ฟังก์ชันกรีนแบบหลายสเกล (MSGF) เป็นเวอร์ชันทั่วไปและขยายของ เทคนิค ฟังก์ชันกรีน (GF) แบบคลาสสิก ^{[ 1 ]}สำหรับการแก้สมการทางคณิตศาสตร์ การประยุกต์ใช้หลักของเทคนิค MSGF คือการสร้างแบบจำลองของ วัสดุนาโน^{[ 2 ]}วัสดุเหล่านี้มีขนาดเล็กมาก – มีขนาดเพียงไม่กี่นาโนเมตรการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัสดุนาโนต้องใช้เทคนิคพิเศษและได้รับการยอมรับว่าเป็นสาขาวิทยาศาสตร์อิสระ^{[ 3 ]} จำเป็นต้องมีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่อคำนวณการกระจัดของอะตอมในผลึกเพื่อตอบสนองต่อแรงคงที่หรือแรงที่ขึ้นอยู่กับเวลาที่ใช้ เพื่อศึกษาคุณสมบัติทางกลและทางกายภาพของวัสดุนาโน ข้อกำหนดเฉพาะอย่างหนึ่งของแบบจำลองสำหรับวัสดุนาโนคือแบบจำลองต้องเป็นแบบหลายสเกลและให้การเชื่อมโยงที่ราบรื่นของมาตราส่วนความยาวที่แตกต่างกัน^{[ 4 ]}

ฟังก์ชันของกรีน (GF) เดิมทีได้รับการคิดค้นโดยนักฟิสิกส์คณิตศาสตร์ชาวอังกฤษจอร์จ กรีนในปี ค.ศ. 1828 ในฐานะเทคนิคทั่วไปสำหรับการแก้สมการตัวดำเนินการ^{[ 1 ]} มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในฟิสิกส์ คณิตศาสตร์ ในช่วงเกือบสองร้อยปีที่ผ่านมาและนำไปประยุกต์ใช้ในหลากหลายสาขา^{[ 1 ] [ 5 ]} บทวิจารณ์เกี่ยวกับการประยุกต์ใช้ GF บางอย่าง เช่น ทฤษฎีหลายอนุภาคและสมการลาปลาสมีอยู่ในวิกิพีเดีย เทคนิคที่ใช้ GF ถูกนำมาใช้ในการสร้างแบบจำลองกระบวนการทางกายภาพต่างๆ ในวัสดุ เช่นโฟนอน [ ^{6 ] โครงสร้าง}แถบอิเล็กตรอน^{[ 7 ]}และอิลาสโตสแตติกส์^{[ 5 ]}

วิธี MSGF เป็นเทคนิค GF ที่ค่อนข้างใหม่สำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัสดุนาโน แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ใช้ในการคำนวณการตอบสนองของวัสดุต่อแรงที่ใช้เพื่อจำลองคุณสมบัติทางกลของวัสดุ เทคนิค MSGF เชื่อมโยงมาตราส่วนความยาวที่แตกต่างกันในการสร้างแบบจำลองของวัสดุนาโน^{[ 2 ] [ 8 ]} วัสดุนาโนมีมิติระดับอะตอมและจำเป็นต้องสร้างแบบจำลองที่มาตราส่วนความยาวระดับนาโนเมตร ตัวอย่างเช่นลวดนาโน ซิลิคอน ซึ่งมีความกว้างประมาณห้านาโนเมตร ประกอบด้วยอะตอมเพียง 10 – 12 อะตอมตามความกว้าง อีกตัวอย่างหนึ่งคือกราฟีน^{[ 9 ]}และของแข็งสองมิติ (2D) ใหม่ๆ อีกมากมาย^{[ 10 ]}วัสดุใหม่เหล่านี้มีความบางที่สุดเนื่องจากมีความหนาเพียงหนึ่งหรือสองอะตอมเท่านั้นการสร้างแบบจำลองหลายมาตราส่วนมีความจำเป็นสำหรับวัสดุดังกล่าว เนื่องจากคุณสมบัติของวัสดุเหล่านี้ถูกกำหนดโดยความไม่ต่อเนื่องของการจัดเรียงอะตอม รวมถึงมิติโดยรวมของวัสดุด้วย^{[ 2 ] [ 4 ]}

วิธีการ MSGF เป็นแบบหลายสเกลในแง่ที่ว่ามันเชื่อมโยงการตอบสนองของวัสดุต่อแรงที่กระทำในระดับอะตอมกับการตอบสนองในระดับมหภาค การตอบสนองของวัสดุในระดับมหภาคคำนวณโดยใช้แบบจำลองต่อเนื่องของของแข็ง ในแบบจำลองต่อเนื่อง โครงสร้างอะตอมที่ไม่ต่อเนื่องของของแข็งจะถูกหาค่าเฉลี่ยออกมาเป็นแบบต่อเนื่อง คุณสมบัติของวัสดุนาโนมีความไวต่อโครงสร้างอะตอมของมัน เช่นเดียวกับมิติโดยรวมของมัน นอกจากนี้ยังมีความไวต่อโครงสร้างมหภาคของวัสดุหลักที่มันฝังอยู่ด้วย วิธีการ MSGF ใช้ในการจำลองระบบผสมดังกล่าว

วิธี MSGF ยังใช้สำหรับการวิเคราะห์พฤติกรรมของผลึกที่มีข้อบกพร่องของโครงสร้างผลึก เช่น ช่องว่าง อะตอมแทรก หรืออะตอมแปลกปลอม การศึกษาข้อบกพร่องของโครงสร้างผลึกเหล่านี้มีความสำคัญเนื่องจากมีบทบาทในเทคโนโลยีวัสดุ^{[ 11 ] [ 12 ]} การมีข้อบกพร่องในโครงสร้างผลึกจะทำให้อะตอมหลักเคลื่อนที่ออกจากตำแหน่งเดิมหรือโครงสร้างผลึกจะบิดเบี้ยว ดังแสดงในรูปที่ 1 สำหรับโครงสร้างผลึก 1 มิติเป็นตัวอย่าง จำเป็นต้องใช้แบบจำลองระดับอะตอมเพื่อคำนวณการบิดเบี้ยวใกล้กับข้อบกพร่อง^{[ 13 ] [ 14 ]}ในขณะที่แบบจำลองต่อเนื่องใช้ในการคำนวณการบิดเบี้ยวที่อยู่ไกลจากข้อบกพร่อง MSGF เชื่อมโยงสองระดับนี้เข้าด้วยกันอย่างราบรื่น

แบบจำลอง MSGF ของวัสดุนาโนคำนึงถึงอนุภาคหลายอนุภาคและหลายระดับในวัสดุ^{[ 8 ]}เป็นส่วนขยายของวิธีการฟังก์ชันกรีนสถิตแลตติส (LSGF) ซึ่งเดิมทีได้รับการกำหนดสูตรขึ้นที่สถาบันวิจัยพลังงานปรมาณูฮาร์เวลล์ในสหราชอาณาจักรในปี 1973 ^{[ 11 ] [ 15 ]} ในเอกสารทางวิชาการยังเรียกวิธีการนี้ว่าวิธีการฮาร์เวลล์หรือวิธีการเทวารี^{[ 16 ] [ 17 ]} วิธีการ LSGF เสริม วิธี การพลศาสตร์โมเลกุล^{[ 18 ]} (MD) สำหรับการสร้างแบบจำลองระบบหลายอนุภาค วิธีการ LSGF ขึ้นอยู่กับการใช้แบบจำลองบอร์น-ฟอน-คาร์แมน (BvK) ^{[ 6 ] [ 19 ]} และสามารถนำไปใช้กับโครงสร้างแลตติสและข้อบกพร่องที่แตกต่างกันได้^{[ 11 ] [ 17 ] [ 20 ]}วิธี MSGF เป็นเวอร์ชันขยายของวิธี LSGF และถูกนำไปใช้กับวัสดุนาโนและวัสดุ 2 มิติหลายชนิด^{[ 2 ]}

ในระดับอะตอม ผลึกหรือของแข็งผลึกจะถูกแทนด้วยกลุ่มของอะตอมที่มีปฏิสัมพันธ์กันซึ่งตั้งอยู่ที่ไซต์แยกกันบน โครง ตาข่ายเรขาคณิต^{[ 19 ]}ผลึกที่สมบูรณ์แบบประกอบด้วยโครงตาข่ายเรขาคณิตที่สม่ำเสมอและเป็นคาบ โครงตาข่ายที่สมบูรณ์แบบมีสมมาตรการเลื่อน ซึ่งหมายความว่าเซลล์หน่วยทั้งหมดเหมือนกัน ในโครงตาข่ายที่เป็นคาบที่สมบูรณ์แบบ ซึ่งถือว่าไม่มีที่สิ้นสุด อะตอมทั้งหมดจะเหมือนกัน ที่สมดุล อะตอมแต่ละตัวจะถือว่าตั้งอยู่ที่ไซต์โครงตาข่ายของมัน แรงที่อะตอมใดๆ เนื่องมาจากอะตอมอื่นๆ จะหักล้างกัน ดังนั้นแรงสุทธิที่อะตอมแต่ละตัวจึงเป็นศูนย์ เงื่อนไขเหล่านี้จะพังทลายลงในโครงตาข่ายที่บิดเบี้ยว ซึ่งอะตอมจะถูกเคลื่อนย้ายออกจากตำแหน่งสมดุล^{[ 15 ]} การบิดเบี้ยวของโครงตาข่ายอาจเกิดจากแรงที่กระทำจากภายนอก โครงสร้างผลึกอาจบิดเบี้ยวได้โดยการสร้างข้อบกพร่องในโครงสร้างผลึกหรือการเคลื่อนที่ของอะตอมที่รบกวนการจัดเรียงตัวในสภาวะสมดุลและเหนี่ยวนำให้เกิดแรงกระทำต่อตำแหน่งในโครงสร้างผลึก ดังแสดงในรูปที่ 1 วัตถุประสงค์ของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือการคำนวณค่าการเคลื่อนที่ของอะตอมที่เกิดขึ้น

GF ในวิธี MSGF คำนวณโดยการลดพลังงานรวมของแลตติสให้เหลือน้อยที่สุด^{[ 15 ]}พลังงานศักย์ของแลตติสในรูปแบบของอนุกรมเทย์เลอร์อนันต์ในการกระจัดของอะตอมในการประมาณแบบฮาร์มอนิกดังต่อไปนี้

${\displaystyle W=-\sum _{L,a}f_{a}(L)u_{a}(L)+{\frac {1}{2}}\sum _{L,a}\sum _{L',b}K_{ab}(L,L')u_{a}(L)u_{b}(L')\qquad \qquad (1)}$

โดยที่LและL ′ ระบุอะตอม, aและbแทนพิกัดคาร์ทีเซียน, uแทนการกระจัดของอะตอม และ − fและKคือสัมประสิทธิ์แรกและที่สองในอนุกรมเทย์เลอร์พวกมันถูกกำหนดโดย^{[ 1 ]}

${\displaystyle f_{a}(L)=-{\frac {\partial W}{\partial u_{a}(L)}},\qquad \qquad (2)}$

และ

${\displaystyle K_{ab}(L,L')={\frac {\partial ^{2}W}{\partial u_{a}(L)\,\partial u_{b}(L')}},\qquad \qquad (3)}$

โดยที่อนุพันธ์จะถูกประเมินที่การกระจัดเป็นศูนย์ เครื่องหมายลบถูกนำมาใช้ในนิยามของfเพื่อความสะดวก ดังนั้นf ( L ) คือเวกเตอร์ 3 มิติที่แสดงถึงแรงที่อะตอม L ส่วนประกอบคาร์ทีเซียนทั้งสามของมันแสดงด้วย f (L) โดยที่a = x , yหรือzในทำนองเดียวกันK (L,L') คือเมทริกซ์ 3x3 ซึ่งเรียกว่าเมทริกซ์ค่าคงที่แรงระหว่างอะตอมที่ L และ L' องค์ประกอบ ทั้ง 9 ของ มันแสดงด้วยK ( L , L ') สำหรับa , b = x , yหรือz

ที่สภาวะสมดุล พลังงาน W จะมีค่าต่ำสุด^{[ 8 ]} ดังนั้น อนุพันธ์อันดับแรกของ W เทียบกับu แต่ละตัว จะต้องเป็นศูนย์ ซึ่งให้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้จากสมการ (1)

${\displaystyle \sum _{L',b}K_{ab}(L,L')u_{b}(L')=f_{a}(L).\qquad \qquad (4)}$

สามารถแสดงได้โดยการแทนค่าโดยตรงว่าคำตอบของสมการ (4) สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle u_{a}(L)=\sum _{L',b}G_{ab}(L,L')f_{b}(L')\qquad \qquad (5)}$

โดยที่Gถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์ผกผันต่อไปนี้

${\displaystyle \sum _{L'',b''}K_{ab''}(L,L'')G_{b''b}(L'',L')=\delta (a,b)\delta (L,L').\qquad \qquad (6)}$

ในสมการ (6) δ ( m , n ) คือฟังก์ชันเดลต้าแบบไม่ต่อเนื่องของตัวแปรไม่ต่อเนื่องสองตัว m และ  nคล้ายกับกรณีของฟังก์ชันเดลต้าของ Diracสำหรับตัวแปรต่อเนื่อง โดยกำหนดให้เป็น 1 ถ้าm  =  nและ 0 ในกรณีอื่น^{[ 6 ]}

สมการ (4)–(6) สามารถเขียนในรูปแบบเมทริกซ์ได้ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}Ku&=f&&(7)\\u&=Gf&&(8)\\{\text{and }}G&=K^{-1}&&(9)\end{aligned}}}$

เมทริกซ์KและGในสมการข้างต้นเป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาด 3 N  × 3 Nและuและfเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ขนาด 3 Nมิติ โดยที่ N คือจำนวนอะตอมทั้งหมดในแลตทิซ เมทริกซ์Gคือ GF แบบหลายอนุภาคและเรียกว่าฟังก์ชันกรีนสถิตของแลตทิซ (LSGF) ^{[ 15 ]}หาก ทราบ Gแล้ว สามารถคำนวณการกระจัดของอะตอมทั้งหมดได้โดยใช้สมการ (8)

หนึ่งในวัตถุประสงค์หลักของการสร้างแบบจำลองคือการคำนวณการกระจัดของอะตอมuที่เกิดจากแรงที่ใช้f ^{[ 21 ]}โดยหลักการแล้ว การกระจัดจะกำหนดโดยสมการ (8) อย่างไรก็ตาม เกี่ยวข้องกับการผกผันของเมทริกซ์Kซึ่งมีขนาด 3N x 3N สำหรับการคำนวณใดๆ ที่มีความสำคัญในทางปฏิบัติ N ~ 10,000 แต่ควรเป็นหนึ่งล้านสำหรับการจำลองที่สมจริงยิ่งขึ้น การผกผันของเมทริกซ์ขนาดใหญ่เช่นนี้ต้องใช้การคำนวณจำนวนมาก และจำเป็นต้องใช้เทคนิคพิเศษสำหรับการคำนวณ u สำหรับแลตติสแบบคาบปกติ LSGF เป็นหนึ่งในเทคนิคดังกล่าว ประกอบด้วยการคำนวณGในแง่ของการแปลงฟูริเยร์และคล้ายกับการคำนวณโฟนอน GF ^{[ 6 ]}

วิธี LSGF ได้รับการขยายให้ครอบคลุมผลกระทบหลายระดับในวิธี MSGF แล้ว^{[ 8 ]}วิธี MSGF สามารถเชื่อมโยงระดับความยาวได้อย่างราบรื่น คุณสมบัตินี้ถูกนำมาใช้ในการพัฒนาวิธี MSGF แบบไฮบริดที่รวมวิธี GF และ MD เข้าด้วยกัน และถูกนำมาใช้ในการจำลองนาโนอินคลูชันที่ไม่สมมาตร เช่น ควอนตัมดอทในเซมิคอนดักเตอร์^{[ 22 ]}

สำหรับแลตติซที่สมบูรณ์แบบที่ปราศจากข้อบกพร่อง MSGF จะเชื่อมโยงมาตราส่วนอะตอมใน LSGF กับมาตราส่วนมหภาคโดยตรงผ่านแบบจำลองต่อเนื่อง แลตติซที่สมบูรณ์แบบมีสมมาตรการแปลแบบเต็มรูปแบบ ดังนั้นอะตอมทั้งหมดจึงเทียบเท่ากัน ในกรณีนี้สามารถเลือกอะตอมใดก็ได้เป็นจุดกำเนิด และG(L,L')สามารถแสดงได้ด้วยดัชนีเดียว (L'-L) ^{[ 6 ]} ที่กำหนดไว้ดังนี้

${\displaystyle G(L,L')=G(0,L-L')=G(L'-L)\qquad \qquad (10)}$

ขีดจำกัดเชิงอะซิมโทติกของG ( L ) ที่สอดคล้องกับสมการ (10) สำหรับค่าR ( L ) ที่มีค่ามากจะได้รับจาก^{[ 8 ]}

${\displaystyle \lim _{R(L)\to \infty }[G(0,L)]\rightarrow G_{c}(x)+O(1/x^{4})\qquad \qquad (11)}$

โดยที่x = R ( L ) คือเวกเตอร์ตำแหน่งของอะตอมLและG ( x ) คือฟังก์ชันกรีนแบบต่อเนื่อง (CGF) ซึ่งกำหนดขึ้นจากค่าคงที่ความยืดหยุ่นและใช้ในการสร้างแบบจำลองของวัสดุจำนวนมากทั่วไปในระดับมหภาค^{[ 5 ] [ 11 ]}ในสมการ (11) O(1/ x ⁿ ) คือ สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์มาตรฐานสำหรับเทอมที่มีลำดับ 1/ x ⁿและสูงกว่า ขนาดของG ( x ) คือ O(1/ x ² ) ^{[ 21 ]} LSGF G (0, L ) ในสมการนี้จะลดลงอย่างราบรื่นและอัตโนมัติเป็น CGF สำหรับx ที่มีขนาดใหญ่พอ เนื่องจากเทอม O(1/ x ⁴ ) จะค่อยๆ เล็กลงและไม่สำคัญ ซึ่งทำให้มั่นใจได้ถึงการเชื่อมโยงอย่างราบรื่นของมาตราส่วนความยาว อะตอม กับมาตราส่วนต่อเนื่องระดับมหภาค^{[ 8 ]}

สมการ (8) และ (9) พร้อมกับความสัมพันธ์จำกัดที่กำหนดโดยสมการ (11) ก่อให้เกิดสมการพื้นฐานสำหรับ MSGF ^{[ 8 ]} สมการ (9) ให้ LSGF ซึ่งใช้ได้ที่ระดับอะตอม และสมการ (11) เชื่อมโยง LSGF กับ CGF ซึ่งใช้ได้ที่ระดับมหภาคต่อเนื่อง สมการนี้ยังแสดงให้เห็นว่า LSGF ลดลงอย่างราบรื่นเป็น CGF

หากแลตติซมีข้อบกพร่อง สมมาตรการแปลจะถูกทำลาย ดังนั้นจึงไม่สามารถแสดงGในรูปของตัวแปรระยะทางเดียวR ( L ) ได้ ดังนั้นสมการ (10) จึงไม่ถูกต้องอีกต่อไป และความสอดคล้องระหว่าง LSGF และ CGF ซึ่งจำเป็นสำหรับการเชื่อมโยงที่ราบรื่นจะพังทลายลง^{[ 15 ]} ในกรณีดังกล่าว MSGF จะเชื่อมโยงแลตติซและมาตราส่วนต่อเนื่องโดยใช้ขั้นตอนต่อไปนี้: ^{[ 15 ]}

ถ้าp แทนการเปลี่ยนแปลงในเมทริกซ์Kที่เกิดจากข้อบกพร่อง เมทริกซ์ค่าคงที่แรงK*สำหรับโครงสร้างผลึกที่มีข้อบกพร่องจะเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle K^{*}=K-p\qquad \qquad (12)}$

เช่นเดียวกับกรณีของแลตติซที่สมบูรณ์แบบในสมการ (9) GF ของข้อบกพร่องที่สอดคล้องกันจะถูกกำหนดให้เป็น เมทริกซ์ K* แบบเต็มผกผัน การใช้สมการ (12) จะนำไปสู่สมการของ Dyson ต่อไปนี้สำหรับ LSGF ของข้อบกพร่อง: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle G^{*}=G+GpG^{*}\qquad \qquad (13)}$

วิธี MSGF ประกอบด้วยการแก้สมการ (13) สำหรับG*โดยใช้เทคนิคการแบ่งเมทริกซ์หรือการแปลงฟูริเยร์คู่^{[ 6 ]}

เมื่อทราบ G* แล้ว เวกเตอร์การกระจัดจะกำหนดโดยสมการ GF ต่อไปนี้คล้ายกับสมการ (8):

u = G* f (14)

สมการ (14) ให้คำตอบที่ต้องการ นั่นคือ การกระจัดของอะตอมหรือการบิดเบี้ยวของแลตติสที่เกิดจากแรงfอย่างไรก็ตาม สมการนี้ไม่ได้แสดงการเชื่อมโยงระหว่างแลตติสและสเกลหลายระดับของคอนติเนียม เนื่องจากสมการ (10) และ (11) ไม่ถูกต้องสำหรับข้อบกพร่อง LSGF G*การเชื่อมโยงระหว่างแลตติสและแบบจำลองคอนติเนียมในกรณีของแลตติสที่มีข้อบกพร่องนั้นทำได้โดยใช้การแปลงที่แม่นยำซึ่งอธิบายไว้ด้านล่าง^{[ 8 ]}

โดยใช้สมการ (13) สมการ (14) สามารถเขียนในรูปแบบที่เทียบเท่ากันได้อย่างแม่นยำดังต่อไปนี้:

u = Gf + G p G* f . (15)

การใช้สมการ (14) อีกครั้งทางด้านขวามือของสมการ (15) จะได้ว่า

u = G f* (16)

ที่ไหน

f* = f + pu . (17)

โปรดทราบว่าสมการ (17) กำหนดแรงที่มีประสิทธิภาพf*เช่นนั้นสมการ (14) และ (16) จะเทียบเท่ากันอย่างแน่นอน

สมการ (16) แสดงการกระจัดของอะตอม uในรูปของGซึ่งเป็น LSGF ที่สมบูรณ์แบบแม้สำหรับแลตติสที่มีข้อบกพร่อง ผลกระทบของข้อบกพร่องจะรวมอยู่ในf* อย่างแม่นยำ LSGF Gเป็นอิสระจากfหรือf*และลดลงเป็น CGF อย่างราบรื่นและเชิงอะซิมโทติกตามที่กำหนดในสมการ (11) แรงที่มีประสิทธิภาพ f*สามารถกำหนดได้ในการคำนวณแยกต่างหากโดยใช้วิธีการที่เป็นอิสระหากจำเป็น และสามารถใช้สถิตของแลตติสหรือแบบจำลองต่อเนื่องสำหรับGได้ นี่คือพื้นฐานของแบบจำลองไฮบริดที่รวม MSGF และ MD สำหรับการจำลองจุดควอนตัมเจอร์ มาเนียม ในแลตติสซิลิคอน^{[ 22 ]}

สมการ (16) คือสมการหลักของวิธี MSGF ^{[ 2 ] [ 8 ]} มันเป็นแบบหลายสเกลอย่างแท้จริง ส่วนประกอบอะตอมิกแบบไม่ต่อเนื่องทั้งหมดรวมอยู่ในf*ฟังก์ชันกรีน Gสามารถคำนวณได้อย่างอิสระ ซึ่งสามารถเป็นแบบอะตอมิกอย่างสมบูรณ์สำหรับวัสดุนาโน หรือเป็นแบบต่อเนื่องบางส่วนหรือทั้งหมดสำหรับระดับมหภาคเพื่อพิจารณาพื้นผิวและส่วนต่อประสานในระบบวัสดุตามที่ต้องการ^{[ 8 ]}

Tewary, Quardokus และ DelRio ^{[ 23 ]}ได้แนะนำว่าฟังก์ชันของ Green ไม่ใช่เพียงแค่สิ่งประดิษฐ์ทางคณิตศาสตร์ แต่เป็นลักษณะทางกายภาพของของแข็ง ซึ่งสามารถวัดได้โดยใช้กล้องจุลทรรศน์แบบสแกนโพรบ

ข้อเสนอแนะของพวกเขามีพื้นฐานมาจากข้อเท็จจริงที่ว่ากระบวนการวัดใดๆ บนระบบ จำเป็นต้องหาปริมาณการตอบสนองของระบบต่อโพรบภายนอก และฟังก์ชันของกรีนจะให้การตอบสนองทั้งหมดของระบบต่อโพรบที่ใช้^{[ 24 ]}ตัวอย่างเช่น หากเราต้องการวัดคุณลักษณะของสปริง เราจะยึดสปริงไว้ที่ปลายด้านหนึ่งและใช้แรง f หรือ f* ที่ปลายอีกด้านหนึ่ง การวัดการยืดตัว u ของสปริงจะให้ค่าของฟังก์ชันของกรีนของสปริงโดยใช้สมการ 14 หรือ 16 ในตัวอย่างนี้ แรงที่ใช้คือโพรบ และการยืดตัวของสปริงคือการตอบสนองต่อโพรบ หากมีค่าที่วัดได้ของฟังก์ชันของกรีนของของแข็ง จะสามารถระบุลักษณะการตอบสนองของของแข็งได้อย่างแม่นยำสำหรับการใช้งานทางวิศวกรรม ด้วยเหตุนี้ ฟังก์ชันของกรีนจึงเรียกว่าฟังก์ชันการตอบสนองด้วย

การประยุกต์ใช้ที่สำคัญของวิธี MSGF คือการสร้างแบบจำลองกระบวนการชั่วคราว (ขึ้นอยู่กับเวลา) ในของแข็ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในวัสดุนาโน ซึ่งจำเป็นสำหรับการใช้งานที่หลากหลาย เช่น การทดสอบและลักษณะเฉพาะของวัสดุ การแพร่กระจายของคลื่นและความร้อนในวัสดุนาโน และการสร้างแบบจำลองความเสียหายจากรังสีในสารกึ่งตัวนำ^{[ 2 ] [ 18 ]}กระบวนการเหล่านี้จำเป็นต้องจำลองในช่วงเวลาที่กว้าง ตั้งแต่เฟมโตวินาทีไปจนถึงนาโนวินาทีหรือแม้แต่ไมโครวินาทีซึ่งเป็นปัญหาหลายระดับที่ท้าทายสำหรับวัสดุนาโน Tewary ^{[ 25 ]} ได้แสดงให้เห็น ว่าการใช้ฟังก์ชัน Green เชิงสาเหตุในพลศาสตร์โมเลกุลสามารถเร่งการบรรจบกันชั่วคราวของพลศาสตร์โมเลกุลได้อย่างมีนัยสำคัญ วิธีการใหม่ที่เรียกว่า CGFMD (Causal Green's Function Molecular Dynamics) เป็นวิธีการที่เทียบเท่ากับ MSGF ในเชิงเวลา และมีพื้นฐานมาจากการใช้ฟังก์ชัน Green เชิงสาเหตุหรือ แบบหน่วง เวลา มีการนำไปใช้^{[ 25 ]}เพื่อจำลองการแพร่กระจายของระลอกคลื่นในกราฟีน^{[ 9 ]}ซึ่งแสดงให้เห็นว่า CGFMD สามารถจำลองช่วงเวลาได้มากกว่า 6 ถึง 9 อันดับของขนาดในระดับอะตอม อย่างน้อยในบางกรณีในอุดมคติ เช่น การแพร่กระจายของระลอกคลื่นในกราฟีน CGFMD สามารถเชื่อมโยงช่วงเวลาตั้งแต่เฟมโตวินาทีถึงไมโครวินาทีได้ CGFMD ได้รับการปรับปรุงและพัฒนาเพิ่มเติมในเอกสารโดย Coluci, Dantas และ Tewary ^{[ 26 ] [ 27 ]} }

• แบบจำลองระดับจุลภาคและมหภาค