงทางด้านขวาของสมการสำหรับในทางตรงกันข้าม ในแบบจำลอง AR ค่าจะไม่ปรากฏทางด้านขวาของสมการ แต่ค่า จะปรากฏทางด้านขวา ของสมการ และค่าจะปรากฏทางด้านขวาของสมการ ทำให้เกิดผลกระทบทางอ้อมของต่อ เท่านั้น ประการที่สอง ในแบบจำลอง MA ค่าช็อกจะส่งผลต่อค่า เฉพาะในช่วงเวลาปัจจุบันและqช่วงเวลาในอนาคตเท่านั้น ในทางตรงกันข้าม ในแบบจำลอง AR ค่าช็อกจะส่งผลต่อค่า ในอนาคตอย่างไม่มีที่สิ้นสุด เพราะส่งผลต่อซึ่งส่งผลต่อซึ่งส่งผลต่อและเป็นเช่นนี้ไปเรื่อยๆ (ดูการตอบสนองแบบอิมพัลส์ ) ${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle X_{t-1}}$${\displaystyle X_{t-1}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varepsilon _{t}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle X_{t+1}}$${\displaystyle X_{t+2}}$

โดยทั่วไปแล้ว การปรับแบบจำลองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่นั้นซับซ้อนกว่าการปรับแบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟ [ ^{6 ] ทั้งนี้}เนื่องจากไม่สามารถสังเกตค่าความคลาดเคลื่อนที่ล่าช้าได้ ซึ่งหมายความว่าต้องใช้ขั้นตอนการปรับแบบไม่เชิงเส้น แบบวนซ้ำแทนการใช้กำลังสองน้อยที่สุดเชิงเส้น แบบจำลองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่คือการรวมกันเชิงเส้นของค่าสัญญาณรบกวนสีขาวในอดีต ในขณะที่แบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟคือการรวมกันเชิงเส้นของค่าอนุกรมเวลาในอดีต ^{[ 7 ]}แบบจำลอง ARMA นั้นซับซ้อนกว่าแบบจำลอง AR และ MA บริสุทธิ์ เนื่องจากเป็นการรวมส่วนประกอบทั้งอัตถารีเกรสซีฟและค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่เข้าด้วยกัน^{[ 6 ]}

ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติ (ACF) ของกระบวนการ MA( q ) จะเป็นศูนย์ที่ค่าความล่าช้าq + 1 ขึ้นไป ดังนั้น เราจึงกำหนดค่าความล่าช้าสูงสุดที่เหมาะสมสำหรับการประมาณค่าโดยการตรวจสอบฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติของตัวอย่างเพื่อดูว่าค่าดังกล่าวแตกต่างจากศูนย์อย่างไม่มีนัยสำคัญที่ค่าความล่าช้าทั้งหมดที่เกินกว่าค่าความล่าช้าที่กำหนด ซึ่งเรียกว่าค่าความล่าช้าสูงสุด q

บางครั้ง ACF และฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติบางส่วน (PACF) จะชี้ให้เห็นว่าแบบจำลอง MA เป็นตัวเลือกแบบจำลองที่ดีกว่า และบางครั้งควรใช้ทั้ง AR และ MA ในแบบจำลองเดียวกัน (ดูวิธีการของ Box–Jenkins )

แบบจำลอง Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) เป็นทางเลือกแทนการถดถอยแบบแบ่งส่วนซึ่งสามารถใช้ในการปรับแบบจำลองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ได้เช่นกัน^{[ 8 ]}

• แบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟ-ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่
• ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่แบบบูรณาการอัตถารีเกรสซีฟ
• แบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟ
• การตอบสนองแบบอิมพัลส์จำกัด
• การตอบสนองแบบอิมพัลส์อนันต์

• เอ็นเดอร์ส, วอลเตอร์ (2004). "แบบจำลองอนุกรมเวลาคงที่" อนุกรมเวลาทางเศรษฐศาสตร์ประยุกต์ (ฉบับที่สอง). นิวยอร์ก: ไวลีย์. หน้า  48–107 . ISBN 0-471-45173-8.

• แนวทางทั่วไปในการวิเคราะห์อนุกรมเวลาแบบตัวแปรเดียว

 บทความนี้ได้นำเนื้อหาที่เป็นสาธารณสมบัติจากสถาบันมาตรฐานและเทคโนโลยีแห่งชาติ มาใช้