ทฤษฎีบทของนโปเลียน

ในทางเรขาคณิตทฤษฎีบทของนโปเลียนกล่าวว่า ถ้า เราสร้าง รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าบนด้านของรูปสามเหลี่ยม ใดๆ ไม่ว่าจะสร้างโดยให้ด้านทั้งหมดอยู่ด้านนอกหรือด้านทั้งหมดอยู่ด้านใน เส้นที่เชื่อมจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเหล่านั้นจะก่อให้เกิดรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอีกรูปหนึ่ง

รูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นนี้เรียกว่ารูปสามเหลี่ยมนโปเลียน ด้านใน หรือด้านนอก ผลต่างของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนโปเลียนด้านนอกและด้านในจะเท่ากับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเดิม

ทฤษฎีบทนี้มักถูกยกให้เป็นผลงานของนโปเลียน โบนาปาร์ต (1769–1821) ตามที่โฮเวิร์ด อีฟส์กล่าว ทฤษฎีบทและปัญหาการสร้างที่มีชื่อของนโปเลียนถูกค้นพบโดยลอเรนโซ มาสเชโรนี (1750–1800) เพื่อนและที่ปรึกษาของเขา ซึ่งอนุญาตให้จักรพรรดิอ้างสิทธิ์ในสิ่งเหล่านี้ได้^{[ 1 ]}บางคนเสนอว่าอาจมีอายุย้อนไปถึง คำถาม ของดับเบิลยู. รัทเธอร์ฟอร์ดในปี 1825 ที่ตีพิมพ์ในThe Ladies' Diaryสี่ปีหลังจากที่จักรพรรดิฝรั่งเศสสิ้นพระชนม์^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}แต่ผลลัพธ์นี้ครอบคลุมอยู่ในคำถามสามข้อในการสอบเพื่อรับเหรียญทองที่มหาวิทยาลัยดับลินในเดือนตุลาคม ค.ศ. 1820 ในขณะที่นโปเลียนเสียชีวิตในเดือนพฤษภาคมปีถัดมา

หลักฐาน

ในรูปด้านบน $△ ABC$ คือสามเหลี่ยมดั้งเดิม $△ AZB, △ BXC, △ CYA$ คือสามเหลี่ยมด้านเท่าที่สร้างขึ้นบนด้านภายนอกของสามเหลี่ยมดั้งเดิม และจุด $L, M, N$ คือจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมเหล่านั้น ทฤษฎีบทสำหรับสามเหลี่ยมภายนอกกล่าวว่า สามเหลี่ยม $△ LMN$ ( สีเขียว )เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

วิธีง่ายๆ ที่จะเห็นว่า $△ LMN$ เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า คือ สังเกตว่า $MN$ จะกลายเป็น $CZ$ เมื่อ หมุนตาม เข็มนาฬิกา 30° รอบจุด $A$ และใช้การแปลงโฮโมธีที่มีอัตราส่วน⁠ ${\sqrt {3}}$ โดยมีจุดศูนย์กลางเดียวกัน และ $LN$ ก็กลายเป็น $CZ$ หลังจากการหมุนทวนเข็มนาฬิกา 30° รอบ $B$ และโฮโมเทตีที่มีอัตราส่วน ${\sqrt {3}}$ โดยมีจุดศูนย์กลางเดียวกันความคล้ายคลึงของ เกลียวที่เกี่ยวข้อง ^{[ 4 ]}คือ $A({\sqrt {3}},-30^{\circ }),\ B({\sqrt {3}},30^{\circ }).$ นั่นหมายความว่า $MN = LN$ และมุมระหว่างทั้งสองต้องเป็น 60°^{[ 5 ]}

ในความเป็นจริงแล้วมีการพิสูจน์ข้อความของทฤษฎีบทนี้มากมาย รวมถึง^การพิสูจน์แบบสังเคราะห์ (ไม่ต้องใช้พิกัด) ^{[ 6 ]}การพิสูจน์ แบบ ตรีโกณมิติ^{[ 7 ]}วิธีการที่ใช้สมมาตร^{[ 8 ]}และการพิสูจน์โดยใช้จำนวนเชิงซ้อน [ ^{7 ]}^{[ 9 ]}

พื้นหลัง

ทฤษฎีบทนี้มักถูกยกให้เป็นผลงานของนโปเลียน แต่มีเอกสารหลายฉบับที่เขียนเกี่ยวกับประเด็นนี้^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}ซึ่งตั้งข้อสงสัยต่อข้อกล่าวอ้างนี้ (ดู( Grünbaum 2012 ) )

ข้อความต่อไปนี้ปรากฏในหน้า 47 ของหนังสือ Ladies' Diary ปี 1825 (ดังนั้นจึงอยู่ในช่วงปลายปี 1824 ประมาณหนึ่งปีหลังจากที่ได้มีการรวบรวมข้อสอบดับลิน) นี่เป็นการปรากฏทฤษฎีบทของนโปเลียนในงานเขียนครั้งแรกๆ และไม่ได้กล่าวถึงชื่อของนโปเลียน

VII. Quest.(1439); โดยคุณ W. Rutherford, Woodburn.

"จงอธิบายรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (โดยที่จุดยอดทั้งหมดอยู่ด้านนอกหรือด้านใน) บนด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมใดๆ $△ ABC$ แล้วเส้นที่เชื่อมจุดศูนย์กลางมวลของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งสามนั้น จะประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอีกรูปหนึ่ง ต้องการการสาธิต"

เนื่องจากวิลเลียม รัทเทอร์ฟอร์ดเป็นนักคณิตศาสตร์ ที่มีความสามารถมาก แรงจูงใจของเขาในการขอให้พิสูจน์ทฤษฎีบทที่เขาสามารถพิสูจน์ได้ด้วยตนเองจึงยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด บางทีเขาอาจตั้งคำถามเพื่อท้าทายเพื่อนร่วมงาน หรืออาจหวังว่าคำตอบที่ได้รับจะนำไปสู่ทางออกที่สวยงามกว่า อย่างไรก็ตาม จากการอ่านนิตยสารLadies' Diary ฉบับต่างๆ ในช่วงทศวรรษ 1820 เห็นได้ชัดว่าบรรณาธิการตั้งใจที่จะรวมคำถามที่หลากหลายไว้ในแต่ละปี โดยมีคำถามบางข้อที่เหมาะสำหรับผู้เริ่มต้นฝึกฝนด้วย

เห็นได้ชัดว่าไม่มีการกล่าวถึงนโปเลียนในทั้งคำถามหรือคำตอบที่ตีพิมพ์ ซึ่งปรากฏขึ้นหนึ่งปีต่อมาในปี 1826 แม้ว่าบรรณาธิการจะละเว้นคำตอบบางส่วนไปก็ตาม นอกจากนี้ รัทเธอร์ฟอร์ดเองก็ไม่ได้ปรากฏชื่ออยู่ในรายชื่อผู้แก้ปัญหาหลังจากคำตอบที่พิมพ์แล้ว แม้ว่าจากรายชื่อในหน้าก่อนหน้านี้ไม่กี่หน้าจะเห็นได้ชัดว่าเขาได้ส่งคำตอบเข้ามา เช่นเดียวกับลูกศิษย์และเพื่อนร่วมงานหลายคนของเขาที่โรงเรียนวูดเบิร์น รวมถึงคำตอบแรกที่ตีพิมพ์ด้วย อันที่จริง กลุ่มแก้ปัญหาของวูดเบิร์น ซึ่งอาจเป็นที่รู้จักในปัจจุบันนั้น มีชื่อเสียงมากพอที่จะถูกกล่าวถึงในหนังสือA Historical, Geographical, and Descriptive View of the County of Northumberland ... (ฉบับที่ 2 เล่มที่ 2 หน้า 123–124) เชื่อกันว่าการอ้างอิงถึงผลลัพธ์นี้เป็นครั้งแรกในฐานะทฤษฎีบทของนโปเลียนปรากฏในElementi di Geometria ฉบับที่ 17 ของ Faifofer ซึ่งตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2454 ^{[ 12 ]}แม้ว่า Faifofer จะกล่าวถึงนโปเลียนในฉบับที่เก่ากว่านั้นก็ตาม แต่ประเด็นนี้ไม่สำคัญ เพราะเราพบว่ามีการกล่าวถึงนโปเลียนในบริบทนี้ในสารานุกรมตั้งแต่ปี 1867 แล้ว สิ่งที่น่าสนใจทางประวัติศาสตร์มากกว่าเกี่ยวกับ Faifofer คือปัญหาที่เขาใช้ในฉบับก่อนหน้า: ปัญหาคลาสสิกเกี่ยวกับการหาพื้นที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ใหญ่ที่สุดรอบสามเหลี่ยมที่กำหนดให้ ซึ่ง Thomas Moss ตั้งไว้ในLadies Diaryในปี 1754 และในคำตอบของ William Bevil ในปีถัดมา เราอาจมองเห็นเค้าโครงของทฤษฎีบทของนโปเลียนได้ง่ายๆ ผลลัพธ์ทั้งสองจึงปรากฏควบคู่กันไปมาอย่างน้อยหนึ่งร้อยปีในหน้าปัญหาของปฏิทินยอดนิยม เมื่อ Honsberger เสนอสิ่งที่เขาคิดว่าเป็นสิ่งใหม่ของตัวเองในMathematical Gemsในปี 1973 แท้จริงแล้วเขากำลังสรุปส่วนหนึ่งของวรรณกรรมอันกว้างขวาง แม้จะไม่เป็นทางการก็ตาม

อาจเป็นการดีที่จะนึกถึงรูปแบบยอดนิยมของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ที่วางรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสไว้บนขอบของรูปสามเหลี่ยม โดยการวางรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าไว้บนขอบของรูปสามเหลี่ยม: คุณสามารถทำอะไรกับรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าได้เหมือนกับที่คุณทำได้กับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือไม่ เช่น ในกรณีของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณสามารถแบ่งรูปสามเหลี่ยมด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านประกอบมุมฉากได้หรือไม่? เช่นเดียวกับที่ผู้เขียนกลับมาพิจารณาคุณสมบัติอื่นๆ ของกังหันลมของยูคลิดหรือเก้าอี้เจ้าสาวซ้ำแล้วซ้ำเล่า รูปทรงที่เทียบเท่ากันโดยใช้รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าแทนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสก็ได้รับความสนใจเช่นกัน บางทีความพยายามที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในเรื่องนี้คือคำถามชิงรางวัลของวิลเลียม เมสันในวารสารสุภาพสตรีและสุภาพบุรุษประจำปี 1864 ซึ่งคำตอบและคำอธิบายในปีถัดมามีความยาวประมาณสิบห้าหน้า ในเวลานั้น สถานที่อันทรงเกียรติแห่งนี้ ซึ่งเริ่มต้นในปี 1704 สำหรับบันทึกประจำวันของสุภาพสตรีและในปี 1741 สำหรับบันทึกประจำวันของสุภาพบุรุษกำลังอยู่ในช่วงขาลง แต่ปัญหาในลักษณะนี้ยังคงเกิดขึ้นในEducational Times ต่อ เนื่องมาจนถึงต้นทศวรรษ 1900

ปัญหาในดับลิน ตุลาคม ค.ศ. 1820

ในข้อสอบเรขาคณิต ซึ่งจัดสอบในเช้าวันที่สองของการสอบสำหรับผู้เข้าแข่งขันชิงเหรียญทองในการสอบทั่วไปของมหาวิทยาลัยดับลินในเดือนตุลาคม ค.ศ. 1820 มีโจทย์สามข้อต่อไปนี้

คำถามที่ 10. มีการสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าสามรูปบนด้านของสามเหลี่ยมที่กำหนดให้ $A, B, D$ โดยเส้นที่เชื่อมจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมทั้งสามรูป คือ $C, C', C"$ จะก่อให้เกิดสามเหลี่ยมด้านเท่าอีกรูปหนึ่ง [แผนภาพประกอบแสดงสามเหลี่ยมด้านเท่าที่วางเรียงกันโดยหันด้านนอกออก]

คำถามที่ 11. ถ้าเราสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งสามรูปดังเช่นในรูปสุดท้าย เส้นที่เชื่อมจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมทั้งสามรูปนั้นก็จะก่อให้เกิดสามเหลี่ยมด้านเท่าอีกรูปหนึ่งด้วย [แผนภาพประกอบแสดงสามเหลี่ยมด้านเท่าที่วางซ้อนกันอยู่ด้านใน]

คำถามที่ 12. เพื่อตรวจสอบความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่กำหนดให้กับพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าสองรูปที่กล่าวถึง

ปัญหาเหล่านี้ได้รับการบันทึกไว้แล้ว

ปัญหาดับลิน: ชุดคำถามที่เสนอให้กับผู้สมัครรับเหรียญทองในการสอบทั่วไป ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2459 ถึง พ.ศ. 2465 รวมทั้งสิ้น ซึ่งตามมาด้วยรายงานเกี่ยวกับการสอบเพื่อรับตำแหน่งเฟลโลว์ชิปในปี พ.ศ. 2466 (G. และ WB Whittaker, ลอนดอน, พ.ศ. 2466) ^{[ 13 ]}

คำถามข้อที่ 1249 ในGentleman's Diary หรือ Mathematical Repositoryประจำปี 1829 (ซึ่งตีพิมพ์ในช่วงปลายปี 1828) กล่าวถึงหัวข้อนี้ โดยมีเฉลยปรากฏในฉบับของปีถัดไป หนึ่งในผู้แก้โจทย์คือTS Daviesได้สรุปผลลัพธ์ในคำถามข้อที่ 1265 ในปีนั้น และนำเสนอวิธีแก้ปัญหาของตนเองในปีถัดมา โดยอ้างอิงจากบทความที่เขาเคยส่งให้Philosophical Magazineในปี 1826 ไม่มีการอ้างอิงโยงในเนื้อหานี้กับที่กล่าวมาข้างต้น อย่างไรก็ตาม มีหลายรายการที่น่าสนใจในลักษณะเดียวกันในหน้าโจทย์ของปฏิทินยอดนิยม ซึ่งย้อนกลับไปอย่างน้อยถึงกลางทศวรรษ 1750 (Moss) และต่อเนื่องไปจนถึงกลางทศวรรษ 1860 (Mason) ดังที่ได้กล่าวถึงข้างต้น

บังเอิญว่าชื่อของนโปเลียนถูกกล่าวถึงในบริบทของผลลัพธ์นี้ในหนังสืออ้างอิงที่ทรงคุณค่าอย่างสารานุกรมของแชมเบอร์สตั้งแต่ปี 1867 (เล่มที่ 9 ช่วงท้ายของหัวข้อเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม)

คุณสมบัติอันน่าทึ่งอีกประการหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งรู้จักกันในชื่อปัญหาของนโปเลียน มีดังนี้: หากวาดรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสามรูปบนรูปสามเหลี่ยมใดๆ แล้วลากเส้นเชื่อมจุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยมทั้งสามนี้เข้าด้วยกัน รูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นจะเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า และจุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยมนี้จะตรงกับจุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยมเดิม^{[ 14 ]}

แต่ผลลัพธ์ดังกล่าวได้ปรากฏพร้อมหลักฐานในตำราอย่างน้อยที่สุดในปี พ.ศ. 2377 ( Euclid ของ James Thomson หน้า 255–256 ^{[ 15 ]} ) ในหมายเหตุท้ายบท (หน้า 372) Thomason เพิ่ม

ข้อเสนอที่แปลกประหลาดนี้ ผมไม่เคยพบเห็นมาก่อนเลย ยกเว้นในหนังสือDublin Problemsที่ตีพิมพ์ในปี 1823 ซึ่งมีการแทรกข้อเสนอนี้เข้าไปโดยไม่มีการพิสูจน์

ในฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง (ค.ศ. 1837) ทอมสันได้ขยายหมายเหตุท้ายเล่มโดยให้หลักฐานจากอดีตนักศึกษาคนหนึ่งในเบลฟาสต์:

ต่อไปนี้เป็นโครงร่างของการพิสูจน์ที่ง่ายและเรียบร้อยมาก ซึ่งเสนอโดยนายอดัม ดี. กลาสโกว์ แห่งเบลฟาสต์ อดีตนักศึกษาของผมผู้มีรสนิยมและความสามารถยอดเยี่ยมในด้านคณิตศาสตร์:

ดังนั้น ดูเหมือนว่าทอมสันจะไม่ทราบว่าปัญหาดังกล่าวปรากฏในLadies' Diaryปี 1825 หรือGentleman's Diaryปี 1829 (เช่นเดียวกับที่เจ.เอส. แม็กเคย์ไม่ทราบเกี่ยวกับการปรากฏในฉบับหลัง ซึ่งมีการอ้างอิงถึงปัญหาดับลินในขณะที่ทราบถึงฉบับแรก ผู้อ่านAmerican Mathematical Monthlyมีข้อมูลอ้างอิงถึงคำถามที่ 1249 ในGentleman's Diaryจากอาร์ซี อาร์ชิบัลด์ในฉบับเดือนมกราคม 1920 หน้า 41 เชิงอรรถที่ 7 แม้ว่าคำตอบที่ตีพิมพ์ครั้งแรกในLadies Diaryปี 1826 จะแสดงให้เห็นว่าแม้แต่อาร์ชิบัลด์ก็ไม่ได้รอบรู้ในเรื่องลำดับความสำคัญ)

ศูนย์กลางทั่วไป

จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมนโปเลียนทั้งด้านในและด้านนอกตรงกับจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมดั้งเดิม ความบังเอิญนี้ได้รับการบันทึกไว้ในสารานุกรมของแชมเบอร์สในปี 1867 ดังที่อ้างถึงข้างต้น รายการดังกล่าวไม่มีชื่อ ผู้เขียน พี.จี. เทตซึ่งในขณะนั้นเป็นศาสตราจารย์ด้านปรัชญาธรรมชาติที่มหาวิทยาลัยเอดินบะระมีชื่ออยู่ในรายชื่อผู้มีส่วนร่วม แต่ยู.ยู. ฮิลล์เฮาส์ ผู้สอนคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยเอดินบะระ ก็ปรากฏชื่ออยู่ในรายชื่อ^{สุภาพบุรุษ}นักวรรณกรรมท่านอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับเจ้าหน้าที่ประจำของสารานุกรมเป็นระยะเวลานานหรือสั้นอย่างไรก็ตาม ในส่วนที่ 189(e) ของAn Elementary Treatise on Quaternions [ ¹⁶^]ในปี 1867 เช่นกัน เทตได้กล่าวถึงปัญหา (โดยมีผลเป็นการสะท้อนความคิดเห็นของเดวีส์ใน Gentleman's Diary ในปี 1831 เกี่ยวกับคำถามที่ 1265 แต่ในบริบทของควอเทอร์เนียน):

ถ้าลากเส้นตั้งฉากออกไปด้านนอก ณ จุดกึ่งกลางของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม โดยแต่ละเส้นตั้งฉากเป็นสัดส่วนกับด้านที่สอดคล้องกัน จุดกึ่งกลางของปลายเส้นตั้งฉากจะตรงกับจุดกึ่งกลางของสามเหลี่ยมเดิม จงหาอัตราส่วนของเส้นตั้งฉากแต่ละเส้นต่อครึ่งหนึ่งของด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมเดิม เพื่อให้สามเหลี่ยมใหม่เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

Tait สรุปว่าจุดเฉลี่ยของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่สร้างขึ้นด้านนอกบนด้านของสามเหลี่ยมใดๆ จะก่อให้เกิดสามเหลี่ยมด้านเท่า การอภิปรายนี้ยังคงอยู่ในฉบับต่อมาในปี พ.ศ. 2416 และ พ.ศ. 2433 รวมถึงในบทนำเพิ่มเติมเกี่ยวกับควอเทอร์ เนียน ^{[ 17 ]} ที่เขาเขียน ร่วมกับPhilip Kellandในปี พ.ศ. 2416

พื้นที่และด้านของสามเหลี่ยมนโปเลียนด้านในและด้านนอก

พื้นที่ของสามเหลี่ยมนโปเลียนด้านในของสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่ $△$ คือ

${\text{พื้นที่(ด้านใน)}}=-{\frac {\triangle }{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 0,$

โดยที่ $a, b, c$ คือความยาวด้านของสามเหลี่ยมเดิม โดยจะเท่ากันเฉพาะในกรณีที่สามเหลี่ยมเดิมเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ตามอสมการของ Weitzenböckอย่างไรก็ตาม จากมุมมองทางพีชคณิต^{[ 18 ]}สามเหลี่ยมด้านในเป็น "สามเหลี่ยมย้อนกลับ" และ พื้นที่ ทางพีชคณิต ของมัน คือค่าลบของนิพจน์นี้^{[ 19 ]}

พื้นที่ของสามเหลี่ยมนโปเลียนด้านนอกคือ^{[ 20 ]}

${\text{พื้นที่ (ด้านนอก)}}={\frac {\triangle }{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).$

ในเชิงวิเคราะห์สามารถแสดงได้^{[ 7 ]}ว่าด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมนโปเลียนด้านนอกแต่ละด้านมีความยาวเท่ากับ ${\text{ด้าน(ภายนอก)}}={\sqrt {{a^{2}+b^{2}+c^{2} \over 6}+{{\sqrt {(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c)}} \over {2{\sqrt {3}}}}}}.$

ความสัมพันธ์ระหว่างสมการสองสมการหลังคือ พื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากับกำลังสองของด้านคูณด้วย ${\sqrt {3}}/4.$

การสรุปโดยทั่วไป

ทฤษฎีบทเปตร-ดักลาส-นอยมันน์

ถ้าสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีมุมยอด⁠ ${\tfrac {2k\pi }{n}}$ ถูกสร้างขึ้นบนด้านข้างของรูป $n$ เหลี่ยม $A$ ใดๆ และหากกระบวนการนี้ถูกทำซ้ำกับรูป $n$ เหลี่ยมที่เกิดจากจุดยอดอิสระของสามเหลี่ยม แต่มีค่า $k$ ที่แตกต่างกัน และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่อยๆ จนกว่า จะใช้ค่าทั้งหมด $1 \leq k \leq n - 2 (ในลำดับใดๆ ก็ได้) จะได้รูป$ $n$ เหลี่ยม $ปกติ A$ ^รูปจะตรงกับจุดศูนย์กลางของ $A$ [^{21 ]}

ทฤษฎีบทนโปเลียน-บาร์ล็อตติ

จุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติ $n$ ด้านที่สร้างขึ้นเหนือด้านข้างของรูปหลาย เหลี่ยม $n$ ด้าน $P$ จะก่อให้เกิดรูป หลายเหลี่ยมปกติ $n ด้าน$ ก็ต่อเมื่อ $P$ เป็นภาพเชิงเส้นของรูปหลายเหลี่ยมปกติ $n$ ด้าน^{[ 22 ]}^{[ 23 ]}

การสรุปทั่วไปของ Jha-Savarn

กำหนดให้รูปหกเหลี่ยม $A A A A A A$ ที่มีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสร้างอยู่บนด้านต่างๆ ไม่ว่าจะด้านในหรือด้านนอก และจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีป้ายกำกับว่า $B$ ถ้า $G, G, G$ เป็นจุดศูนย์กลางมวลของ $△ B B B, △ B B B, △ B B B$ ตามลำดับ แล้ว $G, G, G$ จะประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า^{[ 24 ]}

การสรุปทั่วไปของเต๋าถันโอไอ

กำหนดให้รูปหกเหลี่ยม ABCDEF มีสามเหลี่ยมด้านเท่า ABG, DHC, IEF ที่สร้างขึ้นบนด้านสลับ AB, CD และ EF ไม่ว่าจะเข้าด้านในหรือออกด้านนอก ให้ A , B , C เป็นจุดศูนย์กลางของ ∆FGC, ∆BHE และ ∆DIA ตามลำดับ และให้ A , B , C เป็นจุดศูนย์กลางของ ∆DGE, ∆AHF และ ∆BIC ตามลำดับ ดังนั้น ∆A B C และ ∆A B C เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า^{[ 25 ]} (ตัวอย่างเช่น ถ้าเราให้จุด A และ F ตรงกัน รวมถึง B และ C และ D และ E ผลลัพธ์ของ Dao Than Oai จะลดลงเหลือทฤษฎีบทของนโปเลียน)

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

↑อีฟส์, ฮาวาร์ด (2001). ความทรงจำทางคณิตศาสตร์ . สมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา. หน้า 19. ISBN 978-0883855355.
↑ Grünbaum 2012
↑ "ทฤษฎีบทของนโปเลียน - จาก Wolfram MathWorld" . Mathworld.wolfram.com. 2013-08-29 . สืบค้นเมื่อ2013-09-06 .
↑ Weisstein, Eric W. "ความคล้ายคลึงแบบเกลียว" . MathWorld .
↑สำหรับการสาธิตด้วยภาพ โปรดดูทฤษฎีบทของนโปเลียนผ่านการหมุนสองครั้งได้ที่ Cut-the- Knot
↑ Coxeter, HSM และ Greitzer, Samuel L. 1967. Geometry Revisitedหน้า 60-63
1 2 3 "ทฤษฎีบทของนโปเลียน" . MathPages.com .
↑ Alexander Bogomolny . "หลักฐานที่ 2 (ข้อโต้แย้งโดยการทำให้สมมาตร)" . Cut-the-knot.org . สืบค้นเมื่อ2013-09-06 .
↑ "บทพิสูจน์อันงดงามของทฤษฎีบทนโปเลียน" Cut -The- Knot
↑คาวาลลาโร, วีจี (1949), "Per la storia dei teoremi attribuiti a Napoleone Buonaparte ea Frank Morley", อาร์คิมิดี , 1 : 286– 287
↑ สคริบบา, คริสตอฟ เจ. (1981) “คุณคิดว่า 'นโปเลียน ซัตซ์' เป็นอย่างไร?” ประวัติคณิตศาสตร์ . 8 (4): 458– 459. ดอย : 10.1016/0315-0860(81)90054-9 .
↑ไฟโฟเฟอร์ (1911), Elementi di Geometria ( ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 17), เวเนเซีย, หน้า. 186 {{citation}}: CS1 maint: ตำแหน่งขาดผู้จัดพิมพ์ ( ลิงก์ )แต่บันทึกทางประวัติศาสตร์อ้างถึงฉบับต่างๆ ในปีต่างๆ กัน การอ้างอิงนี้มาจาก( Wetzel 1992 )
↑ปัญหาดับลิน: ชุดคำถามที่เสนอให้กับผู้สมัครชิงเหรียญทองในการสอบทั่วไป ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1816 ถึง 1822 รวมทั้งสิ้น ซึ่งตามมาด้วยรายงานเกี่ยวกับการสอบเพื่อรับตำแหน่งเฟลโลว์ชิปในปี ค.ศ. 1823จี. และ ดับเบิลยู.บี. วิทเทเกอร์ ลอนดอน ค.ศ. 1823 (ออนไลน์, 22.8MB )
↑สารานุกรมแชมเบอร์ส ลอนดอน ค.ศ. 1867 เล่มที่ IX หน้า 538
↑ หกเล่มแรก เล่มที่สิบเอ็ด และเล่มที่สิบสองของทฤษฎีองค์ประกอบของยูคลิด พร้อมด้วยหมายเหตุและภาพประกอบ และภาคผนวกห้าเล่ม โดย เจมส์ ทอมสัน, LL.D. 1834
↑สำนักพิมพ์แคลเรนดอน, อ็อกซ์ฟอร์ด, 1867, หน้า 133-135
↑แมคมิลแลน, ลอนดอน, 1873, หน้า 42-43
↑ Weisstein, Eric W. "สามเหลี่ยมนโปเลียนชั้นใน" จาก MathWorld--แหล่งข้อมูลบนเว็บของ Wolfram https://mathworld.wolfram.com/InnerNapoleonTriangle.html
↑ Coxeter, HSM และ Greitzer, Samuel L. 1967. Geometry Revisitedหน้า 64
↑ Weisstein, Eric W. "สามเหลี่ยมนโปเลียนภายนอก" จาก MathWorld--แหล่งข้อมูลเว็บของ Wolfram https://mathworld.wolfram.com/OuterNapoleonTriangle.html
↑กรุนบัม, แบรนโก (1997) “ปริสมาตอยด์เชิงมุม” . เรขาคณิตที่ไม่ต่อเนื่องและการคำนวณ 18 : 13– 52. ดอย : 10.1007/PL00009307 .
↑เอ. บาร์ลอตติ, อินตอร์โน แอด อูนา ทั่วไปิซซาซิโอเน ดิ อุน โนโต เตโอเรมา สัมพันธ์, โบลล์. อึน เสื่อ. อิตัล 7 เลขที่ 3 (1952) 182–185.
↑ Una proprietà degli n-agoni che si ottengono Transformando in una affinità un n-agono regolare, Boll. อึน เสื่อ. อิตัล 10 ไม่ 3 (1955) 96–98.
↑ M. de Villiers, H. Humenberger, B. Schuppar, Jha และ Savarn การวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทของนโปเลียน วารสาร Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries เล่มที่ 11 (2022) ฉบับที่ 2 หน้า 190-197 https://geometry-math-journal.ro/pdf/Volume11-Issue2/4.pdf
↑ H. Humenberger, B. Schuppar, M. de Villiers. การพิสูจน์ทางเรขาคณิตและการวางนัยทั่วไปเพิ่มเติมของทฤษฎีบทหกเหลี่ยมนโปเลียนของดาวถานโอไอ วารสารระดับโลกด้านการวิจัยขั้นสูงเกี่ยวกับเรขาคณิตคลาสสิกและสมัยใหม่ เล่มที่ 12 (2023) ฉบับที่ 1 หน้า 158-168 https://geometry-math-journal.ro/pdf/Volume12-Issue1/10.pdf

ลิงก์ภายนอก

ทฤษฎีบทของนโปเลียนและการสรุปทั่วไปที่Cut-the-Knot
หากต้องการชมการก่อสร้างโปรดไปที่instrumenpoche
ทฤษฎีบทของนโปเลียนโดย เจย์ วาเรนดอร์ฟ จากโครงการสาธิตของวูลฟราม
ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ทฤษฎีบทของนโปเลียน" . แมธเวิลด์ .
ทฤษฎีบทของนโปเลียน (กิจกรรมการเรียนรู้และการพิสูจน์แบบมีคำแนะนำ); การสรุปทั่วไป การเปลี่ยนแปลง และบทกลับของทฤษฎีบทของนโปเลียนที่Dynamic Geometry Sketches
ทฤษฎีบทของนโปเลียน: สองวิธีพิสูจน์อย่างง่าย
ลำดับหกเหลี่ยมปกติอนันต์บนสามเหลี่ยม (การขยายความทฤษฎีบทของนโปเลียน)โดยอัลวี เรย์ สมิธ

บทความนี้ได้นำเนื้อหาจากทฤษฎีบทของนโปเลียนบนเว็บไซต์ PlanetMath มา ใช้ ซึ่งได้รับอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution/Share-Alike License

[1] อีฟส์, ฮาวาร์ด (2001). ความทรงจำทางคณิตศาสตร์ . สมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา. หน้า 19. ISBN 978-0883855355.

[2] Grünbaum 2012

[3] "ทฤษฎีบทของนโปเลียน - จาก Wolfram MathWorld" . Mathworld.wolfram.com. 2013-08-29 . สืบค้นเมื่อ2013-09-06 .

[4] Weisstein, Eric W. "ความคล้ายคลึงแบบเกลียว" . MathWorld .

[5] สำหรับการสาธิตด้วยภาพ โปรดดูทฤษฎีบทของนโปเลียนผ่านการหมุนสองครั้งได้ที่ Cut-the- Knot

[6] Coxeter, HSM และ Greitzer, Samuel L. 1967. Geometry Revisitedหน้า 60-63

[MathPages270-7] 1 2 3 "ทฤษฎีบทของนโปเลียน" . MathPages.com .

[8] Alexander Bogomolny . "หลักฐานที่ 2 (ข้อโต้แย้งโดยการทำให้สมมาตร)" . Cut-the-knot.org . สืบค้นเมื่อ2013-09-06 .

[9] "บทพิสูจน์อันงดงามของทฤษฎีบทนโปเลียน" Cut -The- Knot

[10] คาวาลลาโร, วีจี (1949), "Per la storia dei teoremi attribuiti a Napoleone Buonaparte ea Frank Morley", อาร์คิมิดี , 1 : 286– 287

[11] สคริบบา, คริสตอฟ เจ. (1981) “คุณคิดว่า 'นโปเลียน ซัตซ์' เป็นอย่างไร?” ประวัติคณิตศาสตร์ . 8 (4): 458– 459. ดอย : 10.1016/0315-0860(81)90054-9 .

[12] ไฟโฟเฟอร์ (1911), Elementi di Geometria ( ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 17), เวเนเซีย, หน้า. 186 {{citation}}: CS1 maint: ตำแหน่งขาดผู้จัดพิมพ์ ( ลิงก์ )แต่บันทึกทางประวัติศาสตร์อ้างถึงฉบับต่างๆ ในปีต่างๆ กัน การอ้างอิงนี้มาจาก( Wetzel 1992 )

[13] ปัญหาดับลิน: ชุดคำถามที่เสนอให้กับผู้สมัครชิงเหรียญทองในการสอบทั่วไป ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1816 ถึง 1822 รวมทั้งสิ้น ซึ่งตามมาด้วยรายงานเกี่ยวกับการสอบเพื่อรับตำแหน่งเฟลโลว์ชิปในปี ค.ศ. 1823จี. และ ดับเบิลยู.บี. วิทเทเกอร์ ลอนดอน ค.ศ. 1823 (ออนไลน์, 22.8MB )

[14] สารานุกรมแชมเบอร์ส ลอนดอน ค.ศ. 1867 เล่มที่ IX หน้า 538

[15] หกเล่มแรก เล่มที่สิบเอ็ด และเล่มที่สิบสองของทฤษฎีองค์ประกอบของยูคลิด พร้อมด้วยหมายเหตุและภาพประกอบ และภาคผนวกห้าเล่ม โดย เจมส์ ทอมสัน, LL.D. 1834

[16] สำนักพิมพ์แคลเรนดอน, อ็อกซ์ฟอร์ด, 1867, หน้า 133-135

[17] แมคมิลแลน, ลอนดอน, 1873, หน้า 42-43

[18] Weisstein, Eric W. "สามเหลี่ยมนโปเลียนชั้นใน" จาก MathWorld--แหล่งข้อมูลบนเว็บของ Wolfram https://mathworld.wolfram.com/InnerNapoleonTriangle.html

[19] Coxeter, HSM และ Greitzer, Samuel L. 1967. Geometry Revisitedหน้า 64

[20] Weisstein, Eric W. "สามเหลี่ยมนโปเลียนภายนอก" จาก MathWorld--แหล่งข้อมูลเว็บของ Wolfram https://mathworld.wolfram.com/OuterNapoleonTriangle.html

[21] กรุนบัม, แบรนโก (1997) “ปริสมาตอยด์เชิงมุม” . เรขาคณิตที่ไม่ต่อเนื่องและการคำนวณ 18 : 13– 52. ดอย : 10.1007/PL00009307 .

[22] เอ. บาร์ลอตติ, อินตอร์โน แอด อูนา ทั่วไปิซซาซิโอเน ดิ อุน โนโต เตโอเรมา สัมพันธ์, โบลล์. อึน เสื่อ. อิตัล 7 เลขที่ 3 (1952) 182–185.

[23] Una proprietà degli n-agoni che si ottengono Transformando in una affinità un n-agono regolare, Boll. อึน เสื่อ. อิตัล 10 ไม่ 3 (1955) 96–98.

[24] M. de Villiers, H. Humenberger, B. Schuppar, Jha และ Savarn การวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทของนโปเลียน วารสาร Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries เล่มที่ 11 (2022) ฉบับที่ 2 หน้า 190-197 https://geometry-math-journal.ro/pdf/Volume11-Issue2/4.pdf

[25] H. Humenberger, B. Schuppar, M. de Villiers. การพิสูจน์ทางเรขาคณิตและการวางนัยทั่วไปเพิ่มเติมของทฤษฎีบทหกเหลี่ยมนโปเลียนของดาวถานโอไอ วารสารระดับโลกด้านการวิจัยขั้นสูงเกี่ยวกับเรขาคณิตคลาสสิกและสมัยใหม่ เล่มที่ 12 (2023) ฉบับที่ 1 หน้า 158-168 https://geometry-math-journal.ro/pdf/Volume12-Issue1/10.pdf

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

การ

[ 6 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

สุภาพบุรุษ

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

รูป

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

ไม่มีชื่อบทความ