แบบจำลองหลายส่วน ( Multi -compartment model) เป็น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ประเภทหนึ่งที่ใช้สำหรับอธิบายวิธีการส่งผ่านวัสดุหรือพลังงานระหว่างส่วนต่างๆของระบบ บ่อยครั้งที่ใช้แบบจำลองนี้เมื่อระบบทางกายภาพมีความซับซ้อนเกินกว่าจะจำลองด้วยสมการเต็มรูปแบบ ดังนั้นการแบ่งปัญหาออกเป็นส่วนย่อยๆ และลดจำนวนพารามิเตอร์จึงง่ายกว่ามาก แต่ละส่วนถือว่าเป็นหน่วยที่เป็นเนื้อเดียวกัน ซึ่งหน่วยต่างๆ ที่กำลังจำลองนั้นเทียบเท่ากัน แบบจำลองหลายส่วนจัดอยู่ในประเภท แบบจำลอง พารามิเตอร์แบบรวม (Lumped parameters model) เช่นเดียวกับ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ทั่วไปแบบจำลองหลายส่วนสามารถพิจารณาตัวแปรเป็นแบบต่อเนื่อง เช่นสมการเชิงอนุพันธ์หรือแบบไม่ต่อเนื่อง เช่น ห่วงโซ่ มาร์คอฟ (Markov chain ) ขึ้นอยู่กับระบบที่กำลังจำลอง พวกมันสามารถถูกพิจารณาว่าเป็นแบบสุ่มหรือแบบกำหนดได้

แบบจำลองหลายส่วนประกอบถูกนำไปใช้ในหลายสาขา รวมถึงเภสัชจลนศาสตร์ระบาดวิทยาชีวการแพทย์ ทฤษฎี ระบบทฤษฎีความซับซ้อน วิศวกรรมศาสตร์ฟิสิกส์วิทยาศาสตร์สารสนเทศ และสังคมศาสตร์ ระบบวงจรไฟฟ้าก็สามารถมองได้ว่าเป็นแบบจำลองหลายส่วนประกอบเช่นกัน โดยทั่วไปแล้ว คณิตศาสตร์ของแบบจำลองหลายส่วนประกอบจะถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยให้มีเพียงพารามิเตอร์เดียว เช่น ความเข้มข้น ภายในส่วนประกอบนั้น ๆ

ในทฤษฎีระบบ หมายถึงการอธิบายเครือข่ายที่มีส่วนประกอบเป็นส่วนย่อยๆ ซึ่งแต่ละส่วนย่อยแสดงถึงกลุ่มขององค์ประกอบที่มีความเท่าเทียมกันในแง่ของวิธีการประมวลผลสัญญาณขาเข้าของส่วนย่อยนั้นๆ

• การกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอของวัสดุหรือพลังงานภายใน "ช่อง" ในทันที
• อัตราการแลกเปลี่ยนวัสดุหรือพลังงานระหว่างส่วนต่างๆ นั้นสัมพันธ์กับความหนาแน่นของส่วนเหล่านั้น
• โดยปกติแล้ว เป็นที่พึงประสงค์ว่าวัสดุจะไม่เกิดปฏิกิริยาเคมีในระหว่างการเคลื่อนย้ายระหว่างช่องต่างๆ
• เมื่อต้องการทราบความเข้มข้นของเซลล์ โดยทั่วไปจะถือว่าปริมาตรของเซลล์คงที่ตลอดเวลา แม้ว่าในความเป็นจริงอาจจะไม่เป็นเช่นนั้นเสมอไปก็ตาม

การประยุกต์ใช้แบบจำลองหลายส่วนที่ง่ายที่สุดอาจพบได้ในการตรวจสอบความเข้มข้นในเซลล์เดี่ยว (ดูรูปด้านบน) ถ้าปริมาตรของเซลล์คือV มวลของตัวถูกละลายคือ q การป้อนเข้าคือu ( t ) และการหลั่งของสารละลายเป็นสัดส่วนกับความหนาแน่นของสารละลายภายในเซลล์ ความเข้มข้นของสารละลายCภายในเซลล์เมื่อเวลาผ่านไปจะกำหนดโดย

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=u(t)-kq}$

${\displaystyle C={\frac {q}{V}}}$

โดยที่kคือสัดส่วน

การจำลอง การวิเคราะห์ และการสร้างแบบจำลอง 2 SAAM IIเป็นระบบซอฟต์แวร์ที่ออกแบบมาโดยเฉพาะเพื่อช่วยในการพัฒนาและทดสอบแบบจำลองหลายส่วน มีส่วนติดต่อผู้ใช้แบบกราฟิกที่ใช้งานง่าย ซึ่งแบบจำลองส่วนต่างๆ จะถูกสร้างขึ้นโดยการสร้างภาพแทนของแบบจำลอง จากแบบจำลองนี้ โปรแกรมจะสร้างระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญโดยอัตโนมัติ โปรแกรมสามารถจำลองและปรับแบบจำลองให้เข้ากับข้อมูล โดยส่งคืนค่าประมาณพารามิเตอร์ที่เหมาะสมที่สุดและสถิติที่เกี่ยวข้อง โปรแกรมนี้ได้รับการพัฒนาโดยนักวิทยาศาสตร์ที่ทำงานเกี่ยวกับการเผาผลาญและ จลนศาสตร์ ของฮอร์โมน (เช่นกลูโคสไขมันหรืออินซูลิน ) ^{[ 1 ]}จากนั้นจึงนำไปใช้ในการศึกษาการติดตามและเภสัชจลนศาสตร์ แม้ว่าในหลักการแล้วแบบจำลองหลายส่วนสามารถพัฒนาและใช้งานได้ผ่านซอฟต์แวร์อื่นๆ เช่นMATLABหรือภาษา C++ แต่ส่วนติดต่อผู้ใช้ที่ SAAM II นำเสนอช่วยให้ผู้สร้างแบบจำลอง (และผู้ที่ไม่ใช่ผู้สร้างแบบจำลอง) สามารถควบคุมระบบได้ดียิ่งขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อความซับซ้อนเพิ่มขึ้น

แบบจำลองแบบไม่ต่อเนื่องเกี่ยวข้องกับตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่อง ซึ่งมักจะเป็นช่วงเวลาตัวอย่างของแบบจำลองหลายส่วนแบบไม่ต่อเนื่องคือแบบจำลอง Lotka–Volterra เวอร์ชันแบบไม่ ต่อเนื่อง ^{[ 2 ]}ในที่นี้ให้พิจารณาสองส่วนคือเหยื่อและผู้ล่า ซึ่งแทนด้วยและตามลำดับ ส่วนต่างๆ เชื่อมโยงกันด้วย พจน์ การกระทำมวลในแต่ละสมการ ในช่วงเวลาแบบไม่ต่อเนื่องเราจะได้ ${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t+\Delta t)&=x(t)+\alpha x(t)\Delta t-\beta x(t)y(t)\Delta t\\y(t+\Delta t)&=y(t)+\delta x(t)y(t)\Delta t-\gamma y(t)\Delta t.\end{aligned}}}$

ที่นี่

• คำว่า " และ" แสดงถึงจำนวนประชากร ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle t}$
• คำ นี้หมายถึงการกำเนิดของเหยื่อ${\displaystyle \alpha x(t)\Delta t}$
• คำว่า "การกระทำครั้งใหญ่" หมายถึงจำนวนเหยื่อที่ตายเนื่องจากผู้ล่า${\displaystyle \beta x(t)y(t)\Delta t}$
• คำว่า "การกระทำมวล" แสดงถึงการกำเนิดของสัตว์ผู้ล่าอันเป็นผลมาจากการกินเหยื่อ${\displaystyle \delta x(t)y(t)\Delta t}$
• คำ นี้หมายถึง การตายของสัตว์นักล่า;${\displaystyle \gamma y(t)\Delta t}$
• ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\delta ,}$และเป็นพารามิเตอร์ค่าจริงที่กำหนดน้ำหนักของแต่ละเทอมการเปลี่ยนผ่าน${\displaystyle \gamma }$

สมการเหล่านี้สามารถแก้ไขได้ง่ายโดยใช้วิธีการวนซ้ำ

ตัวอย่าง Lotka-Volterra แบบไม่ต่อเนื่องข้างต้น สามารถแปลงเป็นรูปแบบต่อเนื่องได้โดยการจัดเรียงใหม่และหาลิมิตเมื่อ ${\displaystyle \Delta t\rightarrow 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}}\equiv {\frac {dx}{dt}}=\alpha x-\beta xy\\&\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t}}\equiv {\frac {dy}{dt}}=\delta xy-\gamma y\end{aligned}}}$

ผลลัพธ์ที่ได้คือระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ การพิจารณาแบบจำลองนี้ในรูปสมการเชิงอนุพันธ์ทำให้สามารถนำวิธีการทางแคลคูลัสมาใช้ศึกษาพลวัตของระบบได้อย่างละเอียดลึกซึ้งยิ่งขึ้น

เมื่อจำนวนส่วนประกอบเพิ่มขึ้น แบบจำลองก็จะซับซ้อนมากยิ่งขึ้น และโดยทั่วไปแล้ววิธีการแก้ปัญหาจะอยู่นอกเหนือการคำนวณแบบธรรมดา

สูตรสำหรับแบบจำลองหลายช่อง n เซลล์ จึงเป็นดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q}}_{1}=q_{1}k_{11}+q_{2}k_{12}+\cdots +q_{n}k_{1n}+u_{1}(t)\\{\dot {q}}_{2}=q_{1}k_{21}+q_{2}k_{22}+\cdots +q_{n}k_{2n}+u_{2}(t)\\\vdots \\{\dot {q}}_{n}=q_{1}k_{n1}+q_{2}k_{n2}+\cdots +q_{n}k_{nn}+u_{n}(t)\end{aligned}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle 0=\sum _{i=1}^{n}{k_{ij}}}$เนื่องจาก(ปริมาณรวมของ 'สาร' ในทุกช่องมีค่าคงที่ในระบบปิด)${\displaystyle j=1,2,\dots ,n}$

หรือในรูปแบบเมทริกซ์:

${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} =\mathbf {Kq} +\mathbf {u} }$

ที่ไหน

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&\cdots &k_{1n}\\k_{21}&k_{22}&\cdots &k_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\k_{n1}&k_{n2}&\cdots &k_{nn}\\\end{bmatrix}}\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{1}\\q_{2}\\\vdots \\q_{n}\end{bmatrix}}\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\\vdots \\u_{n}(t)\end{bmatrix}}}$และ(เนื่องจากปริมาณรวมของ 'เนื้อหา' ในทุกช่องมีค่าคงที่ในระบบปิด)${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {K} ={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}}$

ในกรณีพิเศษของระบบปิด (ดูด้านล่าง) กล่าวคือ ในกรณีที่มีคำตอบทั่วไป ${\displaystyle \mathbf {u} =0}$

${\displaystyle \mathbf {q} =c_{1}e^{\lambda _{1}t}\mathbf {v_{1}} +c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {v_{2}} +\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {v_{n}} }$

โดยที่, , ... และคือค่าลักษณะเฉพาะของ; , , ... และคือเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะ ของ ตามลำดับ ; และ, , .... และคือค่าคงที่ ${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \lambda _{n}}$${\displaystyle \mathbf {K} }$${\displaystyle \mathbf {v_{1}} }$${\displaystyle \mathbf {v_{2}} }$${\displaystyle \mathbf {v_{n}} }$${\displaystyle \mathbf {K} }$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{n}}$

อย่างไรก็ตาม สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า ภายใต้ข้อกำหนดข้างต้นที่ระบุว่า 'เนื้อหา' ของระบบปิดต้องคงที่ ดังนั้นสำหรับทุกคู่ของค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะ แล้ว จะต้องเป็นหรือและค่าลักษณะเฉพาะค่า หนึ่ง ต้องเป็น 0 ด้วย${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {v} =0}$${\displaystyle \lambda _{1}}$

ดังนั้น

${\displaystyle \mathbf {q} =c_{1}\mathbf {v_{1}} +c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {v_{2}} +\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {v_{n}} }$

ที่ไหน

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {v_{i}} =0}$สำหรับ${\displaystyle \mathbf {i} =2,3,\dots n}$

สามารถจัดเรียงวิธีแก้ปัญหานี้ใหม่ได้:

${\displaystyle \mathbf {q} ={\Bigg [}\mathbf {v_{1}} {\begin{bmatrix}c_{1}&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}+\mathbf {v_{2}} {\begin{bmatrix}0&c_{2}&\cdots &0\\\end{bmatrix}}+\dots +\mathbf {v_{n}} {\begin{bmatrix}0&0&\cdots &c_{n}\\\end{bmatrix}}{\Bigg ]}{\begin{bmatrix}1\\e^{\lambda _{2}t}\\\vdots \\e^{\lambda _{n}t}\\\end{bmatrix}}}$

สมการที่ไม่ค่อยสวยงามนี้แสดงให้เห็นว่าคำตอบทั้งหมดของ แบบจำลองหลายช่อง n เซลล์ที่มีอินพุตคงที่หรือไม่มีอินพุตเลยนั้นอยู่ในรูปแบบ:

${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {A} {\begin{bmatrix}1\\e^{\lambda _{2}t}\\\vdots \\e^{\lambda _{n}t}\\\end{bmatrix}}}$

โดยที่เป็น เมทริกซ์ขนาด nxnและ, , ... และเป็นค่าคงที่ โดยที่${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \lambda _{3}}$${\displaystyle \lambda _{n}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}}$

โดยทั่วไปแล้ว ยิ่งจำนวนช่องเพิ่มขึ้น การหาคำตอบทั้งทางพีชคณิตและเชิงตัวเลขสำหรับแบบจำลองก็จะยิ่งยากขึ้น อย่างไรก็ตาม มีแบบจำลองบางกรณีพิเศษ ซึ่งพบได้น้อยในธรรมชาติ เมื่อโครงสร้างทางเรขาคณิตแสดงความสม่ำเสมอบางอย่าง ทำให้การหาคำตอบง่ายขึ้น แบบจำลองสามารถจำแนกได้ตามการเชื่อมต่อของเซลล์และลักษณะอินพุต/เอาต์พุต:

1. แบบจำลองปิด : ไม่มีแหล่งจ่ายหรือตัวรับ กล่าวคือk _oi = 0 และu _i = 0;
2. แบบจำลองแบบเปิด : มีทั้งแหล่งรับและ/หรือแหล่งจ่ายอยู่ระหว่างเซลล์ต่างๆ
3. แบบจำลองโซ่แขวน : ช่องทั้งหมดเรียงกันเป็นโซ่ โดยแต่ละสระจะเชื่อมต่อเฉพาะกับสระข้างเคียงเท่านั้น แบบจำลองนี้มีเซลล์ตั้งแต่สองเซลล์ขึ้นไป
4. แบบจำลองวัฏจักร : เป็นกรณีพิเศษของแบบจำลองเส้นโค้งแคทเทนารี โดยมีเซลล์ตั้งแต่สามเซลล์ขึ้นไป ซึ่งเซลล์แรกและเซลล์สุดท้ายเชื่อมต่อกัน กล่าวคือk _{1 n} ≠ 0 หรือ/และk _{n 1} ≠ 0
5. แบบจำลองแมมมิลลารี : ประกอบด้วยช่องกลางที่มีช่องรอบนอกเชื่อมต่อกับช่องกลาง ไม่มีการเชื่อมต่อระหว่างช่องอื่นๆ
6. แบบจำลองที่ลดรูปได้ : มันคือชุดของแบบจำลองที่ไม่เกี่ยวข้องกัน มันมีความคล้ายคลึงอย่างมากกับแนวคิดทางคอมพิวเตอร์เรื่องป่าที่แตกต่างจากต้นไม้

• แบบจำลองทางคณิตศาสตร์
• วิศวกรรมชีวการแพทย์
• แบบจำลองเซลล์ประสาททางชีววิทยา
• แบบจำลองแบ่งส่วนในระบาดวิทยา
• การสร้างแบบจำลองเภสัชจลนศาสตร์ตามหลักสรีรวิทยา