การทดสอบมัลติโนเมียลเป็นการทดสอบทางสถิติของสมมติฐานว่างที่ว่าพารามิเตอร์ของการแจกแจงมัลติโนเมียลเท่ากับค่าที่กำหนด ใช้สำหรับข้อมูลเชิงหมวดหมู่^{[ 1 ]}

เริ่มต้นด้วยตัวอย่างของ${\displaystyle ~N~}$ซึ่งแต่ละรายการได้รับการสังเกตว่าจัดอยู่ในประเภทใดประเภทหนึ่งดังต่อไปนี้${\displaystyle k}$หมวดหมู่ สามารถกำหนดได้${\displaystyle ~\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})~}$เนื่องจากจำนวนรายการที่สังเกตได้ในแต่ละช่อง ดังนั้น${\displaystyle ~\sum _{i=1}^{k}x_{i}=N~.}$

ถัดไปคือการกำหนดเวกเตอร์ของพารามิเตอร์${\displaystyle ~H_{0}:{\boldสัญลักษณ์ {\pi }}=(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{k})~,}$ที่ไหน: ${\displaystyle ~\sum _{i=1}^{k}\pi _{i}=1~.}$ นี่คือค่าพารามิเตอร์ภายใต้สมมติฐานว่าง

ความน่าจะเป็นที่แน่นอนของการจัดเรียงที่สังเกตได้${\displaystyle ~\mathbf {x} ~}$ภายใต้สมมติฐานว่าง จะได้จาก

${\displaystyle ~\operatorname {\mathbb {P} } \left(\mathbf {x} \right)_{0}=N!\,\prod _{i=1}^{k}{\frac {\pi _{i}^{x_{i}}}{x_{i}!}}~.}$

ความน่าจะเป็นที่มีนัยสำคัญสำหรับการทดสอบ คือ ความน่าจะเป็นของการเกิดชุดข้อมูลที่สังเกตได้ หรือชุดข้อมูลที่มีโอกาสเกิดขึ้นน้อยกว่าชุดข้อมูลที่สังเกตได้ หากสมมติฐานว่างเป็นจริง โดยใช้การทดสอบแบบแม่นยำจะคำนวณได้ดังนี้

${\displaystyle ~p_{\mathcal {[sig]}}=\sum _{\mathbf {y} \,:\;\operatorname {\mathbb {P} } \left(\mathbf {y} \right)\,\leq \,\operatorname {\mathbb {P} } \left(\mathbf {x} \right)_{0}}\operatorname {\mathbb {P} } \left(\mathbf {y} \right)~}$

โดยผลรวมจะครอบคลุมผลลัพธ์ทั้งหมดที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากันหรือน้อยกว่าที่สังเกตได้ ในทางปฏิบัติ วิธีนี้จะใช้ทรัพยากรการคำนวณมาก${\displaystyle ~k~}$และ${\displaystyle ~N~}$เนื่องจากจำนวนตัวอย่างเพิ่มขึ้น จึงอาจคุ้มค่าที่จะใช้การทดสอบที่แม่นยำเฉพาะกับตัวอย่างขนาดเล็กเท่านั้น สำหรับตัวอย่างขนาดใหญ่ การประมาณค่าแบบเชิงเส้นกำกับมีความแม่นยำเพียงพอและคำนวณได้ง่ายกว่า

หนึ่งในวิธีการประมาณค่าเหล่านี้คืออัตราส่วนความน่าจะเป็น สามารถกำหนดสมมติฐานทางเลือกได้ภายใต้แต่ละค่า${\displaystyle ~\pi _{i}~}$ถูกแทนที่ด้วยค่าประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด${\displaystyle ~p_{i}={\frac {\;x_{i}\,}{N}}~.}$ความน่าจะเป็นที่แน่นอนของการจัดเรียงที่สังเกตได้${\displaystyle ~\mathbf {x} ~}$ภายใต้สมมติฐานทางเลือกนั้นกำหนดโดย

${\displaystyle ~\operatorname {\mathbb {P} } \left(\mathbf {x} \right)_{A}=N!\;\prod _{i=1}^{k}{\frac {\;p_{i}^{x_{i}}\,}{x_{i}!}}~.}$

ลอการิทึมธรรมชาติของอัตราส่วนความน่าจะเป็น${\displaystyle ~[{\mathcal {LR}}]~,}$ระหว่างความน่าจะเป็นทั้งสองนี้ คูณด้วย${\displaystyle ~-2~,}$ดังนั้น ค่าสถิติสำหรับการทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นจึงเป็นค่าดังกล่าว

${\displaystyle ~-2\ln([{\mathcal {LR}}])=-2\;\sum _{i=1}^{k}x_{i}\ln \left({\frac {\pi _{i}}{p_{i}}}\right)~.}$

(ปัจจัย)${\displaystyle ~-2~}$(เลือกใช้เพื่อให้ค่าสถิติมีการแจกแจงแบบไคกำลังสองเชิงอะซิมโทติก เพื่อความสะดวกในการเปรียบเทียบกับค่าสถิติที่คุ้นเคยซึ่งใช้กันทั่วไปในแอปพลิเคชันเดียวกัน)

ถ้าสมมติฐานว่างเป็นจริงแล้วดังนี้${\displaystyle ~N~}$เพิ่มขึ้น การกระจายตัวของ${\displaystyle ~-2\ln([{\mathcal {LR}}])~}$ลู่เข้าสู่ค่าไคกำลังสองด้วย${\displaystyle ~k-1~}$ระดับความเป็นอิสระ อย่างไรก็ตาม เป็นที่ทราบกันมานานแล้ว (เช่น Lawley ^{[ 2 ]} ) ว่าสำหรับขนาดตัวอย่างที่จำกัด โมเมนต์ของ${\displaystyle ~-2\ln([{\mathcal {LR}}])~}$ค่าเหล่านี้มีค่ามากกว่าค่าไคกำลังสอง ซึ่งทำให้ความน่าจะเป็นของ ข้อผิดพลาด ประเภท ที่ 1 (ผลบวกเท็จ) เพิ่มสูงขึ้น ความแตกต่างระหว่างโมเมนต์ของไคกำลังสองและโมเมนต์ของสถิติการทดสอบเป็นฟังก์ชันของ${\displaystyle ~N^{-1}~.}$วิลเลียมส์^{[ 3 ]}แสดงให้เห็นว่าช่วงเวลาแรกสามารถจับคู่ได้ไกลถึง${\displaystyle ~N^{-2}~}$ถ้าค่าสถิติการทดสอบถูกหารด้วยตัวประกอบที่กำหนดโดย

${\displaystyle ~q_{1}=1+{\frac {\;\sum _{i=1}^{k}\pi _{i}^{-1}\,-\,1\;}{6N(k-1)}}~.}$

ในกรณีพิเศษที่สมมติฐานว่างคือค่าทั้งหมด${\displaystyle \pi _{i}}$เท่ากับ${\displaystyle ~1/k~}$(กล่าวคือ กำหนดให้มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ) ซึ่งทำให้ง่ายขึ้นเป็น

${\displaystyle ~q_{1}=1+{\frac {\,k+1\,}{\,6N\,}}~.}$

ต่อมา Smith et al . ^{[ 4 ]}ได้กำหนดปัจจัยการหารที่ตรงกับโมเมนต์แรกเท่าที่${\displaystyle ~N^{-3}~.}$ในกรณีที่ค่าของ เท่ากัน${\displaystyle ~\pi _{i}~,}$ปัจจัยนี้คือ

${\displaystyle ~q_{2}=1+{\frac {\,k+1\,}{\,6N\,}}+{\frac {\;k^{2}\,}{\;6N^{2}\,}}~.}$

สมมติฐานว่างสามารถทดสอบได้โดยใช้การทดสอบไคกำลังสองของเพียร์สัน

${\displaystyle ~\chi ^{2}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\;(x_{i}-E_{i})^{2}\,}{E_{i}}}~}$

ที่ไหน${\displaystyle ~E_{i}=N\pi _{i}~}$คือจำนวนเคสที่คาดการณ์ไว้ในหมวดหมู่${\displaystyle ~i~}$ภายใต้สมมติฐานว่าง สถิตินี้ยังลู่เข้าสู่การแจกแจงไคกำลังสองด้วย${\displaystyle ~k-1~}$ระดับความเป็นอิสระเมื่อสมมติฐานว่างเป็นจริง แต่เป็นจริงจากด้านล่าง แทนที่จะมาจากด้านบน${\displaystyle ~-2\ln([{\mathcal {LR}}])~}$ดังนั้นจึงอาจดีกว่าเวอร์ชันที่ยังไม่ได้แก้ไขของ${\displaystyle ~-2\ln([{\mathcal {LR}}])~}$สำหรับตัวอย่างขนาดเล็ก