ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันแกมมาหลายตัว (multiple gamma function) เป็นการขยายความของฟังก์ชันแกมมาของออยเลอร์ (Euler gamma function)และ ฟังก์ชันจีของ บาร์นส์ (Barnes G-function ) ฟังก์ชันแกมมาสองตัว (double gamma function) ได้รับการศึกษาโดยบาร์นส์ (Barnes, 1901)ในตอนท้ายของบทความนี้ เขาได้กล่าวถึงการมีอยู่ของฟังก์ชันแกมมาหลายตัวซึ่งเป็นการขยายความของฟังก์ชันแกมมาสองตัว และได้ศึกษาฟังก์ชันเหล่านี้เพิ่มเติมในบทความของบาร์นส์ (Barnes, 1904 ) ${\displaystyle \Gamma _{N}}$

ฟังก์ชันแกมมาคู่มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับฟังก์ชัน q-แกมมาและฟังก์ชันแกมมาสามเท่ามีความสัมพันธ์กับฟังก์ชันแกมมาเชิงวงรี ${\displaystyle \Gamma _{2}}$${\displaystyle \Gamma _{3}}$

สำหรับให้ ${\displaystyle \Re a_{i}>0}$

${\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})=\exp \left(\left.{\frac {\partial }{\partial s}}\zeta _{N}(s,w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})\right|_{s=0}\right)\ ,}$

ฟังก์ชันซีตาของบาร์นส์อยู่ที่ไหน(ซึ่งแตกต่างจากนิยามดั้งเดิมของบาร์นส์ด้วยค่าคงที่) ${\displaystyle \zeta _{N}}$

เมื่อพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกของจะไม่มีศูนย์ มีขั้วที่สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบขั้วเหล่านี้เป็นขั้วเดี่ยว เว้นแต่ว่าบางส่วนจะทับซ้อนกัน เมื่อคูณด้วยเลขชี้กำลังของพหุนามจะเป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกอันดับจำกัดเพียงฟังก์ชันเดียวที่มีศูนย์และขั้วเหล่า นี้${\displaystyle w}$${\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})}$${\displaystyle w=-\sum _{i=1}^{N}n_{i}a_{i}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})}$

• ${\displaystyle \Gamma _{0}(w\mid )={\frac {1}{w}}\ ,}$
• ${\displaystyle \Gamma _{1}(w\mid a)={\frac {a^{a^{-1}w-{\frac {1}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\Gamma \left(a^{-1}w\right)\ ,}$
• ${\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})=\Gamma _{N-1}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N-1})\Gamma _{N}(w+a_{N}\mid a_{1},\ldots ,a_{N})\ .}$

ในกรณีของฟังก์ชันแกมมาคู่ พฤติกรรมเชิงอะซิมโทติกสำหรับเป็นที่ทราบ และปัจจัยนำคือ^{[ 1 ]}${\displaystyle w\to \infty }$

${\displaystyle \Gamma _{2}(w|a_{1},a_{2})\ {\underset {w\to \infty }{\sim }}\ w^{\frac {w^{2}}{2a_{1}a_{2}}}\quad {\text{สำหรับ}}\quad \left\{{\begin{array}{l}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\in \mathbb {C} \backslash (-\infty ,0]\ ,\\w\in \mathbb {C} \backslash \left(\mathbb {R} _{+}a_{1}+\mathbb {R} _{+}a_{2}\right)\ .\end{array}}\right.}$

ฟังก์ชันแกมมาหลายตัวมี การแสดง ผลคูณอนันต์ที่ทำให้เห็นได้อย่างชัดเจนว่าเป็นเมโรเมอร์ฟิก และยังทำให้เห็นตำแหน่งของขั้วของมันด้วย ในกรณีของฟังก์ชันแกมมาคู่ การแสดงผลนี้คือ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \Gamma _{2}(w\mid a_{1},a_{2})={\frac {e^{\lambda _{1}w+\lambda _{2}w^{2}}}{w}}\prod _{\begin{array}{c}(n_{1},n_{2})\in \mathbb {N} ^{2}\\(n_{1},n_{2})\neq (0,0)\end{array}}{\frac {e^{{\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {w^{2}}{(n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2})^{2}}}}}{1+{\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}}}\ ,}$

โดยที่เรากำหนดสัมประสิทธิ์ที่ไม่ขึ้นกับตัวแปร ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \lambda _{1}=-{\underset {s=1}{\operatorname {Res} _{0}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})\ ,}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {1}{2}}{\underset {s=2}{\operatorname {Res} _{0}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})+{\frac {1}{2}}{\underset {s=2}{\operatorname {Res} _{1}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})\ ,}$

โดยที่คือเศษเหลือลำดับที่ที่ ${\displaystyle {\underset {s=s_{0}}{\operatorname {Res} _{n}}}f(s)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{s_{0}}(s-s_{0})^{n-1}f(s)\,ds}$${\displaystyle n}$${\displaystyle s_{0}}$

การนำเสนออีกรูปแบบหนึ่งเป็นผลคูณนำไปสู่อัลกอริธึมสำหรับการคำนวณฟังก์ชันแกมมาคู่แบบตัวเลข^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbb {N} }$

ฟังก์ชันแกมมาคู่ที่มีพารามิเตอร์เป็นไปตามความสัมพันธ์^{[ 2 ]}${\displaystyle 1,1}$

${\displaystyle \Gamma _{2}(w+1|1,1)={\frac {\sqrt {2\pi }}{\Gamma (w)}}\Gamma _{2}(w|1,1)\quad ,\quad \Gamma _{2}(1|1,1)={\sqrt {2\pi }}\ .}$

มันเกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน G ของ Barnesโดย

${\displaystyle \Gamma _{2}(w|\alpha ,\alpha )=(2\pi )^{\frac {w}{2\alpha }}\alpha ^{-{\frac {w^{2}}{2\alpha ^{2}}}+{\frac {w}{\alpha }}-1}G(w/\alpha )^{-1}\ .}$

สำหรับและฟังก์ชัน ${\displaystyle \Re b>0}$${\displaystyle Q=b+b^{-1}}$

${\displaystyle \Gamma _{b}(w)={\frac {\Gamma _{2}(w\mid b,b^{-1})}{\Gamma _{2}\left({\frac {Q}{2}}\mid b,b^{-1}\right)}}\ ,}$

ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้และเป็นไปตามความสัมพันธ์ ${\displaystyle b\to b^{-1}}$

${\displaystyle \Gamma _{b}(w+b)={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{bw-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (bw)}}\Gamma _{b}(w)\quad ,\quad \Gamma _{b}(w+b^{-1})={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{-b^{-1}w+{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (b^{-1}w)}}\Gamma _{b}(w)\ .}$

นอกจากนี้ยังปฏิบัติตามสูตรการคูณด้วย^{[ 3 ]}

${\displaystyle \Gamma _{b}(w)=\lambda _{m,n,b}(mn)^{{\frac {1}{4}}w(b+b^{-1}-w)}\prod _{r=0}^{m-1}\prod _{s=0}^{n-1}\Gamma _{b{\sqrt {\frac {m}{n}}}}\left({\frac {w+rb+sb^{-1}}{\sqrt {mn}}}\right)}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กรณีนี้เป็นสูตรการทำซ้ำ ${\displaystyle m=n=2}$

${\displaystyle \Gamma _{b}(2w)=\lambda _{b}2^{w(b+b^{-1}-2w)}\Gamma _{b}(w)\Gamma _{b}(w+{\tfrac {b}{2}})\Gamma _{b}(w+{\tfrac {1}{2b}})\Gamma _{b}(w+{\tfrac {b}{2}}+{\tfrac {1}{2b}})}$

สำหรับมีการแสดงแบบอินทิกรัล^{[ 3 ]}${\displaystyle \Re w>0}$

${\displaystyle \log \Gamma _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {e^{-wt}-e^{-{\frac {Q}{2}}t}}{(1-e^{-bt})(1-e^{-b^{-1}t})}}-{\frac {\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {{\frac {Q}{2}}-w}{t}}\right]\ .}$

จากฟังก์ชันเรากำหนดฟังก์ชันไซน์คู่และฟังก์ชันอัปซิลอนโดย ${\displaystyle \Gamma _{b}(w)}$${\displaystyle S_{b}(w)}$${\displaystyle \Upsilon _{b}(w)}$

${\displaystyle S_{b}(w)={\frac {\Gamma _{b}(w)}{\Gamma _{b}(Q-w)}}\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w)={\frac {1}{\Gamma _{b}(w)\Gamma _{b}(Q-w)}}\ .}$

ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นไปตามความสัมพันธ์

${\displaystyle S_{b}(w+b)=2\sin(\pi bw)S_{b}(w)\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w+b)={\frac {\Gamma (bw)}{\Gamma (1-bw)}}b^{1-2bw}\Upsilon _{b}(w)\ ,}$

รวมถึงความสัมพันธ์ที่ได้มาจาก. เนื่องจากพวกมันมีการแสดงผลแบบอินทิกรัล ${\displaystyle b\to b^{-1}}$${\displaystyle 0<\Re w<\Re Q}$

${\displaystyle \log S_{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {\sinh \left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{2\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}-{\frac {Q-2w}{t}}\right]\ ,}$

${\displaystyle \log \Upsilon _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}e^{-t}-{\frac {\sinh ^{2}{\frac {1}{2}}\left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}\right]\ .}$

ฟังก์ชันและปรากฏในฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอลสองมิติโดยพารามิเตอร์เกี่ยวข้องกับประจุกลางของพีชคณิต Virasoroพื้นฐาน^{[ 4 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันสามจุดของทฤษฎี Liouvilleเขียน ขึ้นในรูปของฟังก์ชัน${\displaystyle \Gamma _{b},S_{b}}$${\displaystyle \Upsilon _{b}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \Upsilon _{b}}$

• Barnes, EW (1899), "The Genesis of the Double Gamma Functions" , Proc. London Math. Soc. , s1-31: 358– 381, doi : 10.1112/plms/s1-31.1.358
• Barnes, EW (1899), "ทฤษฎีของฟังก์ชันแกมมาคู่", Proceedings of the Royal Society of London , 66 ( 424– 433): 265– 268, doi : 10.1098/rspl.1899.0101 , ISSN  0370-1662 , JSTOR  116064 , S2CID  186213903
• Barnes, EW (1901), "ทฤษฎีของฟังก์ชันแกมมาคู่", วารสารปรัชญาของราชสมาคมแห่งลอนดอน ชุด A ซึ่งประกอบด้วยบทความเกี่ยวกับคณิตศาสตร์หรือฟิสิกส์ 196 ( 274– 286): 265– 387 , รหัสบรรณานุกรม : 1901RSPTA.196..265B , doi : 10.1098/rsta.1901.0006 , ISSN  0264-3952 , JSTOR  90809
• Barnes, EW (1904), "เกี่ยวกับทฤษฎีของฟังก์ชันแกมมาหลายตัว", Trans. Camb. Philos. Soc. , 19 : 374– 425
• ฟรีดแมน, เอดูอาร์โด้; Ruijsenaars, Simon (2004), "Shintani–Barnes zeta and gamma functions", Advances in Mathematics , 187 (2): 362– 395, doi : 10.1016/j.aim.2003.07.020 , ISSN  0001-8708 , MR  2078341
• Ruijsenaars, SNM (2000), "On Barnes' multiple zeta and gamma function" , Advances in Mathematics , 156 (1): 107– 132, doi : 10.1006/aima.2000.1946 , ISSN  0001-8708 , MR  1800255