แหล่งที่มา: ^{[ 3 ]}

วิธีการ “pseudo-BEMD” ไม่ได้จำกัดอยู่เพียงมิติเชิงพื้นที่เดียว แต่สามารถนำไปใช้กับข้อมูลที่มีมิติเชิงพื้นที่และเวลาได้หลายมิติ เนื่องจากโครงสร้างเชิงพื้นที่นั้นถูกกำหนดโดยพื้นฐานจากช่วงเวลาของการเปลี่ยนแปลงของปริมาณทางกายภาพในแต่ละตำแหน่ง และการแยกส่วนนั้นขึ้นอยู่กับลักษณะเฉพาะของอนุกรมเวลา แต่ละชุด ในแต่ละตำแหน่งเชิงพื้นที่ ดังนั้นจึงไม่มีการตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับโครงสร้างเชิงพื้นที่ที่สอดคล้องกันของปริมาณทางกายภาพนี้ เมื่อโครงสร้างเชิงพื้นที่ที่สอดคล้องกันปรากฏขึ้น มันจะสะท้อนถึงกระบวนการทางกายภาพที่ขับเคลื่อนวิวัฒนาการของปริมาณทางกายภาพในช่วงเวลาของแต่ละองค์ประกอบได้ดียิ่งขึ้น ดังนั้น เราคาดว่าวิธีการนี้จะมีประโยชน์อย่างมากในการวิเคราะห์ข้อมูลเชิงพื้นที่และเวลา

ในการออกแบบอัลกอริธึม pseudo-BEMD ขั้นตอนสำคัญคือการแปลงอัลกอริธึมของEMD แบบ 1 มิติ ไปเป็นการแยกองค์ประกอบเชิงประจักษ์แบบสองมิติ (Bi-dimensional Empirical Mode Decomposition: BEMD) และขยายอัลกอริธึมต่อไปยังสามมิติหรือมากกว่านั้น ซึ่งคล้ายกับ BEMD โดยการขยายขั้นตอนในมิติที่ต่อเนื่องกัน สำหรับคิวบ์ข้อมูล 3 มิติ ขององค์ประกอบ อัลกอริธึม pseudo-BEMD จะให้ส่วนประกอบ 3 มิติโดยละเอียด โดยที่, และคือจำนวนของ IMF ที่แยกออกมาจากแต่ละมิติที่มีองค์ประกอบ, , และ ตามลำดับ${\displaystyle i\times j\times k}$${\displaystyle m\times n\times q}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle q}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$

ในทางคณิตศาสตร์ เราสามารถแทนสัญญาณ 2 มิติด้วยรูปแบบเมทริกซ์ที่มีจำนวนองค์ประกอบจำกัด${\displaystyle i\times j}$

${\displaystyle X(i,j)={\begin{bmatrix}x(1,1)&x(1,2)&\cdots &x(1,j)\\x(2,1)&x(2,2)&\cdots &x(1,j)\\\vdots &\vdots &&\vdots \\x(i,1)&x(i,2)&\cdots &x(i,j)\end{bmatrix}}}$^{[ 3 ]}

ขั้นแรก เราทำการแยกส่วน EMD ในทิศทางหนึ่งของX ( i , j ) เช่น แยกตามแถว เพื่อแยกข้อมูลแต่ละแถวออกเป็น m องค์ประกอบ จากนั้นรวบรวมองค์ประกอบที่มีระดับ m เดียวกันจากผลลัพธ์ของการแยกส่วนแต่ละแถว เพื่อสร้างสัญญาณแยกส่วน 2 มิติที่ระดับ m นั้น ดังนั้นจึงได้ชุดข้อมูลเชิงพื้นที่ 2 มิติจำนวน m ชุด

${\displaystyle {\begin{aligned}RX(1,i,j)&={\begin{bmatrix}x(1,1,1)&x(1,1,2)&\cdots &x(1,1,j)\\x(1,2,1)&x(1,2,2)&\cdots &x(1,2,j)\\\vdots &\vdots &&\vdots \\x(1,i,1)&x(1,i,2)&\cdots &x(1,i,j)\end{bmatrix}}\\[6pt]RX(2,i,j)&={\begin{bmatrix}x(2,1,1)&x(2,1,2)&\cdots &x(2,1,j)\\x(2,2,1)&x(2,2,2)&\cdots &x(2,2,j)\\\vdots &\vdots &&\vdots \\x(2,i,1)&x(2,i,2)&\cdots &x(2,i,j)\end{bmatrix}}\\\vdots \qquad &\,\,\,\vdots \qquad \vdots \\[6pt]RX(m,i,j)&={\begin{bmatrix}x(m,1,1)&x(m,1,2)&\cdots &x(m,1,j)\\x(m,2,1)&x(m,2,2)&\cdots &x(m,2,j)\\\vdots &\vdots &&\vdots \\x(m,i,1)&x(m,i,2)&\cdots &x(m,i,j)\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$^{[ 3 ]}

โดยที่ RX (1, ​​i, j), RX (2, i, j) และ RX (m, i, j) คือชุดสัญญาณm ชุดตามที่ระบุไว้ (ในที่นี้เราใช้ Rเพื่อระบุการแยกส่วนแถว) ความสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณที่แยกส่วน 2 มิติ m ชุดนี้กับสัญญาณดั้งเดิมแสดงเป็น^{[ 3 ]}${\displaystyle X(i,j)=\sum _{k\mathop {=} 1}^{m}RX(k,i,j)}$

แถวแรกของเมทริกซ์ RX (m, i, j) คือส่วนประกอบ EMD ที่ m ซึ่งแยกออกมาจากแถวแรกของเมทริกซ์ X (i, j) แถวที่สองของเมทริกซ์ RX (m, i, j) คือส่วนประกอบ EMD ที่ m ซึ่งแยกออกมาจากแถวที่สองของเมทริกซ์ X (i, j) และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป

สมมติว่าการแยกส่วนก่อนหน้านี้เป็นการแยกส่วนตามแนวนอน ขั้นตอนต่อไปคือการแยกส่วนแต่ละส่วนที่แยกตามแถวก่อนหน้านี้ RX(m, i, j) ในแนวตั้งออกเป็น n ส่วน ขั้นตอนนี้จะสร้าง n ส่วนจากแต่ละส่วน RX

ตัวอย่างเช่น ส่วนประกอบ

1. RX(1,i,j) จะถูกแยกออกเป็น CRX(1,1,i,j), CRX(1,2,i,j),...,CRX(1,n,i,j)
2. RX(2,i,j) จะถูกแยกออกเป็น CRX(2,1,i,j), CRX(2,2,i,j),..., CRX(2,n,i,j)
3. RX(m,i,j) จะถูกแยกย่อยเป็น CRX(m,1,i,j), CRX(m,2,i,j),..., CRX(m,n,i,j)

โดยที่ C หมายถึงการแยกส่วนคอลัมน์ สุดท้าย การแยกส่วนแบบ 2 มิติ จะได้เมทริกซ์ขนาด m × n ซึ่งเป็นส่วนประกอบ EMD แบบ 2 มิติของข้อมูลดั้งเดิม X(i,j) นิพจน์เมทริกซ์สำหรับผลลัพธ์ของการแยกส่วนแบบ 2 มิติ คือ

${\displaystyle CRX(m,n,i,j)={\begin{bmatrix}crx(1,1,i,j)&crx(2,1,i,j)&\cdots &crx(m,1,i,j)\\crx(1,2,i,j)&crx(2,2,i,j)&\cdots &crx(m,2,i,j)\\\vdots &\vdots &&\vdots \\crx(1,n,i,j)&crx(2,n,i,j)&\cdots &crx(m,n,i,j)\end{bmatrix}}}$^{[ 3 ]}

โดยที่แต่ละองค์ประกอบในเมทริกซ์ CRX คือเมทริกซ์ย่อยขนาด i × j ที่แสดงถึงส่วนประกอบที่แยกย่อยด้วย EMD แบบ 2 มิติ เราใช้ตัวแปร (หรือคำต่อท้าย) m และ n เพื่อแสดงจำนวนส่วนประกอบของการแยกย่อยตามแถวและการแยกย่อยตามคอลัมน์ ตามลำดับ แทนที่จะใช้ดัชนีที่ระบุแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ โปรดสังเกตว่า m และ n ระบุจำนวนส่วนประกอบที่ได้จากการแยกย่อยตามแถว (แนวนอน) และการแยกย่อยตามคอลัมน์ (แนวตั้ง) ตามลำดับ

การรวมส่วนประกอบที่มีขนาดเดียวกันหรือขนาดที่เทียบเคียงได้โดยมีความแตกต่างน้อยที่สุด จะทำให้ได้คุณลักษณะ 2 มิติที่มีความสำคัญทางกายภาพมากที่สุด ส่วนประกอบของแถวแรกและคอลัมน์แรกมีขนาดใกล้เคียงกันหรือเทียบเคียงได้ แม้ว่าขนาดของส่วนประกอบจะเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ตามแถวหรือคอลัมน์ ดังนั้น การรวมส่วนประกอบของแถวแรกและคอลัมน์แรกจะทำให้ได้ส่วนประกอบ 2 มิติที่สมบูรณ์ตัวแรก (C2D1) กระบวนการต่อไปคือการใช้เทคนิคการรวมแบบเดียวกันกับส่วนประกอบที่เหลือ โดยการกระจายการมีส่วนร่วมของสัญญาณรบกวนไปยังส่วนประกอบแต่ละส่วนตามขนาดของส่วนประกอบนั้น ๆ ผลลัพธ์ที่ได้คือโครงสร้างที่สอดคล้องกันของส่วนประกอบ ด้วยวิธีนี้ วิธีการ pseudo-BEMD สามารถนำมาใช้เพื่อเปิดเผยวิวัฒนาการของโครงสร้างเชิงพื้นที่ของข้อมูลได้

${\displaystyle C2D_{L}=\sum _{k=1}^{m}crx_{k,l}+\sum _{k=l+1}^{n}crx_{l,k}}$^{[ 3 ]}

ตามหลักการของ 1D EMD ส่วนประกอบสุดท้ายของส่วนประกอบ 2 มิติที่สมบูรณ์เรียกว่าส่วนที่เหลือ (residue)

แผนการแยกส่วนที่เสนอในที่นี้สามารถขยายไปใช้กับข้อมูลที่มีมิติใดๆ ก็ได้ เช่น ข้อมูลของของแข็งที่มีความหนาแน่นต่างกัน หรือคุณสมบัติอื่นๆ ที่สามารถวัดได้

กำหนดให้เป็น${\displaystyle I=f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ,x_{n})}$

โดยที่ค่า n ในตัวแปรการสมัครสมาชิกนั้นระบุจำนวนมิติ ขั้นตอนการทำงานเหมือนกับที่กล่าวไว้ข้างต้น คือ การแยกส่วนเริ่มต้นจากมิติแรก และดำเนินการต่อไปยังมิติที่สองและสาม จนกว่าจะครบทุกมิติ การแยกส่วนยังคงดำเนินการโดยใช้ส่วนย่อย วิธีการใหม่นี้อยู่บนพื้นฐานของการแยกข้อมูลดั้งเดิมออกเป็นส่วนย่อยแบบหนึ่งมิติ จากนั้นจึงใช้ EMD แบบกลุ่มกับแต่ละส่วนย่อยแบบหนึ่งมิติ ส่วนสำคัญของวิธีการนี้อยู่ที่การสร้าง IMF ตามหลักการของการรวมส่วนประกอบที่มีขนาดขั้นต่ำที่เทียบเคียงกันได้

ตัวอย่างเช่น นิพจน์เมทริกซ์สำหรับผลลัพธ์ของการแยกส่วนแบบ 3 มิติ คือ TCRX(m,n,q,i,j,k) โดยที่ T แทนการแยกส่วนตามความลึก (หรือเวลา) ตามหลักการรวมขนาดขั้นต่ำที่เทียบเคียงได้ซึ่งใช้ในกรณี 2 มิติ จำนวนส่วนประกอบ 3 มิติที่สมบูรณ์จะเป็นค่าที่น้อยที่สุดของm , nและqสมการทั่วไปสำหรับการหาองค์ประกอบ 3 มิติคือ

${\displaystyle C3D_{L}=\sum _{m=l}^{m}\sum _{n=\ell }^{n}tcrx_{m,n,\ell }+\sum _{m=\ell +1}^{m}\sum _{q=\ell +1}^{n}tcrx_{m,\ell ,q}+\sum _{n=\ell +1}^{m}\sum _{q=\ell +1}^{m}tcrx_{\ell ,n,q}}$  ^{[ 3 ]}

โดยที่ℓแทนระดับของ C3D กล่าวคือ

${\displaystyle {\begin{cases}\ell =m=n&{\text{if }}m=n;\\\ell =m&{\text{if }}m<n;\\\ell =n&{\text{if }}m>n.\end{cases}}}$

วิธีการ pseudo-BEMD มีข้อดีหลายประการ ตัวอย่างเช่น ขั้นตอนการคัดกรองของ pseudo-BEMD เป็นการผสมผสานการคัดกรองแบบหนึ่งมิติ โดยใช้การปรับเส้นโค้ง แบบ 1 มิติ ในกระบวนการคัดกรองแต่ละมิติ และไม่มีปัญหาเหมือนที่พบในอัลกอริธึม EMD แบบ 2 มิติที่ใช้การปรับพื้นผิว ซึ่งมีปัญหาในการกำหนดจุดอานม้าเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุดเฉพาะที่ การคัดกรองเป็นกระบวนการที่แยก IMF ออกและทำซ้ำกระบวนการจนกว่าจะได้ส่วนที่เหลือ ขั้นตอนแรกของการคัดกรองคือการกำหนดซองบนและซองล่างที่ครอบคลุมข้อมูลทั้งหมดโดยใช้วิธีสปลายน์ โครงร่างการคัดกรองสำหรับ pseudo-BEMD คล้ายกับการคัดกรองแบบ 1 มิติ โดยที่ค่าเฉลี่ยเฉพาะที่ของ EMD มาตรฐานจะถูกแทนที่ด้วยค่าเฉลี่ยของเส้นโค้งซองหลายตัวแปร

ข้อเสียเปรียบที่สำคัญของวิธีนี้คือ แม้ว่าเราจะสามารถขยายอัลกอริธึมนี้ไปใช้กับข้อมูลที่มีมิติใดๆ ก็ได้ แต่เราใช้มันเฉพาะกับแอปพลิเคชันสองมิติเท่านั้น เนื่องจากเวลาในการคำนวณข้อมูลที่มีมิติสูงขึ้นจะแปรผันตามจำนวน IMF ของมิติถัดไป ดังนั้นจึงอาจเกินขีดความสามารถในการคำนวณของระบบประมวลผลข้อมูลทางธรณีฟิสิกส์เมื่อจำนวน EMD ในอัลกอริธึมมีขนาดใหญ่ ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้กล่าวถึงเทคนิคที่เร็วกว่าและดีกว่าเพื่อแก้ไขข้อเสียเปรียบนี้ไว้ด้านล่าง

แหล่งที่มา: ^{[ 4 ]}

การวิเคราะห์ข้อมูลที่รวดเร็วและมีประสิทธิภาพมีความสำคัญมากสำหรับลำดับข้อมูลขนาดใหญ่ ดังนั้น MDEEMD จึงมุ่งเน้นไปที่สองสิ่งสำคัญนี้

1. การบีบอัดข้อมูลคือการแยกข้อมูลออกเป็นรูปแบบที่ง่ายขึ้น
2. EEMD บนข้อมูลที่ถูกบีบอัดนั้นเป็นสิ่งที่ท้าทายที่สุด เนื่องจากมีความเป็นไปได้สูงที่จะสูญเสียข้อมูลสำคัญเมื่อทำการแยกข้อมูลที่ถูกบีบอัด วิธีการบีบอัดข้อมูลที่ใช้การวิเคราะห์ส่วนประกอบหลัก (PCA)/ฟังก์ชันเชิงตั้งฉากเชิงประจักษ์ (EOF) หรือการวิเคราะห์รูปแบบการแกว่งหลักจะถูกนำมาใช้ในการบีบอัดข้อมูล

แหล่งที่มา: ^{[ 4 ]}

สำหรับสัญญาณเวลาที่มีความยาวMความซับซ้อนของการกรองสปลายลูกบาศก์ผ่านจุดสูงสุดและต่ำสุดเฉพาะที่นั้นอยู่ในระดับเดียวกับMและความซับซ้อนของ EEMD ก็เช่นกัน เนื่องจาก EEMD เพียงแค่ทำซ้ำการดำเนินการปรับสปลายด้วยจำนวนครั้งที่ไม่ขึ้นอยู่กับMอย่างไรก็ตาม เนื่องจากจำนวนการกรอง (มักเลือกเป็น 10) และจำนวนกลุ่มตัวอย่าง (มักเป็นหลายร้อย) คูณกับการดำเนินการกรองสปลาย ดังนั้น EEMD จึงใช้เวลานานเมื่อเทียบกับวิธีการวิเคราะห์อนุกรมเวลาอื่นๆ เช่น การแปลงฟูริเยร์และการแปลงเวฟเล็ต MEEMD ใช้การแยกส่วน EEMD ของอนุกรมเวลาที่แต่ละกริดแบ่งของสัญญาณเวลาเริ่มต้น การดำเนินการ EEMD จะถูกทำซ้ำตามจำนวนจุดกริดทั้งหมดของโดเมน แนวคิดของ MEEMD ที่รวดเร็วนั้นง่ายมาก เนื่องจากการบีบอัดข้อมูลโดยใช้ PCA/EOF แสดงข้อมูลต้นฉบับในรูปของคู่ PC และ EOF โดยการแยกส่วน PC แทนที่จะเป็นอนุกรมเวลาของแต่ละกริด และใช้โครงสร้างเชิงพื้นที่ที่สอดคล้องกันซึ่งแสดงโดย EOF ที่เกี่ยวข้อง จะช่วยลดภาระการคำนวณลงได้อย่างมาก

MEEMD เวอร์ชันเร็วประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

1. มีการคำนวณ คู่ EOF, V และ PC ที่สอดคล้องกัน, Y ของข้อมูลเชิงพื้นที่และเวลาเหนือโดเมนย่อยที่ถูกบีบอัด ทั้งหมด
2. จำนวนคู่ PC/EOF ที่คงอยู่ในข้อมูลที่ถูกบีบอัดจะถูกกำหนดโดยการคำนวณค่าความแปรปรวนรวมสะสมของคู่ EOF/PC หลัก
3. แต่ละ PC Y จะถูกแยกส่วนโดยใช้ EEMD กล่าวคือ

${\displaystyle Y_{i}=\sum _{j=1}^{n}c_{j,i}+r_{n,i}}$^{[ 4 ]}

โดยที่c แทนโหมดการสั่นแบบง่ายที่มีความถี่บางอย่าง และr คือค่าตกค้างของข้อมูลY ผลลัพธ์ของส่วนประกอบ MEEMD ที่i คือ C ได้มาดังนี้

${\displaystyle C_{j}=\sum _{j=1}^{40}c_{j,i}V_{i}.}$ ^{[ 4 ]}

ในการคำนวณแบบบีบอัดนี้ เราได้ใช้คุณสมบัติของฟิลเตอร์แบงก์แบบไดอะดิกโดยประมาณของ EMD/EEMD

โปรดทราบว่าความรู้โดยละเอียดเกี่ยวกับฟังก์ชันโหมดภายใน (IMF) ของสัญญาณที่ปนเปื้อนด้วยสัญญาณรบกวนสามารถช่วยในการประเมินความสำคัญของโหมดนั้นได้ โดยปกติแล้วจะถือว่า IMF แรกจับสัญญาณรบกวนได้มากที่สุด ดังนั้นจาก IMF นี้เราสามารถประมาณระดับสัญญาณรบกวนและประมาณสัญญาณที่ปนเปื้อนด้วยสัญญาณรบกวนโดยการกำจัดผลกระทบของสัญญาณรบกวนโดยประมาณ วิธีนี้เรียกว่าการลดสัญญาณรบกวนและการกำจัดแนวโน้ม ข้อดีอีกประการหนึ่งของการใช้ MEEMD คือการผสมโหมดลดลงอย่างมากเนื่องจากฟังก์ชันของ EEMD กลยุทธ์การลดสัญญาณรบกวนและการกำจัดแนวโน้มสามารถใช้สำหรับการประมวลผลภาพเพื่อปรับปรุงภาพ และในทำนองเดียวกันสามารถนำไปใช้กับสัญญาณเสียงเพื่อลบข้อมูลที่เสียหายในคำพูดได้ MDEEMD สามารถใช้เพื่อแยกภาพและสัญญาณเสียงออกเป็น IMF และดำเนินการที่จำเป็นตามความรู้ของ IMF การแยกส่วนของภาพมีประโยชน์มากสำหรับการใช้งานที่ใช้เรดาร์ การแยกส่วนของภาพสามารถเปิดเผยทุ่นระเบิด ฯลฯ ได้

EEMD ที่ประกอบกันเป็น MEEMD จะถูกจัดสรรให้กับเธรดอิสระสำหรับการประมวลผลแบบขนาน โดยอาศัยรันไทม์ OpenMP ในการแก้ไขปัญหาความไม่สมดุลของโหลด การเข้าถึงหน่วยความจำแบบก้าวกระโดดของข้อมูลมิติสูงจะถูกกำจัดโดยการแปลงข้อมูลเหล่านี้ไปยังมิติที่ต่ำกว่า ส่งผลให้มีการใช้แคชไลน์ได้ดีขึ้น ผลลัพธ์บางส่วนของ EEMD แต่ละรายการจะถูกทำให้เป็นส่วนตัวของเธรดเพื่อการทำงานที่ถูกต้อง ความต้องการหน่วยความจำขึ้นอยู่กับจำนวนเธรด OpenMP และได้รับการจัดการโดยรันไทม์ OpenMP ^{[ 5 ]}

ในการใช้งาน GPU CUDA แต่ละ EMD จะถูกแมปไปยังเธรด การจัดวางหน่วยความจำ โดยเฉพาะข้อมูลที่มีมิติสูง จะถูกจัดเรียงใหม่เพื่อให้ตรงตามข้อกำหนดการรวมหน่วยความจำและให้พอดีกับแคชไลน์ขนาด 128 ไบต์ ข้อมูลจะถูกโหลดตามมิติที่ต่ำที่สุดก่อน จากนั้นจึงใช้ตามมิติที่สูงกว่า ขั้นตอนนี้จะดำเนินการเมื่อมีการเพิ่มสัญญาณรบกวนแบบเกาส์เซียนเพื่อสร้างข้อมูลแบบกลุ่ม ในการจัดวางหน่วยความจำแบบใหม่ มิติของกลุ่มจะถูกเพิ่มเข้าไปในมิติที่ต่ำที่สุดเพื่อลดการเบี่ยงเบนของสาขาที่อาจเกิดขึ้น ผลกระทบของการเบี่ยงเบนของสาขาที่หลีกเลี่ยงไม่ได้จากความไม่สม่ำเสมอของข้อมูลที่เกิดจากสัญญาณรบกวน จะถูกลดให้เหลือน้อยที่สุดโดยใช้เทคนิคการทำให้เป็นระเบียบโดยใช้หน่วยความจำบนชิป นอกจากนี้ หน่วยความจำแคชยังถูกใช้เพื่อลดการเข้าถึงหน่วยความจำที่ไม่รวมกันที่หลีกเลี่ยงไม่ได้^{[ 5 ]}

การแยกองค์ประกอบเชิงประจักษ์แบบสองมิติที่รวดเร็วและปรับตัวได้ (FABEMD)เป็นเวอร์ชันปรับปรุงของ BEMD แบบดั้งเดิม^{[ 6 ]} FABEMD สามารถนำไปใช้ในหลายพื้นที่ รวมถึงการวิเคราะห์ภาพทางการแพทย์ การวิเคราะห์พื้นผิว และอื่นๆ ตัวกรองสถิติลำดับสามารถช่วยแก้ปัญหาเรื่องประสิทธิภาพและข้อจำกัดด้านขนาดใน BEMD ได้

FABEMD มีพื้นฐานมาจากอัลกอริทึมของ BEMD โดยวิธีการใช้งานนั้นคล้ายคลึงกับ BEMD มาก แต่แนวทางของ FABEMD เพียงแค่เปลี่ยนขั้นตอนการประมาณค่าแบบสอดแทรกไปเป็นวิธีการประมาณค่าซองสัญญาณโดยตรง และจำกัดจำนวนรอบการทำซ้ำสำหรับ BIMF แต่ละตัวให้เหลือเพียงหนึ่งครั้ง ดังนั้นจึงจะใช้สถิติสองลำดับ ได้แก่ ค่าสูงสุด (MAX) และค่าต่ำสุด (MIN) ในการประมาณค่าซองสัญญาณบนและล่าง ขนาดของตัวกรองจะขึ้นอยู่กับแผนที่ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดที่ได้จากข้อมูลป้อนเข้า ขั้นตอนของอัลกอริทึม FABEMD มีดังต่อไปนี้

แหล่งที่มา: ^{[ 6 ]}

ขั้นตอนที่ 1 – กำหนดและตรวจหาค่าสูงสุดและต่ำสุดในพื้นที่

ตามแนวทาง BEMD แบบดั้งเดิม เราสามารถหา ITS-BIMF ตัวที่ j ของแหล่งข้อมูลใดๆ ก็ได้โดยใช้วิธีหน้าต่างข้างเคียง สำหรับแนวทาง FABEMD เราเลือกวิธีการใช้งานที่แตกต่างออกไป${\displaystyle F_{Tj}}$${\displaystyle S_{i}}$

จากข้อมูลที่ป้อนเข้ามา เราสามารถสร้างเมทริกซ์ 2 มิติที่แสดงถึงข้อมูลนั้นได้

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{*{20}{c}}a_{11}&\cdots &a_{1N}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{M1}&\cdots &a_{MN}\end{array}}\right)}$^{[ 6 ]}

โดยที่คือตำแหน่งขององค์ประกอบในเมทริกซ์ A และเราสามารถกำหนดขนาดหน้าต่างเป็น ได้ดังนั้น เราสามารถหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดจากเมทริกซ์ได้ดังนี้:${\displaystyle a_{MN}}$${\displaystyle w_{ex}\times w_{ex}}$

${\displaystyle a_{mn}\triangleq {\begin{cases}{\text{local max}}&{\text{if }}a_{mn}>a_{k\ell },\\{\text{local min}}&{\text{if }}a_{mn}<a_{k\ell },\end{cases}}}$^{[ 6 ]}

ที่ไหน

${\displaystyle k=m-{\frac {w_{ex}-1}{2}}:m+{\frac {w_{ex}-1}{2}},(k\neq m)}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle \ell =n-{\frac {w_{ex}-1}{2}}:n+{\frac {w_{ex}-1}{2}},(\ell \neq n)}$^{[ 6 ]}

ขั้นตอนที่ 2 – หาขนาดของหน้าต่างสำหรับตัวกรองสถิติเรียงลำดับ

ขั้นแรก เรากำหนดให้และเป็นระยะทางสูงสุดและต่ำสุดในอาร์เรย์ ซึ่งคำนวณจากจุดสูงสุดหรือต่ำสุดเฉพาะที่แต่ละจุดไปยังองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ที่ใกล้ที่สุด นอกจากนี้และจะถูกจัดเรียงตามลำดับจากมากไปน้อยในอาร์เรย์ตามการเลือกที่สะดวก มิฉะนั้น เราจะพิจารณาเฉพาะหน้าต่างสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่านั้น ดังนั้น ความกว้างของหน้าต่างโดยรวมจะเป็นดังนี้:${\displaystyle d_{\mathrm {adj} -\max }}$${\displaystyle d_{\mathrm {adj} -\min }}$${\displaystyle d_{\mathrm {adj} -\max }}$${\displaystyle d_{\mathrm {adj} -\min }}$

${\displaystyle w_{\max {\rm {\_en-g}}}=\operatorname {minimum} \{d_{\mathrm {adj} -\max }\}}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle w_{\max {\rm {\_en-g}}}=\operatorname {maximum} \{d_{\mathrm {adj} -\max }\}}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle w_{\min {\rm {\_en-g}}}=\operatorname {minimum} \{d_{\mathrm {adj} -\min }\}}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle w_{\min {\rm {\_en-g}}}=\operatorname {maximum} \{d_{\mathrm {adj-\min } }\}}$^{[ 6 ]}

ขั้นตอนที่ 3 – ใช้สถิติเรียงลำดับและตัวกรองปรับเรียบเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ตัวกรองค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด

ในการหาขอบเขตบนและล่าง จะต้องกำหนดพารามิเตอร์สองตัวคือและ โดยสมการจะเป็นดังนี้:${\displaystyle U_{Ej}(x,y)}$${\displaystyle L_{Ej}(x,y)}$

${\displaystyle U_{Ej}(x,y)=\max\{F_{Tj}(s,t)\}={\frac {1}{w_{sm}\times w_{sm}}}\sum _{(s,t)\in Z_{xy}}{U_{Ej}}(s,t)}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle L_{Ej}(x,y)=\min\{F_{Tj}(s,t)\}={\frac {1}{w_{sm}\times w_{sm}}}\sum _{(s,t)\in Z_{xy}}L_{Ej}(s,t)}$^{[ 6 ]}

โดยที่ถูกกำหนดให้เป็นพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดหน้าต่าง และคือความกว้างของหน้าต่างของตัวกรองการปรับเรียบซึ่งเท่ากับดังนั้น ตัวกรอง MAX และ MIN จะสร้างเมทริกซ์ 2 มิติใหม่สำหรับพื้นผิวซองจดหมายซึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงข้อมูลอินพุต 2 มิติเดิม^{[ 8 ]}${\displaystyle Z_{xy}}$${\displaystyle w_{sm}}$${\displaystyle w_{sm}}$${\displaystyle w_{en}}$

ขั้นตอนที่ 4 – ตั้งค่าการประมาณการจากขอบเขตบนและล่าง

ขั้นตอนนี้มีจุดประสงค์เพื่อให้แน่ใจว่าการประมาณค่าขอบเขตใน FABEMD นั้นใกล้เคียงกับผลลัพธ์จาก BEMD โดยใช้การประมาณค่าแบบสอดแทรก เพื่อให้สามารถเปรียบเทียบได้ เราจำเป็นต้องสร้างเมทริกซ์ที่สอดคล้องกันสำหรับขอบเขตบน ขอบเขตล่าง และขอบเขตเฉลี่ย โดยใช้การประมาณค่าแบบสอดแทรกพื้นผิวสปลายแผ่นบางกับแผนที่ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด

วิธีการนี้ (FABEMD) ช่วยลดการใช้การคำนวณเพื่อให้ได้ผลลัพธ์อย่างรวดเร็ว และทำให้มั่นใจได้ว่าการประมาณค่า BIMF มีความแม่นยำมากขึ้น ยิ่งไปกว่านั้น FABEMD ยังปรับตัวได้ดีกว่า BEMD แบบดั้งเดิมในการจัดการกับข้อมูลขนาดใหญ่ นอกจากนี้ FABEMD ยังเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพโดยไม่จำเป็นต้องพิจารณาผลกระทบจากขอบเขตและปัญหาการโอเวอร์ชูต-อันเดอร์ชูต

มีปัญหาสำคัญอย่างหนึ่งที่เราจะพบเจอในวิธีการนี้ บางครั้ง ข้อมูลอินพุตอาจมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดเฉพาะที่เพียงค่าเดียว ซึ่งจะทำให้ตารางระยะทางว่างเปล่า

วิธีการแยกองค์ประกอบเชิงประจักษ์แบบหลายมิติโดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE-based MEMD)เป็นวิธีหนึ่งในการปรับปรุงและเอาชนะความยากลำบากในการประมาณค่าซองค่าเฉลี่ยของสัญญาณจาก EMD แบบดั้งเดิม PDE-based MEMD มุ่งเน้นไปที่การปรับเปลี่ยนอัลกอริธึมดั้งเดิมสำหรับ MEMD ดังนั้นผลลัพธ์จะให้สูตรเชิงวิเคราะห์ซึ่งสามารถอำนวยความสะดวกในการวิเคราะห์เชิงทฤษฎีและการสังเกตประสิทธิภาพ เพื่อดำเนินการ EMD แบบหลายมิติ เราจำเป็นต้องขยายกระบวนการคัดกรองแบบ 1 มิติโดยใช้ PDE ^{[ 9 ]}ไปยังพื้นที่ 2 มิติ ดังแสดงโดยขั้นตอนด้านล่าง

ในที่นี้ เราจะใช้ EMD ที่อิงตาม PDE 2 มิติเป็นตัวอย่าง

แหล่งที่มา: ^{[ 9 ]}

ขั้นตอนที่ 1 – ขยายแบบจำลองการแพร่กระจายขั้นสูงจาก 1 มิติเป็น 2 มิติ

ถือว่าเป็นฟังก์ชันเมทริกซ์การแพร่กระจายขั้นสูง

${\displaystyle G_{q}(x)=\left({\begin{array}{*{20}{c}}g_{q,1}(x)&0\\0&g_{q,2}(x)\end{array}}\right)}$^{[ 9 ]}

โดยที่แทนฟังก์ชันหยุดลำดับที่ q ในทิศทาง i${\displaystyle {g_{q,i}}(x)}$

จากนั้น โดยอิงตามสมการนาเวียร์-สโตกส์สมการการแพร่กระจายจะเป็นดังนี้:

${\displaystyle u_{t}(x,t)=\operatorname {div} (\alpha {G_{1}}\nabla u(x,t)-(1-\alpha ){G_{2}}\nabla \Delta u(x,t))}$^{[ 9 ]}

โดยที่พารามิเตอร์ความตึงคือ และเราได้สมมติว่า${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle q=2}$

ขั้นตอนที่ 2 – เชื่อมโยงความสัมพันธ์ระหว่างแบบจำลองการแพร่กระจายและสมการอนุพันธ์ย่อยบนพื้นผิวโดยปริยาย

เพื่อให้สอดคล้องกับสมการอนุพันธ์ย่อย สมการที่กำหนดให้จะเป็นดังนี้

${\displaystyle u_{t}(x,t)=-(-1)^{q}\nabla _{S}^{2q}u(x,t)}$  ^{[ 9 ]}

โดยที่คือตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์อันดับ 2q บน u ซึ่งเป็นคุณสมบัติเฉพาะของพื้นผิว S และเงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับสมการจะเป็นสำหรับ y ใดๆ บนพื้นผิว S${\displaystyle \nabla _{S}^{2q}}$${\displaystyle u(y,t)=f}$

ขั้นตอนที่ 3 – พิจารณาความละเอียดเชิงตัวเลขทั้งหมด

เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ทางทฤษฎีและการวิเคราะห์จากสมการข้างต้น เราจำเป็นต้องตั้งสมมติฐานบางประการ

ข้อสันนิษฐาน:

สมมติว่าวิธีการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับ 4 ที่ไม่มีแรงตึง และสมการสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับ 4 จะเป็นดังนี้

${\displaystyle u_{t}=-\sum _{i,j=1}^{2}\partial _{x_{i}}^{1}(g_{i}\partial _{x_{i}}^{1}\partial _{x_{j}}^{2}u)}$  ^{[ 9 ]}

อันดับแรก เราจะอธิบายแผนการอย่างชัดเจนโดยการประมาณกระบวนการคัดกรองตามสมการอนุพันธ์ย่อย (PDE)

${\displaystyle U^{k+1}=\left(I-\Delta t\sum _{i,j=1}^{2}L_{ij}\right)U^{k}}$  ^{[ 9 ]}

โดยที่เป็นเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยค่าของแต่ละพิกเซลเป็นเมทริกซ์ที่เป็นการประมาณค่าความแตกต่างของตัวดำเนินการ และเป็นช่วงเวลาเล็กๆ${\displaystyle U}$${\displaystyle L_{ij}}$${\displaystyle \Delta t}$

ประการที่สอง เราสามารถใช้แผนการแยกตัวดำเนินการแบบเพิ่ม (AOS) ^{[ 10 ]}เพื่อปรับปรุงคุณสมบัติของความเสถียร เนื่องจากขั้นตอนเวลาเล็กๆจะไม่เสถียรเมื่อถึงขั้นตอนเวลาขนาดใหญ่${\displaystyle \Delta t}$

สุดท้ายนี้ เราสามารถใช้ แผนการแบบ สลับทิศทางโดยปริยาย (ADI) ได้ โดยการใช้แผนการแบบ ADI นั้น แนะนำให้ผสมพจน์อนุพันธ์เข้าไปเพื่อแก้ปัญหาที่ว่าแผนการแบบ ADI สามารถใช้ได้เฉพาะกับสมการการแพร่แบบอันดับสองเท่านั้น สมการที่แก้ได้ด้วยวิธีเชิงตัวเลขจะเป็นดังนี้ :

${\displaystyle U^{k+1}=\left(\prod _{n=1}^{2}(I-\Delta tA_{nn})\right)^{-1}(I+\Delta t\sum _{i=1}^{2}\sum _{j\neq i}A_{ij})U^{k}}$^{[ 9 ]}

โดยที่เป็นเมทริกซ์ซึ่งเป็นการประมาณค่าความแตกต่างส่วนกลางของตัวดำเนินการ${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle a_{ij}\partial _{x_{i}}^{1}\partial _{x_{j}}^{2}}$

วิธีการนี้ ซึ่งอิงตามสมการนาเวียร์-สโตกส์โดยตรง ช่วยให้ได้มาและพัฒนาผลลัพธ์ทางทฤษฎีและเชิงตัวเลขได้ดี โดยเฉพาะอย่างยิ่ง BEMD ที่ใช้สมการอนุพันธ์ย่อย (PDE) สามารถทำงานได้ดีสำหรับฟิลด์การแยกภาพ วิธีการนี้สามารถนำไปใช้ในการแยกสัญญาณชั่วคราวและหลีกเลี่ยงลักษณะที่ไม่แน่นอนในสัญญาณบางประเภทได้

มีปัญหาบางประการในการใช้งาน BEMD และการขยายขอบเขตในกระบวนการคัดกรองแบบวนซ้ำ รวมถึงการใช้เวลานาน รูปทรงและความต่อเนื่องของขอบ การเปรียบเทียบผลลัพธ์การแยกส่วน และอื่นๆ เพื่อแก้ไขปัญหาเหล่านี้ จึง ได้สร้างวิธี การประมวลผลขอบเขตในการแยกส่วนเชิงประจักษ์แบบสองมิติ (BPBEMD)ขึ้นมา โดยจะอธิบายประเด็นหลักของอัลกอริทึมวิธีการใหม่นี้ต่อไป

ขั้นตอนหลักไม่กี่ขั้นตอนสำหรับอัลกอริทึม BPBEMD คือ: ^{[ 11 ]}

ขั้นตอนที่ 1

โดยสมมติว่าขนาดของข้อมูลป้อนเข้าดั้งเดิมและข้อมูลผลลัพธ์คือและตามลำดับ เราสามารถกำหนดให้เมทริกซ์ข้อมูลป้อนเข้าดั้งเดิมอยู่ตรงกลางของเมทริกซ์ข้อมูลผลลัพธ์ได้เช่นกัน${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle (N+2M)\times (N+2M)}$

ขั้นตอนที่ 2

แบ่งเมทริกซ์ข้อมูลอินพุตดั้งเดิมและเมทริกซ์ข้อมูลผลลัพธ์ออกเป็นบล็อกขนาดต่างๆ${\displaystyle M\times M}$

ขั้นตอนที่ 3

ค้นหาบล็อกที่คล้ายคลึงกับบล็อกข้างเคียงมากที่สุดในเมทริกซ์ข้อมูลอินพุตดั้งเดิม และใส่ลงในเมทริกซ์ข้อมูลผลลัพธ์ที่สอดคล้องกัน

ขั้นตอนที่ 4

สร้างเมทริกซ์ระยะทาง โดยที่องค์ประกอบของเมทริกซ์จะถูกถ่วงน้ำหนักด้วยระยะทางที่แตกต่างกันระหว่างแต่ละบล็อกจากขอบเขตเหล่านั้น

ขั้นตอนที่ 5

เมื่อเมทริกซ์ข้อมูลที่ได้เผชิญกับการขยายขอบเขตขนาดใหญ่ ให้ใช้การขยายแบบวนซ้ำ เราจะเห็นว่าบล็อกในเมทริกซ์ข้อมูลอินพุตดั้งเดิมนั้นสอดคล้องกับบล็อกในเมทริกซ์ข้อมูลที่ได้

วิธีนี้สามารถประมวลผลองค์ประกอบได้จำนวนมากกว่าวิธี BEMD แบบดั้งเดิม นอกจากนี้ยังช่วยลดระยะเวลาในการประมวลผลได้อีกด้วย เนื่องจากใช้การสังเคราะห์พื้นผิวโดยอาศัยการสุ่มตัวอย่างแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ ทำให้ BPBEMD สามารถให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่าหลังจากการแยกส่วนและสกัดได้

เนื่องจากภาพอินพุตส่วนใหญ่ไม่ใช่ภาพนิ่ง ซึ่งไม่มีปัญหาเรื่องขอบเขต วิธี BPBEMD จึงยังขาดหลักฐานที่เพียงพอว่าสามารถปรับใช้ได้กับข้อมูลอินพุตทุกประเภท นอกจากนี้ วิธีนี้ยังจำกัดการใช้งานเฉพาะการวิเคราะห์พื้นผิวและการประมวลผลภาพเท่านั้น