ในทางคณิตศาสตร์ (โดยเฉพาะทฤษฎีหมวดหมู่ ) มัลติหมวดหมู่คือการขยายแนวคิดของหมวดหมู่ที่อนุญาตให้มีมอร์ฟิซึม ที่มีอาร์ริ ตีหลายตัวหากมองมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่ว่าคล้ายคลึงกับฟังก์ชันแล้ว มอร์ฟิซึมในมัลติหมวดหมู่ก็คล้ายคลึงกับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว มัลติหมวดหมู่บางครั้งก็เรียกว่าโอเปอราดหรือ โอเปอราดสี

หมวดหมู่หลายมิติ (ที่ไม่สมมาตร) ประกอบด้วย

• กลุ่มของวัตถุ (มักเป็น คลาสที่เหมาะสม )
• สำหรับ ลำดับ วัตถุจำกัด ทุกชุด ( ) และวัตถุY ทุกตัว ชุดของมอร์ฟิซึมจากไปยังYและ${\displaystyle (X_{i})_{i\in [n]}}$${\displaystyle [n]=\{0,1,2,...,n\}}$${\displaystyle (X_{i})_{i\in n}}$
• สำหรับวัตถุX ทุกชิ้น จะมีมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์พิเศษ (โดยที่n = 1) จากXไปยังX

นอกจากนี้ ยังมีการดำเนินการประกอบ: เมื่อกำหนดลำดับของลำดับของวัตถุ ลำดับของวัตถุ และวัตถุZ แล้ว : ถ้า${\displaystyle ((X_{ij})_{i\in n_{j}})_{j\in m}}$${\displaystyle (Y_{j})_{j\in m}}$

• สำหรับแต่ละf j _คือมอร์ฟิซึมจากไปยังY _jและ${\displaystyle j\in m}$${\displaystyle (X_{ij})_{i\in n_{j}}}$
• gเป็นมอร์ฟิซึมจากไปยังZ :${\displaystyle (Y_{j})_{j\in m}}$

จากนั้นจะมีมอร์ฟิซึมแบบผสมจากไปยังZซึ่งต้องเป็นไปตามสัจพจน์บางประการ:${\displaystyle g(f_{j})_{j\in m}}$${\displaystyle (X_{ij})_{i\in n_{j},j\in m}}$

• ถ้าm = 1, Z = Y ₀และgเป็นมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์สำหรับY ₀แล้วg ( f ₀ ) = f ₀ ;
• ถ้าสำหรับแต่ละ, n _j = 1, , และf _jคือมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์สำหรับY _jแล้ว; และ${\displaystyle j\in m}$${\displaystyle X_{0j}=Y_{j}}$${\displaystyle g(f_{j})_{j\in m}=g}$
• เงื่อนไข การสลับที่ : ถ้าสำหรับแต่ละและเป็นมอร์ฟิซึมจากไปยังแล้วเป็นมอร์ฟิซึมที่เหมือนกันจากไปยังZ${\displaystyle j\in m}$${\displaystyle i\in n_{j}}$${\displaystyle e_{ij}}$${\displaystyle (W_{hij})_{h\in o_{ij}}}$${\displaystyle X_{ij}}$${\displaystyle g\left(f_{j}(e_{ij})_{i\in n_{j}}\right)_{j\in m}=g(f_{j})_{j\in m}(e_{ij})_{i\in n_{j},j\in m}}$${\displaystyle (W_{hij})_{h\in o_{ij},i\in n_{j},j\in m}}$

คอมแคตเตอรี (โค-มัลติแคตเตอรี) คือ เซต O ของวัตถุ ที่มีลำดับสมบูรณ์ และเซตAของมัลติแอร์โรวที่มีฟังก์ชันสองฟังก์ชัน

${\displaystyle \mathrm {head} :A\rightarrow O,}$

${\displaystyle \mathrm {ground} :A\rightarrow O^{\%},}$

โดยที่O ^%คือเซตของลำดับจำกัดทั้งหมดขององค์ประกอบของOภาพคู่ของลูกศรหลายทิศทางfอาจสรุปได้ดังนี้

${\displaystyle f:\mathrm {head} (f)\Leftarrow \mathrm {ground} (f).}$

หมวดหมู่ร่วมCยังมีผลคูณหลายตัวที่มีลักษณะทั่วไปของการดำเนินการประกอบCกล่าวได้ว่ามีคุณสมบัติการสลับที่ได้ หากมีสัจพจน์ผลคูณหลายตัวที่เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการนี้

มัลติแค็กกอรีใดๆ ไม่ว่าจะเป็นแบบสมมาตรหรือไม่สมมาตร เมื่อรวมกับการเรียงลำดับทั้งหมดของเซตวัตถุ สามารถสร้างเป็นคอมแค็กกอรีที่เทียบเท่ากันได้

มัลติออร์เดอร์คือ คอมแคเทกอรี ที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้

• จะมีลูกศรหลายหัวอย่างมากที่สุดเพียงหนึ่งเดียวที่มีหัวและพื้นกำหนดไว้
• วัตถุแต่ละชิ้นxมีลูกศรหลายทิศทางประจำหน่วย
• ลูกศรหลายทิศทางถือเป็นหน่วย หากพื้นดินของมันมีทางเข้าเพียงทางเดียว

ลำดับหลายลำดับเป็นการวางนัยทั่วไปของลำดับบางส่วน (posets) และได้รับการแนะนำครั้งแรก (โดยผ่านๆ) โดยTom Leinster ^{[ 1 ]}

มีมัลติแค็กกอรีที่มีวัตถุเป็นเซต (ขนาดเล็ก) โดยที่มอร์ฟิซึมจากเซตX ₁ , X ₂ , ... และX _nไปยังเซตYเป็นฟังก์ชันn -ary นั่นคือฟังก์ชันจากผลคูณคาร์ทีเซียนX ₁ × X ₂ × ... × X _nไปยังY

มีมัลติแค็กกอรีที่มีวัตถุเป็นปริภูมิเวกเตอร์ (เช่น ปริภูมิเวกเตอร์เหนือจำนวนตรรกยะ ) โดยที่มอร์ฟิซึมจากปริภูมิเวกเตอร์X ₁ , X ₂ , ..., และX _nไปยังปริภูมิเวกเตอร์Yเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นหลายตัวนั่นคือการแปลงเชิงเส้นจากผลคูณเทนเซอร์X ₁ ⊗ X ₂ ⊗ ... ⊗ X _nไปยังY

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับหมวดหมู่โมโนอิดัล ใดๆ Cจะมีหมวดหมู่มัลติแคโทดอรี่ที่มีวัตถุเป็นวัตถุของCโดยที่มอร์ฟิซึมจากวัตถุC X ₁ , X ₂ , ..., และX _nไปยังวัตถุC Yเป็น มอร์ฟิซึม CจากผลคูณโมโนอิดัลของX ₁ , X ₂ , ... , และX _nไปยังY

โอเปอราด (operad)คือมัลติแคทอรี (multicategory) ที่มีวัตถุเพียงหนึ่งเดียว ยกเว้นในกรณีที่เสื่อมสภาพ มัลติแคทอรีดังกล่าวจะไม่มาจากแคทอรีโมโนอิดัล (monoidal category)

ตัวอย่างของมัลติออร์เดอร์ ได้แก่มัลติเซตแบบมีจุด(ลำดับA262671ในOEIS ) พาร์ติชันจำนวนเต็ม ( ลำดับA063834ในOEIS )และการแยกเชิงคอมบินาทอรี(ลำดับA269134ในOEIS )สามเหลี่ยม (หรือองค์ประกอบ) ของมัลติออร์เดอร์ใดๆ ก็ตามเป็นมอร์ฟิซึมของหมวดหมู่การหดตัว (ไม่จำเป็นต้องเป็นแบบสมาคม) และคอมแคตทอรีของ การแยกส่วน หมวดหมู่การหดตัวสำหรับมัลติออร์เดอร์ของพาร์ติชันมัลติมิน(ลำดับA255397ในOEIS )เป็นหมวดหมู่มัลติเซตที่ง่ายที่สุดที่รู้จัก^{[ 2 ]}

มัลติแคตกรีมักถูกเข้าใจผิดว่าเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีแคตกรีระดับสูงเนื่องจากแอปพลิเคชันดั้งเดิมของมันมาจากการสังเกตว่าตัวดำเนินการและเอกลักษณ์ที่แคตกรีระดับสูงตอบสนองนั้นเป็นวัตถุและมัลติแอร์โรว์ของมัลติแคตกรี ส่วนการศึกษาn-แคตกรีนั้นได้รับแรงบันดาลใจจากแอปพลิเคชันในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตและความพยายามที่จะอธิบายทฤษฎีโฮโมโทปี ของแมนิ โฟลด์มิติสูง

ความสอดคล้องกันระหว่างการหดตัวและการแยกส่วนของรูปสามเหลี่ยมในลำดับหลายระดับช่วยให้สามารถสร้างพีชคณิตแบบสมาคมที่เรียกว่าพีชคณิตเหตุการณ์ได้ องค์ประกอบใดๆ ที่ไม่เป็นศูนย์บนลูกศรหน่วยทั้งหมดจะมีตัวผกผันเชิงองค์ประกอบ และฟังก์ชันโมเบียสของลำดับหลายระดับถูกนิยามให้เป็นตัวผกผันเชิงองค์ประกอบของฟังก์ชันซีตา (ค่าคงที่เท่ากับหนึ่ง) ในพีชคณิตเหตุการณ์ของมัน

มัลติแค็กเกอรี่ได้รับการแนะนำครั้งแรกภายใต้ชื่อนั้นโดยจิม แลมเบคใน "ระบบการหักล้างและหมวดหมู่ II" (1969) ^{[ 3 ]}เขากล่าวถึง (หน้า 108) ว่าเขา "ได้รับแจ้งว่ามัลติแค็กเกอรี่ได้รับการศึกษาโดย[ฌอง] เบนาบูและ[ปิแอร์] คาร์เทียร์ " และแท้จริงแล้วเลนสเตอร์แสดงความคิดเห็นว่า "แนวคิดนี้อาจเกิดขึ้นกับใครก็ตามที่รู้ว่าทั้งหมวดหมู่และแผนที่เชิงเส้นหลายเส้นคืออะไร" ^{[ 1 ] : 63}

• หมวดหมู่เทนเซอร์เทียม