ในการประมวลผลสัญญาณดิจิทัลการสุ่มตัวอย่างแบบหลายมิติคือกระบวนการแปลงฟังก์ชันของตัวแปรหลายมิติให้เป็นชุดค่าแบบไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันที่วัดบนชุดจุดแบบไม่ต่อเนื่อง บทความนี้นำเสนอผลลัพธ์พื้นฐานจาก Petersen และ Middleton ^{[ 1 ]}เกี่ยวกับเงื่อนไขสำหรับการสร้าง ฟังก์ชันที่จำกัดด้วย เลขคลื่นขึ้น ใหม่ได้อย่างสมบูรณ์แบบ จากการวัดบนโครงข่ายจุดแบบไม่ต่อเนื่อง ผลลัพธ์นี้ หรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบท Petersen–Middletonเป็นการวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทการสุ่มตัวอย่าง Nyquist–Shannon สำหรับการสุ่มตัวอย่าง ฟังก์ชันที่จำกัดแบนด์หนึ่งมิติ ไปยัง ปริภูมิยูคลิด มิติสูง กว่า

โดยสรุปแล้ว ทฤษฎีบทปีเตอร์เซน-มิดเดิลตันแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันที่จำกัดด้วยเลขคลื่นสามารถสร้างขึ้นใหม่ได้อย่างสมบูรณ์แบบจากค่าของมันบนโครงข่ายจุดอนันต์ โดยมีเงื่อนไขว่าโครงข่ายนั้นละเอียดเพียงพอ ทฤษฎีบทนี้ให้เงื่อนไขเกี่ยวกับโครงข่ายที่ทำให้การสร้างใหม่ได้อย่างสมบูรณ์แบบเป็นไปได้

เช่นเดียวกับทฤษฎีบทการสุ่มตัวอย่างของ Nyquist–Shannon ทฤษฎีบทนี้ก็ตั้งอยู่บนสมมติฐานของการจำลองสถานการณ์ในโลกแห่งความเป็นจริงเช่นกัน เนื่องจากใช้ได้เฉพาะกับฟังก์ชันที่สุ่มตัวอย่างจากจุดจำนวนอนันต์เท่านั้น การสร้างใหม่ที่สมบูรณ์แบบนั้นเป็นไปได้ทางคณิตศาสตร์สำหรับแบบจำลองในอุดมคติ แต่เป็นเพียงการประมาณค่าสำหรับฟังก์ชันและเทคนิคการสุ่มตัวอย่างในโลกแห่งความเป็นจริง แม้ว่าในทางปฏิบัติมักจะเป็นการประมาณค่าที่ดีมากก็ตาม

แนวคิดของ ฟังก์ชัน ที่มีแบนด์วิดท์จำกัดในมิติเดียว สามารถขยายไปสู่แนวคิดของฟังก์ชันที่มีเวฟนัมเบอร์จำกัดในมิติที่สูงกว่าได้ โปรดจำไว้ว่าการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้ใน ปริภูมิยูคลิด nมิติ ถูกกำหนดดังนี้: ${\displaystyle f(\cdot )}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )={\mathcal {F}}(f)(\xi )=\int _{\Re ^{n}}f(x)e^{-2\pi i\langle x,\xi \rangle }\,dx}$

โดยที่xและξเป็นเวกเตอร์nมิติและคือผลคูณภายในของเวกเตอร์เหล่านั้น ฟังก์ชันนี้กล่าวได้ว่ามีเลขคลื่นจำกัดอยู่ที่เซตถ้าการแปลงฟูริเยร์เป็นไปตามเงื่อนไข สำหรับ${\displaystyle \langle x,\xi \rangle }$${\displaystyle f(\cdot )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=0}$${\displaystyle \xi \notin \โอเมก้า }$

ในทำนองเดียวกัน การจัดเรียงจุดสุ่มตัวอย่างที่มีระยะห่างสม่ำเสมอในมิติเดียวสามารถขยายไปสู่แลตติสในมิติที่สูงกว่าได้ แลตติสคือชุดของจุดในรูปแบบ ที่ { v ₁ , ..., v _n } เป็นฐานสำหรับแลตติสผกผันที่สอดคล้องกับถูกกำหนดโดย ${\displaystyle \Lambda \subset \Re ^{n}}$${\displaystyle \Lambda =\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\;|\;a_{i}\in \mathbb {Z} \right\}}$${\displaystyle \Re ^{n}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \Gamma =\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}\;|\;a_{i}\in \mathbb {Z} \right\}}$

โดยที่เวกเตอร์ถูกเลือกเพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขนั่นคือ ถ้าเวกเตอร์ก่อตัวเป็นคอลัมน์ของเมทริกซ์และคอลัมน์ของเมทริกซ์แล้วตัวอย่างของแลตทิซการสุ่มตัวอย่างในปริภูมิสองมิติคือแลตทิซหกเหลี่ยมดังแสดงในรูปที่ 1 แลตทิซผกผันที่สอดคล้องกันแสดงในรูปที่ 2 แลตทิซผกผันของแลตทิซสี่เหลี่ยมจัตุรัสในสองมิติคือแลตทิซสี่เหลี่ยมจัตุรัสอีกอันหนึ่ง ในปริภูมิสามมิติ แลตทิซผกผันของแล ตทิซลูกบาศก์แบบมีจุดศูนย์กลางที่หน้า (FCC)คือแลตทิซลูกบาศก์แบบมีจุดศูนย์กลางที่ตัว (BCC) ${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle \langle u_{i},v_{j}\rangle =\delta _{ij}}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A=B^{-T}}$

ให้แทนแลตทิซในและแลตทิซผกผันที่สอดคล้องกัน ทฤษฎีบทของ Petersen และ Middleton ^{[ 1 ]}ระบุว่าฟังก์ชันที่จำกัดด้วยเลขคลื่นในเซตสามารถสร้างใหม่ได้อย่างแม่นยำจากการวัดบนโดยมีเงื่อนไขว่าเซตไม่ทับซ้อนกับเวอร์ชันที่เลื่อนใดๆโดยที่การเลื่อนxเป็นองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ของแลตทิซผกผันกล่าวอีกนัยหนึ่งสามารถสร้างใหม่ได้อย่างแม่นยำจากการวัดบนโดยมีเงื่อนไขว่าสำหรับทุก ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Re ^{n}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle f(\cdot )}$${\displaystyle \Omega \subset \Re ^{n}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega +x}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle f(\cdot )}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Omega \cap \{x+y:y\in \Omega \}=\emptyset }$${\displaystyle x\in \Gamma \setminus \{0\}}$

การขยายสูตรผลรวมปัวซงไปสู่มิติที่สูงขึ้น^{[ 2 ]}สามารถใช้เพื่อแสดงว่าตัวอย่างของฟังก์ชันบนแลตทิซนั้นเพียงพอที่จะสร้างผลรวมแบบคาบของฟังก์ชันผลลัพธ์คือ: ${\displaystyle \{f(x):x\in \Lambda \}}$${\displaystyle f(\cdot )}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle {\hat {f}}(\cdot )}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{s}(\xi )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{y\in \Gamma }{\hat {f}}\left(\xi -y\right)=\sum _{x\in \Lambda }|\Lambda |f(x)\ e^{-i2\pi \langle x,\xi \rangle },}$

สมการที่ 1

โดยที่แทนปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ { v ₁ , ..., v _n } ฟังก์ชันคาบนี้มักเรียกว่าสเปกตรัมที่สุ่มตัวอย่าง และสามารถตีความได้ว่าเป็นอนาล็อกของการแปลงฟูริเยร์แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง (DTFT) ในมิติที่สูงกว่า หากสเปกตรัมที่จำกัดด้วยเลขคลื่นดั้งเดิมนั้นรองรับอยู่บนเซตแล้วฟังก์ชันจะรองรับอยู่บนการทำซ้ำเป็นคาบของที่เลื่อนไปตามจุดบนแลตทิซผกผันหากตรงตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทปีเตอร์เซน-มิดเดิลตัน ฟังก์ชันจะมีค่าเท่ากับสำหรับทุกและด้วยเหตุนี้สนามดั้งเดิมจึงสามารถสร้างขึ้นใหม่ได้อย่างแม่นยำจากตัวอย่าง ในกรณีนี้สนามที่สร้างขึ้นใหม่จะตรงกับสนามดั้งเดิมและสามารถแสดงในรูปของตัวอย่างได้ดังนี้ ${\displaystyle |\Lambda |}$${\displaystyle {\hat {f}}(\cdot )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\hat {f}}_{s}(\cdot )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle {\hat {f}}_{s}(\xi )}$${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$${\displaystyle \xi \in \Omega }$

${\displaystyle f(x)=\sum _{y\in \Lambda }|\Lambda |f(y){\check {\chi }}_{\Omega }(y-x)}$,

สมการที่ 2

โดยที่คือการแปลงฟูริเยร์ผกผันของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเซตสูตรการประมาณค่านี้เป็นสูตรเทียบเท่าในมิติที่สูงกว่าของสูตรการประมาณค่าแบบวิทเทเกอร์-แชนนอน ${\displaystyle {\check {\chi }}_{\Omega }(\cdot )}$${\displaystyle \Omega }$

ยกตัวอย่างเช่น สมมติว่าเป็นแผ่นดิสก์ทรงกลม รูปที่ 3 แสดงการรองรับของเมื่อเงื่อนไขของทฤษฎีบทปีเตอร์เซน-มิดเดิลตันเป็นไปตามที่กำหนด เราจะเห็นว่าการทำซ้ำของสเปกตรัมไม่ทับซ้อนกัน ดังนั้นจึงสามารถกู้คืนสเปกตรัมดั้งเดิมได้อย่างแม่นยำ ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\hat {f}}_{s}(\cdot )}$

ทฤษฎีบทนี้ให้เงื่อนไขเกี่ยวกับโครงข่ายการสุ่มตัวอย่างสำหรับการสร้างภาพตัวอย่างที่สมบูรณ์แบบ หากโครงข่ายไม่ละเอียดเพียงพอที่จะเป็นไปตามเงื่อนไขของ Petersen-Middleton แล้ว โดยทั่วไปจะไม่สามารถสร้างภาพสนามจากตัวอย่างได้อย่างแม่นยำ ในกรณีนี้ เรากล่าวว่าตัวอย่างอาจเกิดการบิดเบือน (aliasing ) ลองพิจารณาตัวอย่างที่เป็นวงกลม หากเงื่อนไขของ Petersen-Middleton ไม่เป็นไปตามที่กำหนด ขอบเขตของสเปกตรัมที่สุ่มตัวอย่างจะเป็นดังแสดงในรูปที่ 4 ในกรณีนี้ การทำซ้ำของสเปกตรัมจะทับซ้อนกัน ทำให้เกิดการบิดเบือนในการสร้างภาพ ${\displaystyle \Omega }$

ตัวอย่างง่ายๆ ของปรากฏการณ์เอเลียสซิ่งสามารถหาได้จากการศึกษาภาพที่มีความละเอียดต่ำ ภาพขาวดำสามารถตีความได้ว่าเป็นฟังก์ชันในพื้นที่สองมิติ ตัวอย่างของเอเลียสซิ่งแสดงให้เห็นในภาพลวดลายอิฐในรูปที่ 5 ภาพนี้แสดงให้เห็นถึงผลกระทบของเอเลียสซิ่งเมื่อเงื่อนไขของทฤษฎีบทการสุ่มตัวอย่างไม่เป็นไปตามที่กำหนด หากโครงข่ายพิกเซลไม่ละเอียดพอสำหรับฉาก เอเลียสซิ่งจะเกิดขึ้น ดังที่เห็นได้จากการปรากฏของลวดลายมัวเรในภาพที่ได้ ภาพในรูปที่ 6 ได้มาจากการสุ่มตัวอย่างฉากเวอร์ชันที่เรียบเนียนด้วยโครงข่ายเดียวกัน ในกรณีนี้ เงื่อนไขของทฤษฎีบทเป็นไปตามที่กำหนดและไม่มีเอเลียสซิ่งเกิดขึ้น

หนึ่งในเป้าหมายที่น่าสนใจในการออกแบบแผนการสุ่มตัวอย่างสำหรับสนามที่มีเลขคลื่นจำกัดคือการระบุการจัดเรียงจุดที่นำไปสู่ความหนาแน่นของการสุ่มตัวอย่างขั้นต่ำ กล่าวคือ ความหนาแน่นของจุดสุ่มตัวอย่างต่อหน่วยปริมาตรเชิงพื้นที่ในโดยทั่วไปแล้ว ต้นทุนในการวัดและจัดเก็บข้อมูลจะเป็นสัดส่วนกับความหนาแน่นของการสุ่มตัวอย่างที่ใช้ ในทางปฏิบัติ วิธีการตามธรรมชาติในการสุ่มตัวอย่างสนามสองมิติคือการสุ่มตัวอย่างที่จุดบนโครงตาข่ายสี่เหลี่ยมผืนผ้าอย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่ทางเลือกที่เหมาะสมที่สุดเสมอไปในแง่ของความหนาแน่นของการสุ่มตัวอย่าง ทฤษฎีบทของ Petersen และ Middleton สามารถใช้เพื่อระบุโครงตาข่ายที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการสุ่มตัวอย่างสนามที่มีเลขคลื่นจำกัดในชุดที่กำหนดตัวอย่างเช่น สามารถแสดงได้ว่าโครงตาข่ายในที่มีความหนาแน่นเชิงพื้นที่ของจุดต่ำสุดที่ยอมรับการสร้างสนามที่มีเลขคลื่นจำกัดในวงกลมในได้อย่างสมบูรณ์แบบคือโครงตาข่ายหกเหลี่ยม^{[ 3 ]}ด้วยเหตุนี้ โครงตาข่ายหกเหลี่ยมจึงเป็นที่นิยมสำหรับการสุ่มตัวอย่างสนามไอโซโทรปิก ใน${\displaystyle \Re ^{n}}$${\displaystyle \Omega \subset \Re ^{d}}$${\displaystyle \Re ^{2}}$${\displaystyle \Re ^{2}}$${\displaystyle \Re ^{2}}$

มีการศึกษาแลตติสการสุ่มตัวอย่างที่เหมาะสมในมิติที่สูงขึ้น^{[ 4 ]}โดยทั่วไป แลตติส การบรรจุทรงกลม ที่เหมาะสม เหมาะอย่างยิ่งสำหรับการสุ่มตัวอย่างกระบวนการสุ่มแบบเรียบ ในขณะที่แลตติสการครอบคลุมทรงกลมที่เหมาะสม^{[ 5 ]}เหมาะอย่างยิ่งสำหรับการสุ่มตัวอย่างกระบวนการสุ่มแบบหยาบ

เนื่องจากแลตติซที่เหมาะสมโดยทั่วไปไม่สามารถแยกออกจากกันได้ การออกแบบตัวกรองการแทรกสอดและ การสร้างใหม่ จึงต้องใช้กลไกการออกแบบตัวกรองที่ไม่ใช่ผลคูณเทนเซอร์ (เช่น ไม่สามารถแยกออกจากกันได้) สปลายกล่องให้กรอบการทำงานที่ยืดหยุ่นสำหรับการออกแบบ ตัวกรอง FIR การสร้างใหม่ที่ไม่สามารถแยกออกจากกันได้ ซึ่งสามารถปรับแต่งทางเรขาคณิตสำหรับแต่ละแลตติซได้^{[ 6 ] [ 7 ]}สปลายหกเหลี่ยม^{[ 8 ]}เป็นการวางนัยทั่วไปของสปลาย Bสำหรับแลตติซหกเหลี่ยม 2 มิติ ในทำนองเดียวกัน ใน 3 มิติและมิติที่สูงกว่า สปลายโวโรนอย^{[ 9 ]}ให้การวางนัยทั่วไปของสปลาย Bที่สามารถใช้ในการออกแบบตัวกรอง FIR ที่ไม่สามารถแยกออกจากกันได้ ซึ่งปรับแต่งทางเรขาคณิตสำหรับแลตติซใดๆ รวมถึงแลตติซที่เหมาะสมด้วย

การสร้างตัวกรองความถี่ต่ำในอุดมคติ (เช่น ฟังก์ชัน sinc ) ที่ได้รับการขยายไปสู่แลตทิซที่เหมาะสมที่สุดนั้นเป็นไปได้โดยการศึกษาคุณสมบัติทางเรขาคณิตของโซน Brillouin (เช่นข้างต้น) ของแลตทิซเหล่านี้ (ซึ่งเป็นโซโนโทป ) ^{[ 10 ]}แนวทางนี้ให้การแสดงแบบปิดที่ชัดเจนสำหรับแลตทิซทั่วไป รวมถึงแลตทิซการสุ่มตัวอย่างที่เหมาะสมที่สุด การสร้างนี้ให้การขยายของตัวกรอง Lanczosใน 1 มิติไปสู่การตั้งค่าหลายมิติสำหรับแลตทิซที่เหมาะสมที่สุด^{[ 10 ]}${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\check {\chi }}_{\Omega }(\cdot )}$

ทฤษฎีบท Petersen–Middleton มีประโยชน์ในการออกแบบกลยุทธ์การวางตำแหน่งเซ็นเซอร์ที่มีประสิทธิภาพในแอปพลิเคชันที่เกี่ยวข้องกับการวัดปรากฏการณ์เชิงพื้นที่ เช่น การสำรวจแผ่นดินไหว การตรวจสอบสภาพแวดล้อม และการวัดสนามเสียงเชิงพื้นที่^{[ 11 ]}