แคลคูลัสของมุลเลอร์เป็นวิธีการเมทริกซ์สำหรับการจัดการเวกเตอร์สโตกส์ซึ่งแสดงถึงการโพลาไรซ์ของแสง วิธีการนี้ได้รับการพัฒนาขึ้นในปี 1943 โดยฮันส์ มุลเลอร์ในเทคนิคนี้ ผลกระทบขององค์ประกอบทางแสงเฉพาะจะถูกแทนด้วยเมทริกซ์มุลเลอร์ ซึ่งเป็นเมทริกซ์ขนาด 4×4 ที่เป็นการขยายความทับซ้อนของเมทริกซ์โจนส์

หากไม่คำนึงถึงการซ้อนทับของคลื่นที่สอดคล้องกัน สถานะของแสงที่มีการโพลาไรซ์อย่างสมบูรณ์ โพลาไรซ์บางส่วน หรือไม่โพลาไรซ์เลย สามารถแสดงได้ด้วยเวกเตอร์สโตกส์( )และองค์ประกอบทางแสงใดๆ ก็สามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์มุลเลอร์ (M) ${\displaystyle {\vec {S}}}$

ถ้าลำแสงเริ่มต้นอยู่ในสถานะหนึ่งแล้วผ่านองค์ประกอบทางแสง M และออกมาในสถานะหนึ่งจะเขียนได้ว่า ${\displaystyle {\vec {S}}_{i}}$${\displaystyle {\vec {S}__{o}}$

${\displaystyle {\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} {\vec {S}}_{i}\ .}$

ถ้าลำแสงผ่านองค์ประกอบทางแสง M1 _ตามด้วย M2 _แล้วผ่าน M3 _จะเขียนได้ว่า

${\displaystyle {\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} _{3}\left(\mathrm {M} _{2}\left(\mathrm {M} _{1}{\vec {S}}_{i}\right)\right)}$

เนื่องจากการคูณเมทริกซ์มีคุณสมบัติการสลับที่ จึงสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle {\vec {S}__{o}=\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{1}{\vec {S}__{i}\ .}$

การคูณเมทริกซ์ไม่เป็นไปตามสมบัติการสลับที่ ดังนั้นโดยทั่วไปแล้ว การคูณเมทริกซ์จึงไม่เป็นไปตามสมบัติการสลับที่

${\displaystyle \mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{1}{\vec {S}__{i}\neq \mathrm {M} _{1}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{3}{\vec {S}__{i}\ .}$

โดยไม่คำนึงถึงความสอดคล้อง แสงที่ไม่โพลาไรซ์หรือโพลาไรซ์บางส่วนจะต้องได้รับการจัดการโดยใช้แคลคูลัสของมุลเลอร์ ในขณะที่แสงโพลาไรซ์อย่างสมบูรณ์สามารถจัดการได้ด้วยแคลคูลัสของมุลเลอร์หรือแคลคูลัสของโจนส์ ที่ง่ายกว่า ปัญหาหลายอย่างที่เกี่ยวข้องกับ แสง ที่สอดคล้องกัน (เช่น จากเลเซอร์ ) จะต้องได้รับการจัดการด้วยแคลคูลัสของโจนส์ เนื่องจากทำงานโดยตรงกับสนามไฟฟ้าของแสง แทนที่จะทำงานกับความเข้มหรือกำลังของแสง และด้วยเหตุนี้จึงรักษาข้อมูลเกี่ยวกับเฟสของคลื่นไว้ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สามารถกล่าวได้ดังต่อไปนี้เกี่ยวกับเมทริกซ์ของมุลเลอร์และเมทริกซ์ของโจนส์: ^{[ 1 ]}

เวกเตอร์สโตกส์และเมทริกซ์มุลเลอร์ทำงานกับความเข้มและผลต่างของความเข้ม กล่าวคือ การซ้อนทับกันแบบไม่สอดคล้องกันของแสง ซึ่งไม่เหมาะสมที่จะใช้อธิบายปรากฏการณ์การแทรกสอดหรือการเลี้ยวเบน

(...)

เมทริกซ์ Jones ใดๆ [J] สามารถแปลงเป็นเมทริกซ์ Mueller–Jones ที่สอดคล้องกัน M ได้โดยใช้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \mathrm {M=A(J\otimes J^{*})A^{-1}} }$,

โดยที่ * แสดงถึงคอนจูเกตเชิงซ้อน [ sic ], [ Aคือ:]

${\displaystyle \mathrm {A} ={\begin{pmatrix}1&0&0&1\\1&0&0&-1\\0&1&1&0\\0&i&-i&0\\\end{pmatrix}}}$

และ ⊗ คือ ผลคูณเท น เซอร์ (โครเนกเกอร์)

(...)

แม้ว่าเมทริกซ์ Jones จะมีพารามิเตอร์อิสระแปดตัว [ส่วนประกอบคาร์ทีเซียนหรือเชิงขั้วสองตัวสำหรับแต่ละค่าเชิงซ้อนสี่ค่าในเมทริกซ์ 2x2] แต่ข้อมูลเฟสสัมบูรณ์จะสูญหายไปใน [สมการข้างต้น] ทำให้เมทริกซ์ Mueller ที่ได้มาจากเมทริกซ์ Jones มีองค์ประกอบเมทริกซ์อิสระเพียงเจ็ดตัวเท่านั้น

ด้านล่างนี้คือเมทริกซ์มุลเลอร์สำหรับองค์ประกอบทางแสงทั่วไปในอุดมคติบางชนิด:

นิพจน์ทั่วไปสำหรับการหมุนกรอบอ้างอิง^{[ 3 ]}จากกรอบท้องถิ่นไปยังกรอบห้องปฏิบัติการ:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos {(2\theta )}&\sin {(2\theta )}&0\\0&-\sin {(2\theta )}&\cos {(2\theta )}&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\quad }$

โดยที่คือมุมของการหมุนสำหรับการหมุนจากกรอบอ้างอิงของห้องปฏิบัติการไปยังกรอบอ้างอิงท้องถิ่น เครื่องหมายของพจน์ไซน์จะกลับกัน ${\displaystyle \theta }$

ตัวกรองแสงเชิงเส้น(การส่งผ่านในแนวนอน)

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&1&0&0\\1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

เมทริกซ์มุลเลอร์สำหรับมุมการหมุนโพลาไรเซอร์อื่นๆ สามารถสร้างได้โดยการหมุนกรอบอ้างอิง

ตัวกรองแสงเชิงเส้น (การส่งผ่านแนวตั้ง)

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&-1&0&0\\-1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

ตัวกรองแสงเชิงเส้น (+45° การส่งผ่านแสง)

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

ตัวกรองแสงเชิงเส้น (การส่งผ่าน −45°)

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

เมทริกซ์โพลาไรเซอร์เชิงเส้นทั่วไป

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&\cos {(2\theta )}&\sin {(2\theta )}&0\\\cos {(2\theta )}&\cos ^{2}(2\theta )&\cos(2\theta )\sin(2\theta )&0\\\sin {(2\theta ) )}&\cos(2\theta )\sin(2\theta )&\sin ^{2}(2\theta )&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad }$

มุมการหมุนของตัวกรองโพลาไรซ์อยู่ ที่ใด${\displaystyle \theta }$

ตัวหน่วงเชิงเส้นทั่วไป (การคำนวณแผ่นคลื่นทำจากสิ่งนี้)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos ^{2}(2\theta )+\sin ^{2}(2\theta )\cos(\delta )&\cos(2\theta )\sin(2\theta )\left(1-\cos(\delta )\right)&\sin(2\theta )\sin(\delta )\\0&\cos(2\theta )\sin(2\theta )\left(1-\cos(\delta )\right)&\cos ^{2}(2\theta )\cos(\delta )+\sin ^{2}(2\theta )&-\cos(2\theta )\sin(\delta )\\0&-\sin(2\theta )\sin(\delta )&\cos(2\theta )\sin(\delta )&\cos(\delta )\end{pmatrix}}\quad }$

โดยที่คือความแตกต่างของเฟสระหว่างแกนเร็วและแกนช้า และคือมุมของแกนช้า${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \theta }$

แผ่นคลื่นควอเตอร์(แกนเร็วแนวตั้ง)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}}$

แผ่นคลื่นควอเตอร์(แกนเร็วแนวนอน)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\end{pmatrix}}}$

แผ่นครึ่ง คลื่น (แกนเร็วแนวนอนและแนวตั้ง; รวมถึงกระจกในอุดมคติ)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$

ตัวกรองลดทอนสัญญาณ (อัตราการส่งผ่าน 25%)

${\displaystyle {1 \over 4}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\quad }$

สถาปัตยกรรม Mueller/Stokes ยังสามารถใช้เพื่ออธิบายกระบวนการทางแสงที่ไม่เป็นเชิงเส้น เช่น การเรืองแสงที่เกิดจากการกระตุ้นด้วยโฟตอนหลายตัว และการสร้างฮาร์มอนิกที่สอง เทนเซอร์ Mueller สามารถเชื่อมโยงกลับไปยังเทนเซอร์ Jones ในกรอบอ้างอิงของห้องปฏิบัติการได้โดยตรงจากการเปรียบเทียบเมทริกซ์ Mueller และ Jones

${\displaystyle \mathrm {M} ^{(2)}=\mathrm {A} \left(\chi ^{(2)*}\otimes \chi ^{(2)}\right):\mathrm {A} ^{-1}\mathrm {A} ^{-1}}$,

โดยที่คือเทนเซอร์มุลเลอร์อันดับสามที่อธิบายเวกเตอร์สโตกส์ที่เกิดจากเวกเตอร์สโตกส์คู่หนึ่ง และคือเทนเซอร์โจนส์ในกรอบอ้างอิงห้องปฏิบัติการขนาด 2×2×2 ${\displaystyle M^{(2)}}$${\displaystyle \chi ^{(2)}}$

แคลคูลัสของ Mueller พบการประยุกต์ใช้ใน การวัด โพลาไรเซชันซึ่งใช้สำหรับการจำแนกลักษณะเนื้อเยื่อทางชีวการแพทย์ โดยใช้ประโยชน์จากปฏิสัมพันธ์ระหว่างแสงและสสารที่ขึ้นอยู่กับโพลาไรเซชันเพื่อเปิดเผยโครงสร้างและพยาธิสภาพของเนื้อเยื่อ การศึกษาได้แสดงให้เห็นถึงการจำแนกลักษณะมะเร็งลำไส้ใหญ่ของมนุษย์โดยใช้การถ่ายภาพโพลาไรเมตริกของ Mueller ซึ่งความแตกต่างของโพลาไรเมตริกสัมพันธ์กับการเปลี่ยนแปลงทางพยาธิวิทยา^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

วิธีการเรียนรู้ของเครื่องได้รับการรวมเข้ากับการวัดเมทริกซ์ Mueller เพื่อระบุเนื้องอกในเนื้อเยื่อสมอง รวมถึงการประมวลผลภาพเมทริกซ์ Mueller โดยตรงด้วยเครือข่ายประสาทแบบคอนโวลูชันสำหรับการแบ่งส่วนเนื้อเยื่อ^{[ 6 ]}เพื่อรักษาความสอดคล้องทางกายภาพเมื่อเพิ่มชุดข้อมูลโพลาไรเมตริกที่มีจำกัดสำหรับการเรียนรู้เชิงลึกกลยุทธ์การเพิ่มข้อมูลที่คำนึงถึงฟิสิกส์จะใช้การแปลงที่รักษาข้อจำกัดทางคณิตศาสตร์ของเมทริกซ์ Mueller ^{[ 7 ]}

• พารามิเตอร์สโตกส์
• แคลคูลัสของโจนส์
• การโพลาไรเซชัน (คลื่น)