การเข้ารหัสแบบหลายตัวแปรเป็นคำทั่วไปสำหรับวิธีการเข้ารหัสแบบ ไม่สมมาตร ที่ใช้พหุนามหลายตัวแปรบนฟิลด์จำกัด${\displaystyle F}$ในบางกรณี พหุนามเหล่านั้นสามารถกำหนดได้ทั้งบนฟิลด์พื้นฐานและฟิลด์ ส่วนขยาย หากพหุนามมี ดีกรีสอง เราจะพูดถึงพหุ นามกำลังสองหลายตัวแปร การแก้ระบบสมการพหุนาม หลายตัวแปร ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นปัญหาNP-complete [ ^{1 ] แผนการ} เหล่านี้มักถูกพิจารณาว่าเป็นตัวเลือกที่ดีสำหรับการเข้ารหัสลับหลังควอนตัมการเข้ารหัสลับหลายตัวแปรมีประสิทธิผลมากในแง่ของการออกแบบและการวิเคราะห์การเข้ารหัสลับโดยรวมแล้ว สถานการณ์ในปัจจุบันมีความเสถียรมากขึ้นและแผนการที่แข็งแกร่งที่สุดได้ผ่านการทดสอบของกาลเวลา เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าการเข้ารหัสลับหลายตัวแปรประสบความสำเร็จมากกว่าในฐานะวิธีการสร้างแผนการลงลายมือชื่อ เนื่องจากแผนการหลายตัวแปรให้ลายมือชื่อที่สั้นที่สุดในบรรดาอัลกอริธึมหลังควอนตัม

Tsutomu Matsumoto และHideki Imai ( 1988 )ได้นำเสนอระบบเข้ารหัสที่เรียกว่า C* ในการ ประชุม Eurocryptแม้ว่า C* จะถูกเจาะระบบโดยJacques Patarin ( 1995 ) แล้วก็ตาม แต่หลักการทั่วไปของ Matsumoto และ Imai ก็ได้เป็นแรงบันดาลใจให้เกิดการพัฒนาระบบเข้ารหัสที่ดีขึ้นมากมาย ในงานต่อมาJacques Patarin ได้พัฒนาระบบเข้ารหัสแบบ "Hidden Monomial Cryptosystems" (HFE) ขึ้น (เป็นภาษาฝรั่งเศส)โดยอิงจากฟิลด์พื้นฐานและฟิลด์ส่วนขยาย " สมการฟิลด์ที่ซ่อนอยู่ " (HFE) ซึ่งพัฒนาโดย Patarin ในปี 1996 ยังคงเป็นระบบเข้ารหัสแบบหลายตัวแปรที่ได้รับความนิยมในปัจจุบัน [P96] ความปลอดภัยของ HFE ได้รับการตรวจสอบอย่างละเอียดถี่ถ้วน เริ่มต้นจาก การโจมตี ฐาน Gröbner โดยตรง [FJ03, GJS06] การโจมตีเพื่อกู้คืนกุญแจ( Kipnis & Shamir 1999 ) [BFP13] และอื่นๆ เวอร์ชันธรรมดาของ HFE ถือว่าถูกเจาะระบบได้ในทางปฏิบัติ ในแง่ที่ว่าพารามิเตอร์ที่ปลอดภัยนำไปสู่ระบบที่ไม่สามารถใช้งานได้จริง อย่างไรก็ตาม รูปแบบง่ายๆ บางอย่างของ HFE เช่นรูปแบบลบและรูปแบบน้ำส้มสายชูช่วยให้สามารถเสริมความแข็งแกร่งให้กับ HFE พื้นฐานเพื่อต้านทานการโจมตีที่รู้จักทั้งหมดได้  

นอกจาก HFE แล้ว Patarin ยังได้พัฒนาระบบอื่นๆ อีกด้วย ในปี 1997 เขาได้นำเสนอ “Balanced Oil & Vinegar” และในปี 1999 “ Unbalanced Oil and Vinegar ” โดยร่วมมือกับ Aviad Kipnis และ Louis Goubin ( Kipnis, Patarin & Goubin 1999 )ระบบลายเซ็นการเข้ารหัสแบบหลายตัวแปรสี่ระบบ (GeMMS, LUOV, Rainbow และ MQDSS) ได้ผ่านเข้ารอบที่ 2 ของการแข่งขัน NIST post-quantum: ดูสไลด์ที่ 12 ของรายงาน^{[ 2 ]}ระบบ Rainbow ผ่านเข้ารอบที่ 3 จนกระทั่งถูกเจาะระบบได้ในปี 2022 ^{[ 3 ]}และไม่มีระบบอื่นๆ เหลืออยู่ในรอบที่ 4 ^{[ 4 ]}

คณิตศาสตร์กำลังสองหลายตัวแปรเกี่ยวข้องกับกุญแจสาธารณะและกุญแจส่วนตัว กุญแจส่วนตัวประกอบด้วยการแปลงเชิงเส้นสองแบบ คือ S และ T และแผนที่กำลังสองที่ผกผันได้ง่าย${\displaystyle P'\colon F^{m}\rightarrow F^{n}}$เราใช้สัญลักษณ์แทน${\displaystyle n\times n}$เมทริกซ์ของเอน โดม อ ร์ฟิซึม เชิงเส้น${\displaystyle S\colon F^{n}\rightarrow F^{n}}$โดย${\displaystyle M_{S}}$และเวกเตอร์การเลื่อนโดย${\displaystyle v_{S}\in F^{n}}$และในทำนองเดียวกันสำหรับ${\displaystyle T\colon F^{m}\rightarrow F^{m}}$กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ

• ${\displaystyle S(x)=M_{S}x+v_{S}}$และ
• ${\displaystyle T(y)=M_{T}y+v_{T}}$.

สามเท่า${\displaystyle (S^{-1},{P'}^{-1},T^{-1})}$กุญแจส่วนตัว หรือที่รู้จักกันในชื่อ "ประตูลับ" คือกุญแจหลัก ส่วนกุญแจสาธารณะคือกุญแจประกอบ${\displaystyle P=S\circ P'\circ T}$ซึ่งตามสมมติฐานแล้วยากที่จะพลิกกลับได้หากปราศจากความรู้เกี่ยวกับกลไกซ่อนเร้นนั้น

ลายเซ็นจะถูกสร้างขึ้นโดยใช้กุญแจส่วนตัวและตรวจสอบโดยใช้กุญแจสาธารณะดังต่อไปนี้ ข้อความจะถูกแฮชเป็นเวกเตอร์ใน${\displaystyle y\in F^{n}}$โดยใช้ฟังก์ชันแฮชที่ทราบแล้ว ลายเซ็นคือ

${\displaystyle x=P^{-1}(y)=T^{-1}\left({P'}^{-1}\left(S^{-1}(y)\right)\right)}$.

ผู้รับเอกสารที่ลงนามแล้วจะต้องมีกุญแจสาธารณะ P อยู่ในครอบครอง เขาจึงสามารถคำนวณค่าแฮชได้${\displaystyle y}$และตรวจสอบว่าลายเซ็นนั้นถูกต้อง${\displaystyle x}$บรรลุผลสำเร็จ${\displaystyle P(x)=y}$.

• น้ำมันและน้ำส้มสายชูที่ไม่สมดุล
• สมการสนามที่ซ่อนอยู่
• สแฟลช โดยเนสซี
• รุ้ง
• ทีทีเอส
• ควอตซ์
• QUAD (รหัสลับ)

• การเข้ารหัสและการลงลายมือชื่อด้วยกุญแจสาธารณะ HFE
• เอชเอฟเอบูสต์