บทนำการปฏิเสธ

พิมพ์	กฎแห่งการอนุมาน
สนาม	แคลคูลัสเชิงประพจน์
คำแถลง	ถ้าประโยคเงื่อนไขที่กำหนดให้สามารถบ่งชี้ได้ทั้งประโยคผลลัพธ์และส่วนเติมเต็มของประโยคผลลัพธ์นั้น ประโยคเงื่อนไขดังกล่าวก็จะเป็นข้อขัดแย้ง
คำแถลงเชิงสัญลักษณ์	${\displaystyle (P\rightarrow Q)\land (P\rightarrow \neg Q)\rightarrow \neg P}$

การแนะนำการปฏิเสธเป็นกฎการอนุมานหรือกฎการแปลงในสาขาแคลคูลัสเชิงประพจน์

บทนำการปฏิเสธระบุว่า หากคำนำหน้าที่กำหนดบ่งชี้ทั้งคำตามและส่วนเติมเต็มของคำตามนั้นแล้ว สิ่งนี้จะบ่งชี้ถึงคำนำหน้าที่ถูกปฏิเสธ^{[ 1 ] [ 2 ]}

สามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle {\Big (}(P\rightarrow Q)\land (P\rightarrow \neg Q){\Big )}\rightarrow \neg P}$

ตัวอย่างการใช้งานอย่างหนึ่งคือ การพยายามพิสูจน์ข้อความที่ขัดแย้งกันสองข้อความจากข้อเท็จจริงเพียงข้อเดียว ตัวอย่างเช่น หากบุคคลหนึ่งกล่าวว่า "เมื่อใดก็ตามที่ฉันได้ยินเสียงโทรศัพท์ดัง ฉันมีความสุข" แล้วต่อมากล่าวว่า "เมื่อใดก็ตามที่ฉันได้ยินเสียงโทรศัพท์ดัง ฉันไม่มีความสุข" เราสามารถอนุมานได้ว่าบุคคลนั้นไม่เคยได้ยินเสียงโทรศัพท์ดังเลย

การพิสูจน์โดยการขัดแย้งหลาย วิธี ใช้การแนะนำการปฏิเสธเป็นโครงร่างการให้เหตุผล: เพื่อพิสูจน์ ¬ Pให้สมมติให้เกิดการขัดแย้งPจากนั้นจึงอนุมานข้อสรุปที่ขัดแย้งกันสองข้อคือQและ ¬ Qเนื่องจากข้อขัดแย้งหลังทำให้Pเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น ¬ Pต้องเป็นจริง

เมื่อระบุเป็นหลักการนี้ถือเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของ Fregeซึ่งมีอยู่แล้วในตรรกศาสตร์ขั้นต่ำ ${\displaystyle \neg P}$${\displaystyle P\to \bot }$

การอนุมานอีกวิธีหนึ่งใช้รูปแบบที่เทียบเท่ากับ curried ของโดยใช้สิ่งนี้สองครั้ง หลักการนี้จะเทียบเท่ากับการปฏิเสธของ ซึ่งผ่านทาง modus ponens และกฎสำหรับการเชื่อมประโยค จะเทียบเท่ากับหลักการไม่ขัดแย้งที่ถูกต้องสำหรับ ${\displaystyle A\to \neg B}$${\displaystyle \neg (A\land B)}$${\displaystyle {\big (}P\land (P\to Q){\big )}\land \neg (P\land Q)}$${\displaystyle P\land Q}$

การพิสูจน์แบบคลาสสิกโดยการใช้คำเชื่อม "หรือ" สามารถแสดงได้ดังนี้:

ขั้นตอน	ข้อเสนอ	อนุพันธ์
1	${\displaystyle (P\to Q)\land (P\to \neg Q)}$	ที่ให้ไว้
2	${\displaystyle (\neg P\lor Q)\land (\neg P\lor \neg Q)}$	ความสมมูลแบบคลาสสิกของนัยยะทางวัตถุ
3	${\displaystyle \neg P\lor (Q\land \neg Q)}$	การกระจายตัว
4	${\displaystyle \neg P\lor \bot }$	กฎแห่งความไม่ขัดแย้งสำหรับ${\displaystyle Q}$
5	${\displaystyle \neg P}$	ตรรกบทแยก (3,4)

• Reductio ad absurdum